大学物理：第2章质点动力学c功和能(完全版1)

1、11.功功 若质点在恒力若质点在恒力F作用下沿直线运动，作用下沿直线运动， 位移为位移为S, 则力则力F作的功为作的功为 从从a到到b，力力f 的总功的总功: 位移元位移元dr上的上的元功元功为为 cosFSSFA 若质点受变力若质点受变力f 作用作用, 沿一曲线沿一曲线L从从a到到b,abfLdr bardfAbafdscosdsrdrdfdAcosrdfcosfds2.3 力的空间累积力的空间累积功功一一. 功功 质点动能定理质点动能定理力与力作用点位移的空间累积力与力作用点位移的空间累积22.力的空间累积效应力的空间累积效应:质点动能定理质点动能定理hm 质点动能定理质点动能定理说明说明

2、:合外力对质点所作的功等于质合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。点动能的增量。 dtdAP 功率功率 例：例： 重力对重力对m的功的功: 地面参考系：地面参考系： A=mgh 物体物体m参考系：参考系： A=0222121obammrdfA dA=f.dr cosff (1)功是标量功是标量,且有正负。且有正负。(2)功是相对量功是相对量,其大小随所选参考系的其大小随所选参考系的不同而不同。不同而不同。3 (3)在直角坐标系中在直角坐标系中 功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关功的值既与质点运动的始末位置有关

3、,也与运动路径也与运动路径的形状有关。的形状有关。 (4)应当明白应当明白,动能定理只在惯性系中成立动能定理只在惯性系中成立,相应的功相应的功也只能在同一惯性系中计算。也只能在同一惯性系中计算。 学习要点：学习要点：变力的功。变力的功。 babazybaxbadzfdyfdxfrdfA,kfjfiffzyx kdzjdyidxrd 4 例题例题 今有一倔强系数为今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长的物体，开始时使弹簧为原长而物体而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直

4、到物体起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。力作的功。 解解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？需要用多大的外力？ x(原长)xomF 外力外力: F=kx ，这是一个变力。，这是一个变力。 物体物体m脱离地面的条件是什么？脱离地面的条件是什么？ kxo mg baxdxfAk)mg(dxkxx2200 所以外力作的功为所以外力作的功为5完成积分得：完成积分得： = 10(m/s) 。 解解 22100212152ommdx)x( 因力是坐标的函数，应用动能定理因力是坐标的函数，应用动能定理 例题例题2

5、质量质量m=4kg的物体在力的物体在力F=(2x+5)i (SI)的作的作用下用下, 沿沿x轴作直线运动轴作直线运动, 初速初速 o =5i (m/s); 求物体从求物体从x=0到到x=10(m)时的速度。时的速度。 A222121omm baxdxf6)ba(mdyFdxFAabyx 0022221 解解 因因: x=acos t, y=bsin t 当当t=0时，时，x=a, y=0; 当当t= /(2 )时，时，x=0, y=b。 合外力的功为合外力的功为合外力合外力:=-m 2(xi+yj )rmmaF2 例题例题 一质量为一质量为m的质点在的质点在xoy平面上运动，其位平面上运动，其

6、位置矢量为置矢量为 (SI),式中式中a、b、 是正值常数，且是正值常数，且ab。求：。求：t=0到到t= /(2 )时间内合外时间内合外力的功及分力力的功及分力Fx、Fy的功。的功。 tjbtiarsincos baybaxdyfdxfA分力：分力：Fx=-m 2x, Fy=-m 2y7 分力分力Fx、Fy的功为的功为 )ba(mAAAyx22221 22021amdxFAaxx 22021bmdyFAbyy (1)显然合外力的功等于分力的功之和：显然合外力的功等于分力的功之和： (2)合外力的功也可由动能定理直接求出。合外力的功也可由动能定理直接求出。 j tsinbi tcosar j

7、tcosbi tsinadtrd Fx=-m 2x Fy=-m 2y8)ba(mmmA222202212121 由动能定理得合外力的功为由动能定理得合外力的功为当当t=0时，时， o= b j , 大小大小: o= b; j tcosbi tsinadtrd 当当t= /(2 )时时, =- a i , 大小大小 = a 。9 例题例题 在在光滑的水平桌面上光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固，平放着如图所示的固定的半圆形屏障。质量为定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度的滑块以初速度 0沿切线沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为。求。求滑块滑

