2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二平移旋转折叠问题

1、2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二平移旋转折叠问题例1、如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处, 且DEBC,下列结论:ABDF是等腰三角形;DE=BC;四边形ADFE2是菱形;NBDF+/FEC=2/A.其中一定正确的个数是（）.【解析】如图，分别过点D, E作BC的垂线DG, EIU连接AF,由于折叠是轴对称变换如AF 与DE垂直，因为DEBC,所以AF与BC垂直，且AM=MF,可以证明点D, E分别是AB,AC的中 点,即DE是AABC的中位线所以DE/BC是正确的；由于折叠是轴对称变换知AD=DF, AE=EF,所以DA=DB=DF,所以ABDF是等腰

2、三角形是正确的；因DGAFEH,所以 ZBDG=ZDAM,又因为DG是等腰三角形BDF的高，所以ZBDF=2ZDAM,同理NCEF = 2 NEAM, 所以NBDF+NFEC=2NA是正确的；如图显然四边形ADFE不是菱形,是错误的.【答案】C例2、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）.【解析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形 是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能和原图形互相重 合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义可知A是轴对称图形,且有1条对称轴,但不 是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称图形

3、；C是轴对称图形，有1条对称轴，但 不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形，有4条对称轴.【答案】By例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形0AB的顶点B的坐标为（2, 0）,（r点A在第一象限内，将AOAB沿直线0A的方向平移至（）' A' T的位置，a/此时点V的横坐标为3,则点次的坐标为./【解析】作AM_Lx轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2, ZA0B=60° ,在RtZOAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出0M=l, AM=73,从而求得点A的坐标为(1, 3,直线0A的解析式为y=囱x,当x=3时，y=3招，所

4、以点A'的坐标为(3, 3g),所以点A'是由点A向右平移2个单位，向上平移.4/23个单位后得到的，于是得点I的坐标为(4, 2百).【答案】(4, 23)例4、在RtAABC中，/BAC=90。，/B=30，线段AD是BC边上的中线，如图1,将AADC沿 直线BC平移,使点D与点C重合,得到AFCE,如图2,再将AFCE绕点C顺时针旋转，设旋转 角为 a (00 < a <90° )，连接 AF, DE.(1)在旋转过程中，当/ACE=150。时，求旋转角a的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？清说明理由.【解析】(1)由题意

5、分析可知此间需分两种情况讨论，点E和点D在直线AC两侧；点 E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中，总是存在AC=CE, DC=CE.由图形的对称性可知, 将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证 明.【答案】：(1)在图 1 中，V ZBAC=90° , ZB=30° ,A ZACE=ZBAC+ZB=120° .如图2,当点E和点D在直线AC两侧时，由于/ACE=150。，Q =1500 -120。=30。.当点E和点D在直线AC同侧时，由于/ACB=18(T -ZBAC-ZB=60° , A ZDCE=ZA

6、CE-ZACB=1500 -60。=90° .A Q=1800 -/DCE=9(T .，旋转角 a 为 30° 或 90。;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形.VZBAC=90° , ZB=30" , AAC=l_BCfc2又TA)是BC边上的中线，.AD=DC=BC=AC.1.ADC为正三角形.2当 a =60° 时，如图 3, ZACE=120° 与0° =180。.V CA=CE=CIXF,，四边形ADEF为矩形.当 a 工60° 时，/ACFW120。，ZDCE=3600 -60。-60°

7、-/ACFW120。.显然 DEAF. VAC=CF, CD=CE,/-2Z?AC+ZACF=2ZCDE+ZDCE=180" .V ZACF+ZDCE=360° -60° -60° =240° ,A ZFAC+ZCDE=60° . A ZDAF+ZADE=120° 田0° =180° .二AFDE.又DEWAF, AD=EF, 四边形ADEF为等腰梯形.(AP>AM)，点A和点例5、如图，矩形纸片ABCD,将AMP和BPQ分别沿PM和PQ折叠 B都与点E重合,再将4CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ

8、上的点F 处.(1)判断AAMP, ABPQ, ZSCQD和4尸剧中有哪几对相似三角形？(2)如果 AM=1, sin/DMF=°,求 AB 的长.【解析】(1)由矩形的性质得NA=NB=/C=90° ,由折叠的性质和等角的余角相等，可得ZBPQ=ZAMP=ZDQC,所以AMPs/iBPQsacQDj (2)先证明 MD=MQ,然后根据sin/此竺 _ 3DFMD=35,设 DF=3x, MD=5x,再分别表示出 AP, BP, BQ,根据 MD 5AMPABPQ,列出比例式解方程求解即可.解：(1) AMPsABPQs/xcQD.V 四边形 ABCD 是矩形，:.ZA=Z

9、B=ZC=90° .由折叠的性质可知/APM=/E胤，ZEPQ=ZBPQ.二 ZAPM+ZBPQ= ZEPM+ZEPQ=90° .V ZAPM+ZAMP=90° , A ZBPQ=ZAMP.:.AAMPABPQ.同理，BPQACQD.根据相似的传递性可得AMPs/CQD；(2) VAD/7BC, A ZDQC=ZMDQ.由折叠的性质可知/DQC=/DQI4.ZMDQ-ZDQM. AMD-MQ.VAM=ME, BQ=EQ,，BQ=MQ-ME=MD-AM.VsinZDMF= = 3,贝【设 DF=3x, MD=5x,贝BP=PA=PE= , BQ=5x-LMD 一 W

