第八章采样系统

1、 第八章第八章 采样控制系统采样控制系统 8 81 1 采样控制系统的基本概念采样控制系统的基本概念 在此以前所讨论的控制系统，系统中的物理量都是时间的连在此以前所讨论的控制系统，系统中的物理量都是时间的连续函数续函数( (即在任意时间的瞬时，都有对应的物理量值，这种物即在任意时间的瞬时，都有对应的物理量值，这种物理量称为连续量或摸拟量理量称为连续量或摸拟量) )，这样的系统也称为连续控制系统，这样的系统也称为连续控制系统或模拟控制系统。但在人类活动威生产过程中，也有这样的物或模拟控制系统。但在人类活动威生产过程中，也有这样的物理量，它虽是时间函数，但只有在特定时刻才有对应的物理量理量，它虽是

2、时间函数，但只有在特定时刻才有对应的物理量值，这样的物理量称为时间的离散量。离散量可以是自然产生值，这样的物理量称为时间的离散量。离散量可以是自然产生的，如炼钢炉的钢产量，只有在出炉时间才有量值，而在炼制的，如炼钢炉的钢产量，只有在出炉时间才有量值，而在炼制时就没有量值，也可以人为产生的，如电表测量的是摸拟量，时就没有量值，也可以人为产生的，如电表测量的是摸拟量，而定时抄录的电量值就是离散量，这种定时抄录称为采样，由而定时抄录的电量值就是离散量，这种定时抄录称为采样，由此得出的量值叫采样值。离散量又可分为两种，一种是随意的此得出的量值叫采样值。离散量又可分为两种，一种是随意的脉冲量，一种是经量

3、化的有规则的数码或称数字量。控制系统脉冲量，一种是经量化的有规则的数码或称数字量。控制系统中只要有一个以上的物理量是离散量，就称这个系统为离散系中只要有一个以上的物理量是离散量，就称这个系统为离散系统或采样控制系统，有时候把离散量是数字量的系统称为数字统或采样控制系统，有时候把离散量是数字量的系统称为数字控制系统。控制系统。xoBox 典型的采样控制系统方框典型的采样控制系统方框图如图图如图8 81 1所示。其中，误所示。其中，误差差e e是时间的是时间的连续信号，经过连续信号，经过采样时间为采样时间为T T的的采样开关采样开关之后，之后，变成一组脉冲序列变成一组脉冲序列e e* *，脉冲脉冲

4、控制器将离散的误差信号处控制器将离散的误差信号处理后，得到离散的控制信号，理后，得到离散的控制信号，该信号经保持器变换为连续该信号经保持器变换为连续信号去控制被控对象。采样信号去控制被控对象。采样开关每隔时间开关每隔时间T T开闭一次，每开闭一次，每次闭合时间为次闭合时间为，则，则称称T T为采为采样周期，样周期，为采样时间，为采样时间， T T，f f s s1/T1/T，s s2/T2/T分别成为采样频率和采样分别成为采样频率和采样角频率。角频率。这样图这样图8-2 a8-2 a所示模拟量所示模拟量e e被采样后变成了图被采样后变成了图8-2 b8-2 b所所示的脉冲序列示的脉冲序列e e

5、* *。本图中，采样周期。本图中，采样周期T T是固定的，我们称为等是固定的，我们称为等周期采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等，周期采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等，本书只介绍常用的等周期采样。本书只介绍常用的等周期采样。 xoBox从图中可以看出，采样后为脉冲序列，每个脉冲之间有一从图中可以看出，采样后为脉冲序列，每个脉冲之间有一段无信号的时间间隔，在这段时间内系统工作在开环状态。段无信号的时间间隔，在这段时间内系统工作在开环状态。若常用周期若常用周期T T过大，则包含在被采样信号中的大量信息将因采过大，则包含在被采样信号中的大量信息将因采样而丢失，因此样而丢失，因

6、此T T是越小越好，但是是越小越好，但是T T过小，若脉冲控制器的过小，若脉冲控制器的运算速度不够高的话，就会造成系统严重失真，甚至不稳定。运算速度不够高的话，就会造成系统严重失真，甚至不稳定。因此保证系统不严重失真而允许的最大采样周期，是一个采因此保证系统不严重失真而允许的最大采样周期，是一个采样系统首先要解决的问题。下面我们就介绍解决这一问题的样系统首先要解决的问题。下面我们就介绍解决这一问题的采样定理。采样定理。 8-2 8-2 采样定理采样定理前节已经提到过，连续信号前节已经提到过，连续信号e e经采样后的离散信号经采样后的离散信号e e* *为一脉为一脉冲序列。如果采样所得的脉冲序列

7、的脉冲持续时间冲序列。如果采样所得的脉冲序列的脉冲持续时间极短，极短，以至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可以至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可以以认为认为趋近于零。趋近于零。在这种情况下，在这种情况下，采样过程可看成一个理采样过程可看成一个理想单位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。想单位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。设单位设单位脉冲序列发生器产生的单位脉冲序列脉冲序列发生器产生的单位脉冲序列T T（t t）如图）如图8 83 3所示所示，则，则T T（t t）的数学表达式）的数学表达式为 xoBox式中式中 T T采样周期采样周期 n n整数整数