8、过屏障的过程中，摩擦力的功。滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。 解解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力屏障给它的支持力N, 如图所示。如图所示。 法向：法向： (1) RmN2 dtdmN 切向：切向： (2) 将式将式(1)代入式代入式(2), 有有在自然坐标系中，在自然坐标系中，o 0 Nfr10化简后得：化简后得：d = - d dtdR 2 由于支持力由于支持力N不作功，不作功， 由动能定由动能定理得摩擦力的功为理得摩擦力的功为)e(mo12122 222121ommA RmN2 dtdmN ddRdtddd o 0图3-3

9、 Nfr e,o o 0 d d 11 质点质点m沿曲线沿曲线L从从a到到b(高度分别为高度分别为ha 和和hb )，重力，重力对质点对质点m作的功为作的功为 abA 重力作功只与质点的始末重力作功只与质点的始末位置有关位置有关,而与质点所经过的实而与质点所经过的实际路径形状无关。际路径形状无关。CLabmghbhaoyx图3-4bamghmgh bahhdymg 二二.保守力场中的势能保守力场中的势能1.保守保守力作功的特点力作功的特点重力的功重力的功 12 小球由小球由a到到b的过程中，弹性力所作的功为的过程中，弹性力所作的功为 baxabdxFA 由此可见，由此可见，弹性力的功弹性力的功

10、和重力的功一样，只与运和重力的功一样，只与运动质点的动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。无关。弹性力的功弹性力的功xa (原长原长)oxbabx222121bakxkx baxxkxdx13 质点质点m在在M的引力场中的引力场中,由由a点点到到b点点,万有引力对万有引力对质点质点m所作的功为所作的功为drrMmGbarr2 )11(barrGMm 由上式可见由上式可见,万有引力的功也只万有引力的功也只与质点始末位置有关与质点始末位置有关,而与质点所经而与质点所经过的实际路径形状无关。过的实际路径形状无关。万有引力的功万有引力的功注意：注意：

11、dscos( - )=dr。 baabfdsA cosmrarbabMrfdrds14 如果一个力的功只与质点的始末位置有关如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与而与路径形状无关，这种力称为路径形状无关，这种力称为保守力保守力。相应的力场称相应的力场称为为保守力场保守力场。否则叫做非保守力。否则叫做非保守力。 显然显然重力重力、弹性力弹性力、万有引力万有引力都是都是保守力保守力。 因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关而与路径无关,故保守力故保守力F保保沿任意闭合路径沿任意闭合路径L所作的所作的功总为零功总为零,亦即亦即上式表明：上式表

12、明：保守力的环流保守力的环流(沿任意闭合路径沿任意闭合路径L的线积分的线积分)为零。为零。这也是保守力的一种定义和数学判据。这也是保守力的一种定义和数学判据。2.保守力和非保守力保守力和非保守力 LrdF0保保15ijkxAyAzAAxyz SLSdArdA）（根据高等数学中的斯托克斯公式根据高等数学中的斯托克斯公式在直角坐标系中，在直角坐标系中，i )zAyA(yzj )xAzA(zxk )yAxA(xy160rdFL保0SdFS）（保0F保这是力为保守力的判据。这是力为保守力的判据。0?F ijkxFyFFxyz zF如果给出了力的表达式，如果给出了力的表达式，对保守力而言，对保守力而言，

13、17滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功ab 设一质点在粗糙的台面上设一质点在粗糙的台面上运动，其运动，其滑动摩擦力滑动摩擦力与质点与质点的运动方向相反的运动方向相反,可表示为：可表示为：tkkeff当质点从当质点从a处运动到处运动到b处，摩擦力做功：处，摩擦力做功：bakrdfAtbatkedsefbakdsfkfabs结论：结论：摩擦力做功不仅与始末位置有关，而且摩擦力做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关与路径有关。摩擦力是非保守力。摩擦力是非保守力。kfrd18baabmghmghA 重力的功重力的功222121baabkxkxA 弹性力的功弹性力的功)rr(GMmAbaab11 引力的功引力