10、22AMPs/sBPQ,，竺=竺，即 1 _ 3x ,解得 x=-（舍去）或 x=2, AAB=6.BP - BQ 五 厂9万 5x -1例6、如图，在平面直角坐标系中，正三角形0仍的顶点3的坐标为（2, 0）,点/在第一 象限内，将沿直线宓的方向平移至厅川的位置.此时点广的横坐标为3, 则点的坐标为（）.A.4, 2招）B. （3,1与）C. （4,次回） D. （3, 26）【答案】A【解析】如图，当点5的坐标为（2, 0）,点力的横坐标为1.当点，的横坐标为3时，等边三角形4久的边长为6.在RtZ4 切中，E C=4,所以" =2, E尸2出、此时 （4,2代）.例7、图形的折

11、叠：如图，在矩形屈力中，/。=15,点£在边比上，联结/E 被沿 直线四翻折后点。落到点E过点?作成L/2垂足为G如果四=3做 那么庞=【答案】 * 【解析】思路如下8如图，过点尸作力。的平行战交相于必交DC千N.因为血=15,当/。=33时，MF=AG=13在Rt小中，力产 =M?=15 MF=O,所以怒U56.骸DE= *哪么NE= 5加一m .由闻吐月吻，得4丝=%，即蛀=，_,解得片人行, MF NE 105y/5-m例8、图形的旋转：如图，己知Rt后中，/板=901 AC=6,充=4,将3'绕直角顶点C顺时针旋转90°得到龙&若点厂是您的中点，连接

12、外；贝1J仍【答案】5.【解析】思路如下，如图，忤FHIAC千艮由于尸是龙的中点，所以瘠是皿的中位线，所以郎 =3.由于恕="一届 =64=2, EH=2,所以止4.所以"=5,例9、三角形：如图，4%丝郎（点人8分别与点火E对应），AB=AC=5, BC=6. ©%固定不动，郎运动，并满足点£在 充边从6向。移动（点后不与氏C重【答案】1或1 6【解析】思路如下:合），如'始终经过点人 跖与力C边交于点也 当力朗是等腰三角形时，BE=设 BE= x.由鹿S及心得坐=鸟_即2='.EC ME 6-x ME等腰三角形/所分三种情况讨论：如图

13、2,如果45-J傅那么/胡乙岱二所以旦=2=工.解得/=o,此时反方重合，舍去. ME 6 6-x如图3,当初=回时， = = 1.解得x=L 6-x ME如图4,当曲=能时，ms睡.所以卫=9=_?_.解得/=!.例10、四边形：如图，矩形屈力中，AB=8,充=4,点E在边49上，点尸在边C 上，点C夕在对角线上.若四边形跖叼是菱形，则的长是（）.A. 2yjsB. 375Q 5D. 6【答案】C.【解析】思路如下X拖动点£在松上运动，可以体验到，当星与/C垂直时，四边形跖勿是菱形（如图2）.如图3,在 此4%中，XZ7-8, 勿-4,所以/；-心污.由cos/物。=丝=丝，得3A

14、C AE4 布拽.所以超=5、AE图3例11、圆：如图，0。的半径为2, AB,是互相垂直的两条直径，点 尸是0。上任意一点（尸与/, & C, 不重合），过点尸作网JL四于点 必PN1CD千点、N,点0是糊的中点，当点尸沿着圆周转过45°时，点 。走过的路径长为【答案】A.【解析】思路如下：拖动点尸在圆周上运动一周，可以体验到，当点尸沿着圆周转过45。时，点。走过的 路径是圆心角为45。半径为1的一段弧.如图2,四边形用伽是矩形，对角线松/与。互相平分且相等，因此点。是8的中例12、函数图象：如图，直线1与半径为4的。相切于点力,尸是 上一个动点（不与点力重合），过点尸作图

15、_LI,垂足为员 联结用.设 用=& PB=y,则皂一步的最大值是.【答案】2.【解析】思路如下:拖动点尸在圆上运动一周，可以体验到，47的长可以表示大一九点尸的轨迹象两叶新 树丫，当'最大时，弧与47垂直（如图2）.如图2,“'为。的直径，联结:由得4£=必，即。=£.所以丁=二, AP PB x y8因此 x_y = x_ Jr2 = _1（x_4y +2 ,88所以当x=4时，力一/最大,最大值为2.图2图3例13、.如图所示,在RtAABC中，ZC=90° , ZBAC=60° , AB=8.半径为 旧 的OM与射线BA

16、相切,切点为N,且AN=3.将RtAABC顺时针旋转120°后得到RtAADE, B, C的时应点分别 是点D, E.(1)画出旋转后的RtAADE, (2)求出RtZADE的直角边DE被截得的弦PQ的长度j判断RtAADE的斜边AD所在的直线与0M的位置关系,并说明理由.【分析】点A不动，由于NBAC=6(T ,因此旋转120。后AE与AB在同一条直线上； 过点M作MF1DE,垂足为F.连接MP,构造出RtAMPF,再通过勾股定理解直角三角形并结 合垂径定理即可求解；(3)易猜想AD与。M相切.欲证AD与。M相切，只需HM-NM即可，而 HM=NM可由MHAg则 得到.【答案】证明：(1)如图1, Rt/XADE就是旋转后的图形：如图2,过点M作MF JLDE,垂足为F,连接MP.在RtAMPF中,MX出，MF=4-3=1,由勾股定理易得PF=2,再由垂径定理知PQ=2PF=2、，5 ；(3) AD与。M相切.证法一：如图2过点M作MH_LAD于H,连接MN. MA,则MN_LAE且MN=、G.在RtAAMN咖 6中,tan/ 的 3 ,二 ZMAN=30" .VZDAE=ZBAC=60" , A ZMAI>=30o .二 ZMAN=ZMAD=30&