8、脉冲调制器（采样器）的输出信脉冲调制器（采样器）的输出信号号e e* *(t)(t)可表示为可表示为）（1-8 )()(nTnTtt）（2-8 )()()()()(*nTnTttettete）（3-8 )()( )()()(*00nnnTtnTenTttete）（4-8 )( )(*)(*0nnTsenTesEteL 在控制系统中，当在控制系统中，当t t0 0时。时。e e（t t）0 0。因此式（。因此式（8-28-2）可以）可以改写为改写为 对式（对式（8-38-3）取拉氏变换得）取拉氏变换得xoBox 为了建立为了建立 与与E(s)E(s)的关系，可求周期函数的关系，可求周期函数T T

9、（t t）的富）的富氏级数，其复数形式为氏级数，其复数形式为式中式中 富氏系数富氏系数 这样，式（这样，式（8-28-2）可以写成下式）可以写成下式 对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可得得 式（式（8-78-7）表明）表明 是是s s的周期性函数。通常的周期性函数。通常 的全部的全部极点均位于极点均位于s s平面的左半平面，因此，将平面的左半平面，因此，将s sjj代入式（代入式（8-78-7），），则可以得到则可以得到e e* *(t)(t)的频谱，的频谱，即即）（5-8 )(nsnTtjneCtTdttjnetTCsTn

10、1)(1）（6-8 1)()()()(*nsTtjneTtettete）（7-8 )(1)(*nsjnsETsE)(* sE)(* sE)(* sExoBox）（8-8 )(1)(*nsjnjETjE 该式反映了离散信号频谱与对应连该式反映了离散信号频谱与对应连续信号频谱之间的关系。设连续信号续信号频谱之间的关系。设连续信号频谱为有限带宽频谱，其最大频率为频谱为有限带宽频谱，其最大频率为m m，如图，如图8-48-4所示。则采样后离散信所示。则采样后离散信号的频谱如图号的频谱如图8-58-5所示，离散信号的频所示，离散信号的频谱中，谱中，n n0 0的部分称为主频谱，它与的部分称为主频谱，它与

11、连续信号频谱是对应的，另外，连续信号频谱是对应的，另外， 还包含了无穷多个高频频谱，如果还包含了无穷多个高频频谱，如果采采样频率样频率s s22m m，则，则 的主频的主频谱与高频频谱之间互不重叠，谱与高频频谱之间互不重叠，如图如图8-8-5a5a所示，因此，可以通过图中所示，因此，可以通过图中虚线所虚线所示的低通滤波器，示的低通滤波器，滤掉所有的高频频滤掉所有的高频频谱，只保留主频谱，从而，可以谱，只保留主频谱，从而，可以将离将离散信号不失真地还原为原来的连续信散信号不失真地还原为原来的连续信号。号。)(*jE)(*jExoBox 如果采样频率如果采样频率s s22m m，如图，如图8-5b

12、8-5b所示，主频谱与附加高所示，主频谱与附加高频频谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利频频谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利用滤波方法来无畸变地复现采样前的连续信号了。用滤波方法来无畸变地复现采样前的连续信号了。 从上面的分析可知，采样系统为了能使采样后的信号得到从上面的分析可知，采样系统为了能使采样后的信号得到复现，从而确保控制精度，应该使复现，从而确保控制精度，应该使采样频率大于两倍连续信采样频率大于两倍连续信号频谱中的最高频率，这就称为采样定理。号频谱中的最高频率，这就称为采样定理。 采样定理的物理意义是，采样频率越高，就是采样周期越采样定理的物理意义是，采样

13、频率越高，就是采样周期越小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续信号变化的所有信息，因此就可以按要求复现。反之，采样信号变化的所有信息，因此就可以按要求复现。反之，采样频率低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样频率低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间的连续信号变化较大，而这种变化未能在采样信号时刻之间的连续信号变化较大，而这种变化未能在采样信号中得到反映，故就不能按一定精度复现原连续信号。中得到反映，故就不能按一定精度复现原连续信号。 需要指出，实际的非周期函数，其频谱中的最高频率是无需要指出，实际的

14、非周期函数，其频谱中的最高频率是无限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。的信号基本上能复现。xoBox 在这种情况下，选择采样频率所依据的在这种情况下，选择采样频率所依据的最高频率怎么确定最高频率怎么确定呢呢? ?一般可先一般可先不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图，不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图，取取A A（）0.010.01，即，即 时的频率为最大频率时的频率为最大频率m m，则则采样周期采样周期T T为为dBLm40)(0 这样选取采样周期，连续信号的信息损失几乎为零，故可这样选取采样周期

15、，连续信号的信息损失几乎为零，故可将采样系统看成连续系统来分析，将采样系统看成连续系统来分析，其结果非常近似。当然，其结果非常近似。当然，若数字控制器的运算速度较慢，也可按若数字控制器的运算速度较慢，也可按m m1010c c（甚至更低（甚至更低，c c为剪切频率）来确定采样周期，但是，这样有可能使信为剪切频率）来确定采样周期，但是，这样有可能使信号失真严重，系统性能指标变差，因此，要用采样系统分析号失真严重，系统性能指标变差，因此，要用采样系统分析方法仔细分析、校正，才能使系统到达较好的性能指标。方法仔细分析、校正，才能使系统到达较好的性能指标。 8-3 8-3 采样信号的复现采样信号的复现