14、的功 定义：定义：Epa是系统在位置是系统在位置a的势能的势能; Epb是系统在位置是系统在位置b的势能。的势能。可见，保守力的功可写为可见，保守力的功可写为 bapapbpbpaEEEErdFA)(保保保保3.势能的定义势能的定义19 式的意义是式的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。保守力的功等于势能增量的负值。含义：系统在位置含义：系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。这就是计算势能的方法。 原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相

15、对的意义。势能仅具有相对的意义。 bapapbpbpaEEEErdFA)(保保保保drFEapa零势点保若取若取b点为零势点，则由上式我们得到系统在位置点为零势点，则由上式我们得到系统在位置a的势能为的势能为 20 重力势能重力势能 (1)零势面可任意选择零势面可任意选择,由问题的方便而定。由问题的方便而定。 (2)重力势能为重力势能为 Ep=mgh (3)物体在零势面以上物体在零势面以上,重力势能为正重力势能为正,否则为负否则为负。(3)弹性势能总是正值。弹性势能总是正值。弹性势能弹性势能(1)通常规定弹簧无形变通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩即未伸长也未压缩)时的势时的势能为零。能为零

16、。xx (原长)aok 0 xpkxdxE221kx 4.势能零点的选择势能零点的选择(2)弹簧伸长或压缩弹簧伸长或压缩x时的弹性势能时的弹性势能,按定义应为按定义应为21rdFEbpb 零零势势点点保保xo (原长原长)oxabx oxxpbkxdxE222121okxkx 如选如选x=xo处为势能零点，则弹性势能处为势能零点，则弹性势能22 (1)通常选取两物体相距无穷远时通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零此时引力为零)的势能为零。的势能为零。 rPdrrMmGE2 (3)引力势能总是负值。引力势能总是负值。 应当注意：应当注意：势能是势能是属于相互作用着属于相互作用着的物体所组成的

17、的物体所组成的系统的系统的,不应把它看不应把它看作是属于某一个物体的。作是属于某一个物体的。引力势能引力势能 (2)两物体两物体M、m相距相距r时的引力势能时的引力势能,按定义式为按定义式为 rMmG Ep=mghrMmGEp rfM图3-8drm221kxEp 23这一对内力所作的元功之和为这一对内力所作的元功之和为jjiiijrdfrdfdA三三.系统动能定理系统动能定理f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn2.内力的功内力的功外力外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。系统以外的物体对系统内质点的作用力。1.质点系质点系 内力和外力内力和外力质点系质点系(系统系统)

18、作为研究对象的作为研究对象的质点的集合。质点的集合。内力内力系统内各质点间的相互作用力。系统内各质点间的相互作用力。 ijf系统内质点系统内质点j对质点对质点i相互作用力。相互作用力。 jif系统内质点系统内质点i对质点对质点j相互作用力。相互作用力。 )ff(jiij24这这一对内力一对内力所作的元功之和为所作的元功之和为jjiiijrdfrdfdA)ff(jiij)rdrd(fjiijijijijijfdrf dr)rr(dfjiij (1)通常通常 ,故故一对内力所作一对内力所作的功之和一般也不为零。的功之和一般也不为零。jirdrd (2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故因相对位

19、移和相对元位移与参考系无关，故一对内力所作的功之和也与参考系无关。一对内力所作的功之和也与参考系无关。drij是第是第i个个质点对质点对第第j个个质点的相对质点的相对元位移。元位移。可见，可见，一对内力的元功之一对内力的元功之和转化为其中一个力的功。和转化为其中一个力的功。irjro图3-9ijr质点质点i质点质点j人在船上行，船在静水中退。人在船上行，船在静水中退。oirjr25人在船上行，船在静水中退。人在船上行，船在静水中退。船对地船人人对地人船rdfrdfdA)(地对船人对地人船rdrdf船对地人船人对地人船rdfrdf人对船人船rdf一对内力做功转化为一个力的功一对内力做功转化为一个