16、连续信号经采样和运算后，输出为一串脉冲信号，如果不连续信号经采样和运算后，输出为一串脉冲信号，如果不把这串脉冲信号复现成连续信号，则将给系统带来严重失真把这串脉冲信号复现成连续信号，则将给系统带来严重失真，系统性能指标发生很大改变，特别是系统的快速性会大幅，系统性能指标发生很大改变，特别是系统的快速性会大幅）（9-8 mTxoBox低。因此，要想完整地复现采样信号，就必须在满足采样定低。因此，要想完整地复现采样信号，就必须在满足采样定理的条件下，通过图理的条件下，通过图8-5a8-5a中虚线所示理想滤波器将采样信号中虚线所示理想滤波器将采样信号频谱中的附加高频频谱分量去掉。就可不失真的再现连续

17、信频谱中的附加高频频谱分量去掉。就可不失真的再现连续信号。当然理想滤波器实际上是不存在的。因此，在工程上通号。当然理想滤波器实际上是不存在的。因此，在工程上通常用具有低通滤波特性的零阶保持器来近似代替。常用具有低通滤波特性的零阶保持器来近似代替。 零阶保持器零阶保持器是采用是采用恒值外推恒值外推的的工作方法，它把前一个时刻工作方法，它把前一个时刻nTnT的的采样信号采样信号e(nTe(nT) )不增不减地一直不增不减地一直保持到下一个采样时刻（保持到下一个采样时刻（n+1n+1）T T，从而使从而使采样信号变成阶梯信号，采样信号变成阶梯信号，如图如图8 86 6所示。所示。 由图可见，再现出的

18、信号与原连续信号是由图可见，再现出的信号与原连续信号是有较大差别的，它有较大差别的，它包含着高次谐波。包含着高次谐波。若将梯形输出信号各中若将梯形输出信号各中点连接起来，可得到一条比原连续信号迟后点连接起来，可得到一条比原连续信号迟后T/2T/2的曲线，据此的曲线，据此可以直观地看出零阶保持器的可以直观地看出零阶保持器的迟后特性迟后特性。xoBox)( 1)( 1)(Ttttgh）（10-8 1)(sesGTsh）（11-8 2)( T/2T/2)sin(T)( 1)(TjGjGjejGhhTjh 为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函

19、数和频率特性。频率特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为零阶保持器的单位脉冲响应函数为 由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取拉氏变换可得拉氏变换可得零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为 零阶保持器的频率特性为零阶保持器的频率特性为xoBox 绘出零阶保持器的频率特性如图绘出零阶保持器的频率特性如图8-78-7所示，其幅值随频率增所示，其幅值随频率增高而衰减，因此它是一个低通滤波器。但不是理想滤波器，高而衰减，因此它是一个低通滤波器。但不是理想滤波器，它除了允许主频谱通过以外，还通过了一部分高频分量。因它除了允许主频谱通过以外

20、，还通过了一部分高频分量。因此，零阶保特器所复现的信号并不是毫无畸变的，另外，从此，零阶保特器所复现的信号并不是毫无畸变的，另外，从相频特性上可以看到，零阶保持器还会产生相位滞后。因此，相频特性上可以看到，零阶保持器还会产生相位滞后。因此，零阶保持器的引入会给系统的稳定性带来不利的影响。零阶保持器的引入会给系统的稳定性带来不利的影响。 除了零阶保持器以外，还可以有一阶、二阶等保持器，但除了零阶保持器以外，还可以有一阶、二阶等保持器，但由于它们实现起来比较复杂，相位滞后比零阶保持器更大，由于它们实现起来比较复杂，相位滞后比零阶保持器更大，故很少应用。故很少应用。采样信号通过零阶保持器后高频分量已

21、大大降低，采样信号通过零阶保持器后高频分量已大大降低，又考虑又考虑到到控制对象一般都具有低通滤波特性控制对象一般都具有低通滤波特性的作用，致使采样带来的作用，致使采样带来的高频分量对系统输出的影响很小。另外，的高频分量对系统输出的影响很小。另外，若若s sm m，则则采样信号的高频分量集中在保持器幅值近似为零的采样信号的高频分量集中在保持器幅值近似为零的nns s（n n1 1、2 2）附近，如图）附近，如图8-78-7虚线所示，这样，采用信号的高频虚线所示，这样，采用信号的高频分量也将被大幅衰减。也就是说，图分量也将被大幅衰减。也就是说，图8-68-6中矩形脉冲越多，还中矩形脉冲越多，还原出

22、来的信号与原信号误差越小，相位迟后也越小。原出来的信号与原信号误差越小，相位迟后也越小。xoBox 另外，从式（另外，从式（8-78-7）可以知道，）可以知道，采样后连续信号幅值被乘以采样后连续信号幅值被乘以1/T1/T，若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。加入加入零阶保持器后连续信号幅值被乘以零阶保持器后连续信号幅值被乘以T T，正好和采样引起的幅值正好和采样引起的幅值变化相抵消，即变化相抵消，即系统的等效开环放大倍数不变。系统的等效开环放大倍数不变。 由于当今计算机的价格已经较低，且运算速度很快，所以由于当今计算机的价格已经较低，且运算速

23、度很快，所以工业数字控制系统均采用计算机作为脉冲控制器，其工业数字控制系统均采用计算机作为脉冲控制器，其数数/ /模转模转换电路就相当于一个零阶保持器，而模换电路就相当于一个零阶保持器，而模/ /数转换电路就相当于数转换电路就相当于一个采样开关。一个采样开关。计算机控制系统可以取较大的采样频率计算机控制系统可以取较大的采样频率s s，故能很好地复现连续信号，使系统具有优良的性能指标。另故能很好地复现连续信号，使系统具有优良的性能指标。另外，计算机控制系统集成度很高，从而提高了系统的可靠性外，计算机控制系统集成度很高，从而提高了系统的可靠性，因此，计算机控制系统作为采样控制系统的主流被广泛应，因

24、此，计算机控制系统作为采样控制系统的主流被广泛应用于各种自动化设备之中。用于各种自动化设备之中。 8 84 4 差分方程和差分方程和Z Z变换变换xoBox一、差分方程一、差分方程 n n阶线性连续系统被采样离散化后，阶线性连续系统被采样离散化后，系统的数学模型可用系统的数学模型可用n n阶差分方程来描述，即阶差分方程来描述，即式中式中 n n系统阶数系统阶数 k k第第k k个采样周期。个采样周期。)() 1()( )() 1()(101krbmkrbmkrbkcankcankcmn 已知采样系统的差分方程和初始条件已知采样系统的差分方程和初始条件 ，则可用迭代法求得差分方程的时间解。，则可

25、用迭代法求得差分方程的时间解。)() 1 (ncc、 xoBoxdttrtc)()()()() 1(kTrTkTcTkc 2)()2()0()(0)0(TTTcTcTTcTccxoBox 但是，采样一般系统的差分方程是很难求得但是，采样一般系统的差分方程是很难求得的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非常不方便的，通常是常不方便的，通常是将连续系统离散化后，对将连续系统离散化后，对传递函数进行传递函数进行Z变换，求出脉冲传递函数及输变换，求出脉冲传递函数及输出量的出量的Z变换

26、，再用变换，再用Z反变换的方法可求得采样反变换的方法可求得采样系统输出的时间解。系统输出的时间解。必要时必要时也可由脉冲传递函也可由脉冲传递函数求得采样系统的差分方程。数求得采样系统的差分方程。xoBox下面先介绍下面先介绍Z Z变换及变换及Z Z反变换反变换。二、二、Z Z变换的定义变换的定义 Z Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采变换是拉氏变换的一种变形，是由采样信号的拉氏变换演变而来的。样信号的拉氏变换演变而来的。8 82 2中式（中式（8-48-4）给出的采）给出的采样信号的拉氏变换为样信号的拉氏变换为引入新的变量引入新的变量z z，并，并令令z ze eTSTS代入上式就得到代入上式

27、就得到采样信号采样信号e e* *(t)(t)的的Z Z变换变换E(z)E(z)为为式中式中 z z是用复数是用复数z z平面来定义的一个复变量，平面来定义的一个复变量，T T为采样周期为采样周期。上式就是。上式就是Z Z变换的定义。变换的定义。三、三、Z Z变换的求取变换的求取 Z Z变换的求取方法有：级数求和法、部变换的求取方法有：级数求和法、部分分式法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。分分式法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。 )( )(*)(*0nnTsenTesEteL）（12-8 )( )()( )(*0Ts0nnnnTsznTeezenTezEteZxoBox例例8-

28、1 8-1 求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的Z Z变换。变换。解解 设设e(t)=1(t)e(t)=1(t)，则，则Z Z变换变换E(z)E(z)为为这是一个等比级数，这是一个等比级数， 时，级数收敛，因此上式可以写时，级数收敛，因此上式可以写成闭合形式成闭合形式用这样的用这样的级数求和级数求和的方法可以求出典型函数的的方法可以求出典型函数的Z Z变换，如表变换，如表8-18-1所示。所示。 表表8-18-1典型函数的典型函数的Z Z变换变换 zzz1)( 1 )(3210nnznTzE1z111 )(1zzzzE)(t)( 1 ts11zzxoBoxt21s2) 1( zzT2/2t31s3

29、2) 1(2) 1(zTzztae as 1Taezz tate 2)(1as 2 )(TaTaezzTeTta/aTsln)/1 (1)0( aazzt sin22s1 cos2 sin2TzzTzxoBoxt cos22ss1 cos2 cos22TzzTzztae 1)(assa)(1()1 ( TaTaezzezteta sin 22)( asTaTaTaeTzezTze 2 2 cos2 sinteta cos 22)(asasTaTaTaeTzezTezz 2 2 cos2) cos( 若函数是以拉氏变换形式若函数是以拉氏变换形式E(s)E(s)给出的，则可用给出的，则可用部分分式

30、法部分分式法将将E(s)E(s)分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再查分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再查对表对表8-18-1，求出，求出Z Z变换。变换。xoBox四、四、Z变换的基本定理变换的基本定理 与拉氏变换一样，与拉氏变换一样，Z变换也有变换也有几个基本定理，熟悉这些基本定理，可以更加方便地几个基本定理，熟悉这些基本定理，可以更加方便地应用应用Z变换。变换。1.线性定理线性定理2.迟后定理迟后定理 设设e（t）的）的Z变换为变换为E（z），则有），则有 )()()()(22112211zEazEateateaZ )()(zEznTteZnxoBox 迟后定理