20、力的功船对地船人人对地人船rdfrdfdA船对地船对地船人对地人对地人rddtdmrddtdm)2()2(22船船人人mdmd)22(22船船人人人对船人对船mmdrdf22A22船船人人mm26VoLmM Tmg车对地车球球对地球车rdTrddA T车对球的拉力和球对车的拉力是车对球的拉力和球对车的拉力是一对内力一对内力(M和和m) 做功为：做功为：车对地车球球对地球车rdTrd T地对车车球球对地球车rdTrd T球对车球车rd T00车对地车球球对地球车rdTrddA T27jjiiijrdfrdfdA)ff(jiij)(jiijrdrdfjijiijijfdrf dr质点之间有相互作用

21、力，但是没有相互距离，一质点之间有相互作用力，但是没有相互距离，一对内力的功也为零。对内力的功也为零。刚体就是这样刚体就是这样。Zoij28 设系统由设系统由n个质点组成个质点组成, 对对mi 应用动能定理应用动能定理,有有2022121iiiiiiimmAAA 外外内内2022121iiiiiiiiiiiimmAAA 外外内内 这就是系统动能定理：这就是系统动能定理：外力的功与内力的功之和外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量。等于系统动能的增量。写成：写成：A内内 + A外外 = Ek Ek0式中：式中：i=1,2,3,。对对上式求和得上式求和得f1nfn1fi1f1iFiF1mim1F

22、nfnifinmn3.系统动能定理表述系统动能定理表述29注意：注意：1 对系统而言，对系统而言， ，0ijf.不一定等于零内A人在船上行，船在静水中退。人在船上行，船在静水中退。m1m2FF2 系统所受外力的矢量和为零，系统所受外力的矢量和为零，.不一定等于零外A, 0F但但. 0外AA内内 + A外外 = Ek Ek0系统动能定理：系统动能定理：ijijrdf一对内力dA30 将上述结果代入动能定理将上述结果代入动能定理: A内内+A外外 = Ek- Ek0 二二.功能原理功能原理内力的功内力的功A内内也可以写成也可以写成 A内内=A保守内力保守内力+A非保守内力非保守内力 )(popEE

23、A 保保守守内内力力式中式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。上式表明是系统的机械能。上式表明:系统外力系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的这一结论称为系统的功能原理功能原理。A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)31A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)注意：注意： 1、用功能原理时，只须计及、用功能原理时，只须计及所有外力和非保守内力所有外力和非保守内力的功的功。无须计算保守内力的功无须计算保守内力的功。因为因为保守内力的功已经用势能表示了。保守内力

24、的功已经用势能表示了。2、 功能原理只适用于惯性系。功能原理只适用于惯性系。32 A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 如果如果外力的功与非保守内力的功之和为零外力的功与非保守内力的功之和为零(即即A外外+A非保守内力非保守内力=0)时时, 则则 Ep+Ek=Ep0+Ek0 这一结论称为这一结论称为机械能守恒定律机械能守恒定律。三.机械能守恒定律机械能守恒定律应当指出，机械能守恒的条件是应当指出，机械能守恒的条件是A外外+A非保守内力非保守内力=0,这当然是对这当然是对惯性系惯性系而言的。而言的。 还应看到还应看到,在某一惯性系中系统的机械能守恒在某一惯性系中

25、系统的机械能守恒,并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒,因为因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关非保守内力虽然与参考系的选择无关,但但A外外却取决定于参考系的选择。却取决定于参考系的选择。 33机械能守恒定律的条件：机械能守恒定律的条件：A外外+A非保守内力非保守内力=0讨论机械能守恒的条件讨论机械能守恒的条件a 系统受内力，系统受外力，但均不做功。系统受内力，系统受外力，但均不做功。0非保守内力A0非保守内力外AA, 0外Ab有两种情况：有两种情况：.不一定等于零内A.不一定等于零外A2 对系统而言，对系统而言， ，0F1 对系统而言，对系统

26、而言， ，0ijf再次强调：再次强调：34 例题例题 如图所示，一辆质量为如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以的小物体以水平速度水平速度 o滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为数为 ，求，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？人在车上走，摩擦力的方向如何？为什么人多少？人在车上走，摩擦力的方向如何？为什么人的摩擦力可以做正功。的摩擦力可以做正功。

27、M 0mgmMMt)( 解解 (M+m):水平方向不受外力，水平方向不受外力，故动量守恒：故动量守恒： m o=(M+m) 式中式中 是相对静止时的速度。是相对静止时的速度。 (1)对物体对物体m应用动量定理，有应用动量定理，有 - mg.t=m -m o解得解得35M m 解：解： 由于一对内力由于一对内力(摩擦力摩擦力)的功与参考系无关的功与参考系无关, 可取车为参考系来计算摩擦力的功可取车为参考系来计算摩擦力的功, 由系统动能定由系统动能定理得理得 mgL 2221)(21ommM 要物体不滑下车顶要物体不滑下车顶, 车的车的最小长度为最小长度为)(22mMgMLo m o=(M+m)

28、36 例题例题 如图所示，一链条总长为如图所示，一链条总长为L、质量为、质量为m，放，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为面之间的滑动摩擦系数为,令链条由静止开始运动，令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。求链条末端离开桌面时的速率。 解解 链条受三个力作用：摩擦力、重力链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力保守力)以以及桌面对它的支持力及桌面对它的支持力(此力不作功此力不作功)。此题宜用功能原。此题宜用功能原理求解。理求解。 L-xxox2)(2aLLmg 建立如图所示的坐标建立如图所示的坐标ox,

29、 先求摩擦力先求摩擦力(变力变力)的功：的功：gmf桌gxLLm)( AfdxgdxxLLm)(aL37 取取桌面为零势面桌面为零势面，由功能原理，由功能原理:)212(2 mLmg )-(-)(222aLaLLg 解得解得A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)2(aagLm 对链条、细棒这样一些对链条、细棒这样一些有有一定长度的物体一定长度的物体，计算，计算重力势重力势能和重力的力矩能和重力的力矩时可将其时可将其质量质量集中在集中在质心质心，从而当作一个质，从而当作一个质点处理点处理。2)(2aLLmgA L-aa图3-11ox38 例题例题 如图所示，光滑地

30、面上有一辆质量为如图所示，光滑地面上有一辆质量为M的的静止的小车，小车上一长为静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球的轻绳将小球m悬挂于悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。最低点时的速率。 解解 小球受两个力：绳的张小球受两个力：绳的张力力T，重力，重力mg。221 mmgL 解得：解得：gL2 这个解法对吗？这个解法对吗？oLmM Tmg 因为小球绕因为小球绕o点作圆运动，点作圆运动，张力张力T与运动方向垂直，因此它与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力不作功，只有重力(保守力保守力)作功，作功，所以所以小球机械能守

31、恒小球机械能守恒：39 说小球绕说小球绕o点作圆运动，张力点作圆运动，张力T不作功，因而机械能守恒，这是以不作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两小车为参考系作的结论。这里有两个错误个错误: 错错! 错在那里？错在那里？ 对系统对系统(小车、小球小车、小球): 一对内力一对内力(张力张力T)作功之和作功之和为零，只有保守力为零，只有保守力重力作功，则该重力作功，则该系统系统机械能守恒。机械能守恒。VoLmM Tmg一是小车是非惯性系一是小车是非惯性系(有加速度有加速度)，机械能守恒定律是不成立机械能守恒定律是不成立！二是机械能守恒条件中的功，应二是机械能守恒条件中的功，应该

32、在该在惯性系中计算惯性系中计算。在惯性系。在惯性系(地面地面)上看上看,张力张力T要作功要作功,小球的机械能是不守恒的。但一对张小球的机械能是不守恒的。但一对张力力(内力）做功为零。内力）做功为零。 40222121MVmmgL (1)mMMgL 2 竖直方向的动量显然不守恒，竖直方向的动量显然不守恒，只有在水平方向只有在水平方向(根本不受根本不受外力外力)动量守恒动量守恒 0= MV-m (2) 解式解式(1)、(2)得小球运动到最得小球运动到最低点时的速率为低点时的速率为(M+m)：VoLmM Tmg系统动量守恒吗？系统动量守恒吗？41 例题例题 半径为半径为R 、质量为、质量为M且表面光

33、滑的半球，放且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的示的 角位置处，开始脱离球面，试求：角位置处，开始脱离球面，试求： (1) 角满足的关系式；角满足的关系式； (2)分别讨论分别讨论m/M1时时cos 的取值。的取值。 解解 (1)小物体脱离球面的条小物体脱离球面的条件是：件是：N=0。Rmmgr2cos(1) 小物体离开球面的瞬间相小物体离开球面的瞬间相对球面作圆运动，而此时球对球面作圆运动，而此时球面是面是惯性系惯性系，于是沿法向有