31、说明，原函数在时间域中延迟迟后定理说明，原函数在时间域中延迟k k个采样周期，相当个采样周期，相当于其于其Z Z变换乘以变换乘以 。nz 3.3.终值定理终值定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），且），且 在以原点为圆心在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有的单位圆上和圆外均无极点，则有 4.4.初值定理初值定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），且），且 存在，则有存在，则有 5.5.超前定理超前定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），则有），则有)()1 (1zEz）（15-8 )() 1(lim)(*l

32、im1zEztezn）（16-8 )(lim)0(zEez）（17-8 )()()(10knnkkznTezzEzkTteZxoBox若若初始条件初始条件 ，则超前定理可表示为，则超前定理可表示为 6.6.复数偏移定理复数偏移定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），则有），则有7.7.卷积和定理卷积和定理设设 则有则有 式中式中, ,当当n n为负数时，为负数时， 0) 1()()0(TkeTee）（18-8 )()(zEzkTteZk）（20-8 )( )()(0nTrTnkgkTckn）（21-8 )()()(zRzGzC， )()( 0)()()(nTcZzCn

33、TrnTgnTc。， )()( )()(nTrZzRnTgZzG）（19-8 ) ( )( TataezEeteZxoBox例例8-2 8-2 求求 对应时间函数的对应时间函数的Z Z变换。变换。解解 ) 1(1)(sssE111) 1(1)(sssssE 查表查表8-18-1得得例例8-3 用用Z变换求积分环节变换求积分环节 的差分方程。的差分方程。为使信息不丢失，需加保持器，即：为使信息不丢失，需加保持器，即：结果与前面直接求的差分方程一样。结果与前面直接求的差分方程一样。)(1()1 (1)(TTTezzezezzzzzEssRsCsG1)()()(1) 1()1 (1)1 (11)()

34、(2121 zTzzTzsZzsseZzRzCTS)()() 1()()()(kTrTkTcTkczRTzCzzCxoBox五、五、Z反变换反变换 和拉氏反变换类似，和拉氏反变换类似，Z反变换可以表示为反变换可以表示为 Z Z反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等，反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。其中以部分分式法最常用。 例例8-3 8-3 用用部分分式法部分分式法求求 的的Z Z反变换。反变换。 解解 用部分分式法将用部分分式法将E E（z z）展开为）展开为 式中式中 c c1 1、c c2 2为待定系数，由于典型函数的为待定系数，由于典

35、型函数的Z Z变换的分子上均变换的分子上均有一个有一个z z（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的z z。查。查表表8-18-1，并由线性定理得，并由线性定理得Z Z反变换为反变换为）（22-8 )(*)(1tezEZ)2)(1(10)(zzzzE210110 21)2)(1(10)(21zzzzzzczzczzzzExoBox 例例8-4 8-4 用用长除法长除法求求 的的Z Z反变换。反变换。)3(70)2(30)(100 )() 12(10)(*) 12(10)(0TtTtTtnTttenTennn)2)(1(10)(zzzzE解解 用长除法求得

36、用长除法求得对上式取对上式取Z Z反变换为反变换为结果与例结果与例8-38-3一样。一样。21123110)2)(1(10)(zzzzzzzE321703010)(zzzzE)3(70)2(30)(100)(*TtTtTttexoBox从上例看出，长除法求从上例看出，长除法求Z Z反变换非常简单、方便，但是，反变换非常简单、方便，但是，求出的是离散函数的脉冲序列，要得到离散函数的闭合形式求出的是离散函数的脉冲序列，要得到离散函数的闭合形式是比较困难的。是比较困难的。 8 85 5 脉冲传递函数脉冲传递函数一、基本概念一、基本概念 在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输在线性连续系统

37、理论中，把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定义为传递函数。义为传递函数。 与此相类似，在线性采样系统理论与此相类似，在线性采样系统理论中，把初始条件为零的情况下系统的中，把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的离散输出信号的z z变换与离散输入信变换与离散输入信号的号的z z变换之比，变换之比，定义为定义为脉冲传递函脉冲传递函数数，或称，或称z z传递函数。它是线性采样传递函数。它是线性采样系统理论中的一个重要概念。系统理论中的一个重要概念。 对于图对于图8-88-8所示的采样系统，脉冲传递函数为

38、所示的采样系统，脉冲传递函数为 xoBox )()()(zRzCzG 如果已知系统的脉冲传递函数和输入量的如果已知系统的脉冲传递函数和输入量的Z Z变换，变换，由上式可求出采样系统的由上式可求出采样系统的离散输出信号为离散输出信号为 在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的相同。输入端采样开关的相同。 )()()()(*11zRzGZzCZtcxoBox 二

39、、采样系统的开环脉冲传递二、采样系统的开环脉冲传递函数函数 讨论采样系统的开环脉冲传递讨论采样系统的开环脉冲传递函数时，应该注意图函数时，应该注意图8 89 9中所示中所示的两种不同的情况。的两种不同的情况。 在图在图8 89a9a所示的开环系统中所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关，两个串联环节之间有采样开关脉冲传递函数可由下式求得脉冲传递函数可由下式求得 即即系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g (t)g (t)，经，经过采样后的离散信号过采样后的离散信号g g* *(t)(t)的的z z变换。变换。又由于单位脉冲响应又由于单位脉冲响应

40、g (t)g (t)等于传递函数等于传递函数G G（s s）的拉氏反变换，故）的拉氏反变换，故可根据部分分式法直接可根据部分分式法直接由由 G G（s s）求出系统的脉冲传递函数）求出系统的脉冲传递函数G G（z z）。）。)()()(tgZsGZzGxoBox存在，这时存在，这时 X(z)G1(z)R(z) C(z)=G2 (z) X(z)=G2 (z)G1(z) R(z)由此可得由此可得 G(z)=C(z) / R(z)=GG(z)=C(z) / R(z)=G1 1(z)G(z)G2 2 (z)(z)上式表明，有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传上式表明，有采样开关分隔的两个环节串联时

41、，其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。上述结论可以推递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。上述结论可以推广到有采样开关隔离的广到有采样开关隔离的n n个环节串联的情况。个环节串联的情况。在图在图8 89b9b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为 G(z)=C(z) / R(z)=ZG(z)=C(z) / R(z)=ZG G1 1(s) G(s) G2 2 (s)(s)G G1 1G G2 2 (z)(z)请读者注意，脉冲传递函数书写方式的区别，请读者注意，脉冲传递函数书

42、写方式的区别，G G1 1(z)G(z)G2 2 (z) (z) 表示两个环节分别被采样开关隔开，必须先求各自的表示两个环节分别被采样开关隔开，必须先求各自的Z Z变换，变换，然后再相乘；然后再相乘；G G1 1G G2 2 (z)(z)表示两个环节没有被采样开关隔开，必表示两个环节没有被采样开关隔开，必须先将两个环节的传递函数相乘，然后再求须先将两个环节的传递函数相乘，然后再求Z Z变换。变换。通常，通常，G G1 1(z)G(z)G2 2 (z) G(z) G1 1G G2 2 (z)(z)。xoBox例例8-5 8-5 设在图设在图8-98-9中中 。求系统的开环。求系统的开环脉冲传递函

43、数。脉冲传递函数。解解 图图8-9a8-9a所示系统的开环脉冲传递函数为所示系统的开环脉冲传递函数为 图图8-9b8-9b所示系统的开环脉冲传递函数为所示系统的开环脉冲传递函数为 显然，有无采样开关隔开其结果是大不一样的。显然，有无采样开关隔开其结果是大不一样的。三、采样系统的闭环脉冲传递函数三、采样系统的闭环脉冲传递函数在采样控制系统中，由于采样器的设置方式是多样的，因在采样控制系统中，由于采样器的设置方式是多样的，因此闭环系统的结构形式也不统一。比较常见的系统结构之一此闭环系统的结构形式也不统一。比较常见的系统结构之一如图如图8-108-10所示。图中输出端的采样开关是为了便于分析而虚所示

44、。图中输出端的采样开关是为了便于分析而虚设，由图可知，误差的设，由图可知，误差的Z Z变换为变换为 asasGssG)(,1)(21TaezazzzzGzGzG 211)()()()(1()1 () 1()()()( 21TaTaezzezssaZsGsGZzG）（26-8 )()()(*)(*)(zBzRsBsRZzExoBox以误差以误差 的采样信号为输入的采样信号为输入量，可以得量，可以得 到反馈量到反馈量B B（s s）为）为故反馈量的故反馈量的Z Z变换为变换为 将上式代入式（将上式代入式（8-268-26）整理得）整理得 )(*)()()(sEsHsGsB)()() z ()()(

45、Z) z (zEzGHEsHsGB)(* sE）（27-8 )(11 )()()()()(11)(zGHzRzEzzRzGHzEe 仿照连续系统，仿照连续系统，把把e e（z z）称为误差脉冲传递函数。）称为误差脉冲传递函数。 又因系统的输出为又因系统的输出为)()()()(*)()(zEzGzCsEsGsCxoBox将式（将式（8-278-27）代入上式可得）代入上式可得系统脉冲传递函数为系统脉冲传递函数为综上所述，采样系统方框图的等效变换方法与连续系统一综上所述，采样系统方框图的等效变换方法与连续系统一样，只是要注意各环节被采样开关分隔的情况，样，只是要注意各环节被采样开关分隔的情况，若输

46、入量与若输入量与前向通道某环节之间无采样开关，前向通道某环节之间无采样开关，则脉冲传递函数不能写成则脉冲传递函数不能写成式（式（8-288-28）那样的形式，而）那样的形式，而只能写成输出量只能写成输出量Z Z变换的形式。变换的形式。）（28-8 )(1)( )()(zGHzGzRzE 例例8-6 8-6 求图求图8 81111所示系统的所示系统的脉冲传递函数。脉冲传递函数。 解解 前向通道中，前向通道中，R(s)R(s)与与G G1 1（s s）之间无采样开关，必须先相）之间无采样开关，必须先相乘乘 后取后取Z Z变换，反馈环中，变换，反馈环中，G G3 3（s s）、）、H (s)H (s