34、，于是沿法向有RM mmVx rmgNr为为m相对于相对于M的速度的速度42 取地面为惯性系取地面为惯性系, 以以m、M和地球为系统，机和地球为系统，机械能守恒械能守恒,于是有于是有222121)cos1(xMVmmgR (2) 取地面为惯性系取地面为惯性系, 以以m、M和地球为系统和地球为系统,水平水平方向动量守恒方向动量守恒:(3)0 xxMVm 应当注意：式应当注意：式(2)、(3)中的中的 x、 是是m相对地面的相对地面的速度。速度。RM mmVx rmgN43 由速度合成定理由速度合成定理:xy,Vxrx cos222)sin()cos( rxrV (5)02cos3cos3 mMm

35、解上述式子得解上述式子得:222121)cos1(xMVmmgR (2)(3)0 xxMVm Rmmgr2cos (1)对地对地对对对地对地MMmm RM mmVx rmgN(4) sinry 44 (2) 当当m/Mm时时, cos =2/3这相当于这相当于M不动的情况。不动的情况。 当当m/M1,即即mM时时, 有有 cos3 -3cos +2=0分解因式得分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0 cos =1 , =0这表明这表明m竖直下落。竖直下落。02cos3co3 smMmRM mmVx rmgN45 例题例题 若从地面以一定初速度若从地面以一定初速度 o发射一发射一质量

36、为质量为m的的卫星卫星,并使卫星进入离地心为并使卫星进入离地心为r的圆轨道。设地球的的圆轨道。设地球的质质量和半径分别为量和半径分别为me和和Re，不计空气阻力，则，不计空气阻力，则 o =？ 解解 rmrmmGe22 圆轨道：圆轨道：rGme 机械能守恒：机械能守恒：221om rmmGme 221 eeRmmG )21 (2)21 (2rRgRrRRGmeeeeeo 46讨论：讨论：(1)当当r=Re时时,eogR =7.9km/s, 称为称为第一第一宇宙速度宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射，。若以这个速度垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。卫星将贴近地面沿圆轨道飞

37、行。 , s/km.gReo2112 称为称为第二第二宇宙速度宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。以此速度发射的卫星将飞离地球。(2)当当r时，时，)21 (2)21 (2rRgRrRRGmeeeeeo 47一质点在平方反比引力作用下做圆周运动一质点在平方反比引力作用下做圆周运动,证明：证明：平方反比引力是保守力平方反比引力是保守力22yxrrxxrryyr033rkyrkxzyxkjiF)()(33rkxyrkyxk0j yi xrrerkF2rrk 3)(3j yi xrk0F是保守力。F48 例题例题 一质点在方向指向圆心的力一质点在方向指向圆心的力 (式中式中k为常量为常量)的作用

38、下，沿半径为的作用下，沿半径为r的园周运动，取的园周运动，取无穷远为零势点，求该质点的机械能。无穷远为零势点，求该质点的机械能。2rkF 解解 rmrk22 rkEk2 drrkErp2 rk rkEEEpk2 机械能机械能(注意：注意：平方反比引力是保守力平方反比引力是保守力)49例题例题 如图所示，固定的光滑斜面，如图所示，固定的光滑斜面， =30。一。一轻弹轻弹簧上端固定，下端轻轻地挂上质量簧上端固定，下端轻轻地挂上质量M=1.0kg的木块。的木块。当木块下滑当木块下滑x=30厘米时，一水平方向飞行的质量厘米时，一水平方向飞行的质量m=0.01kg、速度、速度 =200m/s子弹与其相碰并陷在其中。子弹与其相碰并陷在其中。弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数k=25N/m。求子弹打入木块后它们刚。求子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度。一起运动时的速度。 xk Mm (1)木块的下滑过程木块的下滑过程(2)碰撞过程碰撞过程分两步求解：分两步求解：50 (木块木块+弹簧弹簧+地球地球)：系统机械能守恒。选弹簧原：系统机械能守恒。选弹簧原长处为零势点，则有长处为零势点，则有0sin21212