47、)、G G1 1（s s）之间无）之间无采样开关，也必须先相乘后取采样开关，也必须先相乘后取Z Z变换，故求得系统输出量的变换，故求得系统输出量的Z Z变换为变换为)()(1)()()()(312321zHGGzGzGzGzRGzCxoBox 8 86 6 采样系统的性能分析采样系统的性能分析分析采样传统性能指标时，应注意两点，分析采样传统性能指标时，应注意两点，第一，若无零阶第一，若无零阶保持器，则必须将开环放大倍数乘上采样周期保持器，则必须将开环放大倍数乘上采样周期T T，再进行分析，再进行分析，因为，采样后相当于开环放大倍数除了一个，因为，采样后相当于开环放大倍数除了一个T T，乘上一个

48、，乘上一个T T后才能抵消这一影响，使计算结果与实际结果一致。第二，后才能抵消这一影响，使计算结果与实际结果一致。第二，若无零阶保持器，除了将开环放大倍数乘上若无零阶保持器，除了将开环放大倍数乘上T T外，还外，还必须满足必须满足n nm m2 2（n n、m m传递函数分母、分子阶数），传递函数分母、分子阶数），这样才能避免这样才能避免信号在采样点前后的跳变，否则计算结果将与实际结果相差信号在采样点前后的跳变，否则计算结果将与实际结果相差很大。很大。一、采样控制系统的稳态误差一、采样控制系统的稳态误差连续系统稳态误差的分析方法可以推广到采样系统中来，连续系统稳态误差的分析方法可以推广到采样系

49、统中来，只是拉氏变换与只是拉氏变换与Z Z变换的终值定理有所不同，其方法有些不同变换的终值定理有所不同，其方法有些不同而已。而已。对于图对于图8-108-10所示采样系统，误差的定义与连续类似，即误所示采样系统，误差的定义与连续类似，即误差等于输入量减反馈量，式（差等于输入量减反馈量，式（8-278-27）已经给出了误差脉冲传）已经给出了误差脉冲传递函数，即递函数，即xoBox )(11 )()()(zGHzRzEze 当采样系统为当采样系统为l l型系统，即型系统，即GH(z)GH(z)中包含一个积分环节时，中包含一个积分环节时，GH(z)GH(z)具有一个具有一个z z1 1的极点，这时，

50、的极点，这时，K Kp p，e esrsr0 0。 设闭环系统稳定，根据设闭环系统稳定，根据Z Z变换的终值定理可以求出在输入信变换的终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的号作用下采样系统的稳态误差终值稳态误差终值 上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数数GH(z)GH(z)和输入信号的形式。和输入信号的形式。 下面讨论三种典型输入信号的情况下面讨论三种典型输入信号的情况 1.1.输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数 ，代入式（，代入式（8-298-29），），得得 为系统的为系统的位置误差系数。位置误差系数。）（29

51、-8 )(1)() 1(lim)(lim1zGHzRzteezsrtsr1)(zzzR）（30-8 11 )(11lim1pzsrKzGHe)(lim1zGHKzpxoBox2.2.输入信号为单位斜坡信号输入信号为单位斜坡信号 ，代入式（，代入式（8-298-29），），得得 为系统的为系统的速度误差系数。速度误差系数。 2) 1()(zzTzR）（31-8 )() 1(lim )(1) 1(lim11vzzsrKTzGHzTzGHzTe)() 1(lim1zGHzKzv 为系统的为系统的加速度误差系数加速度误差系数。 当采样系统为当采样系统为0 0和和1 1型系统时，型系统时， K Kv v

52、0 0，e esrsr。 )() 1(lim21zGHzKza 当采样系统为当采样系统为0 0型系统，即型系统，即GH(z)GH(z)中不包含一个积分环节时，中不包含一个积分环节时，GH(z)GH(z)没有没有z z1 1的极点，这时，的极点，这时，K Kv v0 0，e esrsr。 当采样系统为当采样系统为2 2型系统，即型系统，即GH(z)GH(z)中包含两个积分环节时，中包含两个积分环节时，GH(z)GH(z)有两个有两个z z1 1的极点，这时，的极点，这时，K Kv v，e esrsr0 0。 3.3.输入信号为单位抛物信号输入信号为单位抛物信号 ，代入式（，代入式（8-298-2

53、9），），得得32) 1(2) 1()(zzzTzR）（32-8 )() 1(lim )(1) 1(2) 1(lim2221221azzsrKTzGHzTzGHzzTexoBox 二、采样控制系统的稳定条件二、采样控制系统的稳定条件下面通过下面通过Z Z反变换直接求出采样系统输出信号的采样信号来反变换直接求出采样系统输出信号的采样信号来分析采样系统的性能。分析采样系统的性能。设采样系统的设采样系统的闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为设闭环脉冲传递函数的极点为设闭环脉冲传递函数的极点为i i （i=1i=1、2 2、n n，假，假设无重极点）。设输入为单位阶跃函数，即设无重极点）。设输入为单位

54、阶跃函数，即 ，代入，代入式（式（8-338-33）并用部分分式法展开，得到输出的）并用部分分式法展开，得到输出的Z Z变化为变化为对上式进行对上式进行Z Z反变换得系统输出的采样信号为反变换得系统输出的采样信号为）（33-8 )()()()(1111011110nnnnmmmmazazazabzbzbzbZMZNZRZCninmmmmzzbzbzbzbZC1ii0111110-zzA1-zzA 1-zz )()()(1)(zzzR）（34-8 )( 1)(*10kiniiAkAkcxoBox上式中，第一项为系统输出采样信号的稳态分量，与系统上式中，第一项为系统输出采样信号的稳态分量，与系统暂

55、态性能及稳定性无关。第二项为系统输出采样信号的暂态暂态性能及稳定性无关。第二项为系统输出采样信号的暂态分量，该项与系统暂态性能及稳定性密切相关。随时间的增分量，该项与系统暂态性能及稳定性密切相关。随时间的增长暂态分量趋于零采样系统稳定，因此，闭环极点长暂态分量趋于零采样系统稳定，因此，闭环极点i i在在Z Z平平面的位置决定了系统的暂态性能及稳定性。随着面的位置决定了系统的暂态性能及稳定性。随着k k趋于无穷大，趋于无穷大，若所有闭环极点的模若所有闭环极点的模|i i| |1 1，则暂态分量趋于零，系统稳，则暂态分量趋于零，系统稳定。反之，只要有一个极点的模定。反之，只要有一个极点的模|i i

56、| |1 1，则暂态分量不可，则暂态分量不可能趋于零，系统不稳定。若能趋于零，系统不稳定。若|i i| |1 1，系统处于临界稳定。，系统处于临界稳定。另外，由第三章中已知，线性连续系统稳定的充分和必要另外，由第三章中已知，线性连续系统稳定的充分和必要条件是系统特征方程的所有根都位于条件是系统特征方程的所有根都位于s s平面虚轴的左半部，即平面虚轴的左半部，即都具有负实部。都具有负实部。 我们知道我们知道Z Z变换是拉氏变换的变形，即对线性采样系统进行变换是拉氏变换的变形，即对线性采样系统进行了拉氏变换以后，令了拉氏变换以后，令 ，因此要用，因此要用Z Z平面分析系统的稳定平面分析系统的稳定性

57、，首先要弄清这两个复平面的映射关系。性，首先要弄清这两个复平面的映射关系。如图如图8-128-12所示，所示，S S平面的虚轴为平面的虚轴为s sjj，对应的复变量，对应的复变量 ，即，即S S平面的虚轴对应于平面的虚轴对应于Z Z平面上圆心在坐标圆点的单位圆。平面上圆心在坐标圆点的单位圆。在在S S平面的左半平面上的任意一点其实部均小于零，即平面的左半平面上的任意一点其实部均小于零，即Tsez TjezxoBoxs sjj（00）, , 对应的复变对应的复变量量 ，其幅值其幅值 。 因此，因此，S S平面的左半平面相当于平面的左半平面相当于Z Z平平面上圆心在坐标圆点的单位圆的内部面上圆心在

58、坐标圆点的单位圆的内部。 Tjez11TTeez设采样系统的闭环脉冲传递函数为设采样系统的闭环脉冲传递函数为 相应的相应的特征方程式为特征方程式为 1 1十十GH(z)GH(z)0 0系统特征方程式的根系统特征方程式的根1 1 ，2 2 ，n n 。即为。即为闭环脉冲闭环脉冲传递函数的极点。传递函数的极点。根据以上的分析可知，根据以上的分析可知，闭环采样系统稳定的充分和必要条闭环采样系统稳定的充分和必要条件是，系统特征方程的所有根（即闭环脉冲传递函数的极点件是，系统特征方程的所有根（即闭环脉冲传递函数的极点）均位于）均位于Z Z平面上以原点为圆心的单位圆之内。平面上以原点为圆心的单位圆之内。)

59、(1)()()(ZGHZGZRZCxoBox三、采样控制系统的暂态性能三、采样控制系统的暂态性能像连续系统一样，对于高阶系统首先要确定对系统性能影像连续系统一样，对于高阶系统首先要确定对系统性能影响最大的主导极点，显然响最大的主导极点，显然,|,|i i| |越小，越小，即极点越靠近即极点越靠近Z Z平面的平面的坐标原点，坐标原点，衰减越快，对系统性能影响越小，故可忽略不计衰减越快，对系统性能影响越小，故可忽略不计。|i i| |越靠近单位圆，衰减越慢，对系统性能影响越大，故越靠近单位圆，衰减越慢，对系统性能影响越大，故可视为主导极点。可视为主导极点。1.1.主导极点主导极点i i为正实数为正

60、实数(0(0i i1) 1) 系统近似为一阶系统，系统近似为一阶系统，系统的单位阶跃响应为单调上升的脉冲序列，无超调量。系统的单位阶跃响应为单调上升的脉冲序列，无超调量。2.2.主导极点主导极点i i为负实数为负实数( (11i i0) 0) 系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应为衰减振荡的脉冲序列，系统出现超调量。为衰减振荡的脉冲序列，系统出现超调量。3.3.主导极点主导极点i i为共轭复数为共轭复数 系统的单位阶跃响应为衰减的系统的单位阶跃响应为衰减的正弦振荡脉冲序列，系统出现超调量。正弦振荡脉冲序列，系统出现超调量。以上只是定性的分析，若要求定量的指标，可按式（以上只是定性的分析，若要求