不等式恒成立能成立恰成立问题分析

1、不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式x2 2ax 1 0对x 1,2恒成立，其中a 0,求实数a的取值范围。分析：思路(1)通过化归最值，直接求函数f (x) x2 2ax1的最小值解决，即fmin(X)0。思路(2)通过分离变量，转化到L %2x 21、 L 一)解决,xx2 1即 a ()2xmin 。思路(3)通过数形结合，化归到1 2ax作图解决,1图像在y2ax的上方。小结：不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值:(1)若不等式X在区间D上恒成立，则等价于在区间f x minx的下界大于A；(2)若不等式X在区间D上恒成立，则等价于在区

2、间f x maxx的上界小于B。例已知f x2x a -对任意x 1, f x0恒成立，试求实数a的取值范围。解：等价于成立，又等价于x2 2x0对任意x 1, 恒1时，xa 1 在 1,min0成立.由于上为增函数，贝U - x min xa 3,所以2、分离参数法(1)将参数与变量分离，即化为(或gf x )恒成立的形式;(2)求f x在xD上的最大(或最小)值;(3)解不等式gf xmaxxmin),得的取值范围。例已知函数f (x)ax 4x x2, x(0,4时f (x) 0恒成立，求实数 a的取值范围。解：将问题转化为4x x2a 对x(0,4恒成立。人.4x x2 一.令 g(x

3、),则 a g(x)minx4 1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)min Xg(4) 0a 0即a的取值范围为(,0)。注：分离参数后，方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。例 已知二次函数f (x) ax20,1时，恒有f(x)1,求a的取值范围。解： f(x)(1)当1,21 ax综上得,3、数形结合法(1)若不等式象上方;(2)若不等式象下方。例设f (x)0时，不等式x 1时，由(1x12)2(xa的取值范围为x2 4x分析：在同一直角坐标系中作出1,0即1 x1显然成立,2 axax214孑2(4x1)minx0,0.在区间在区间g(x)2,(1)max x2,2.D上

4、恒成立,D上恒成立,4x 13f (x)及 g(x)如图所示，f(x)的图象是半圆(x 2)2则等价于在区间则等价于在区间a,若恒有f(x)的图象y2 4(y 0)D上函数D上函数g( x)的图象是平行的直线系 4x3y 33a 0。要使f (x) g(x)恒成立,则圆心(2,0)到直线4x 3y 3 3a 0的距离g(x)成立，求实数和图象在函数y g x图和图象在函数y g x图a的取值范围.-2xO满足 d8 3 3a5斛付a5或a -(舍去)31例当x (0,)时，不等式x2 logax恒成立，求a的取值范围.2分析：注意到函数 f(x) x2, g(x) log a x都是我们熟悉的

5、函数，运用数形结合思想，可知要使对一切小 1、,一 ，c 1、，22yi, ,、rx (0,2), f (x) g(x)恒成立，只要在(0,2)内，g(x) logax的图象在f (x) x图象的上万即可显然一 E r110 a 1,再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即f (-) g(-).221 _ 一 .斛：设f (x) x , g(x) log a x ,则要使对一切x (0,-), f (x)g(x)恒成立，由图象可知 0a 1,并2一 _ 11、.11且 f (2) g(2)，故有 log a - J ,1c ,1，a , 又 0 a 1 a 11616点评：通过上述的等价

6、转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。11此外，从图象上直观得到0 a 1后还需考查区间(0,万)右端点x 3处的函数值的大小。4、变换主元法 例 对于?黄足0 p 4的一切实数，不等式 x2 px 4x p 3恒成立，试求x的取值范围。分析：习惯上把x当作自变量，记函数 y x2 (p 4)x 3 p,于是问题转化为：当p 0,4时，y 0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的。解：设函数f(p) (x 1)p (x2 4x 3),显然x 1 ,则f (p)是p的一次函数，要使 f

7、(p) 0恒成立，当且仅当f (0) 0,且f(4)0时，解得x的取值范围是(，1)(3,)。点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色。例 对任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式 (x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题。2解：令f(a) (x 2)a x 4x 4,则原问题转化为f (a) 0恒成立(a 1,1)。当x 2时，可得f(a) 0,不合题意。当x

8、2时，应有f*0。解之得x 1 或x 3。故x的取值范围为(,1) (3,)。注：一般地，一次函数f(x) kx b(k0)在,上恒有f(x) 0的充要条件为f( )f()a 例设函数h(x)分析:x解决双参数问题一般是先解决一个参数2,2,都有h(x) 10在x 4,1恒成立，求实数b的取值范围。再处理另一个参数。以本题为例,实质还是通过函数求最值解决。方法1：化归最值,h(x) 10h max ( x)方法2:变量分离,b 10方法3:变更主元,(a)(a x1x)或ax2 (10简解:对于方法3:变更主元,即可,因为10 0,原函数可以看成是关于(a)有最大值a的函数(a) max(a)

9、(2x10)max 0。当1 gx 一时,4,2(x b 10) max x练习题1、设fx2 2ax 2,当 x -1,+时，都有解：a的取值范围为-3 , 12、R上的函数f x既是奇函数，又是减函数，且当恒成立，求实数 m的取值范围。解：由f2cos 2msin2m20得到:数，故有2-f cos 2msinf 2m2恒成立,又因为fx为R减函数，从而有2 cos2msin成立。设sin t ,则 t2 2mt2m 11 1,2211010b 10 0,只需(a)maX01_-,1恒成立，只需0 ,得b的取值范围是ba恒成立，求a的取值范围。0,一时,2r 2f cos2m 2对0,1恒

10、成立,有 f cos22msinf 2m2msinf 2m2因为f x为奇函0,-2图2设函数g t t2 2mt 2m 1,对称轴为t m当tm 0时,1 p一，又m20 m 0 （如图1）当1时,当/24m、24m 2m 10,即m2m1), g(x) x 1(1)求函数y f(x)的最小值m(a)；(2)若对任意x1、x2 0,2 , f (x2) g(x1)恒成立，求a的取值范围.2令,、2224 a 1 2.(2) g(x) (x 1)2 ,当 x 0,2时，x 1 1,3,4又g(x)在区间0,2上单调递增(证明略)，故g(x) 0,3由题设，得解得1 & a1 2,8 4a2.6

11、 %为所求的氾围.3.9 分12分14分f(x1) f(x2),当 x 0时 f(x) 0(2)当 015、已知函数的定义域为 R,对任意实数x1、x2,都满足f(x1x2)(1)判断函数f (x)的奇偶性，单调性;一时，f(cos2 3) f (4m 2mcos ) 0恒成立，求实数 m的取值范围。 216、已知函数f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1) 1,若a,b 1,1 , a b 0,有Xa2L(b)0,a b(1)证明f (x)在 1,1上的单调性；(2)若f (x) m2 2am 1对所有a 1,1恒成立，求 m的取值范围。分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中

12、出现了3个字母，最终求的是 m的范围，所以根据上式f(x)的最大值即可。将m当作变量，a作为常量，而x则根据函数的单调性求出(1)简证：任取x1,x21,1且为 x2 ,则x21,1f(x1) f(x2)x x2 f(x1) f( x2)0又Q f (x)是奇函数x1 x2 f (x1) f (x2)0f (x)在 1,1上单调递增。(2)解：Q f (x) m2 2am 1 对所有 x2m 2am 1 fmax , Q fmax f (1) 11,1 , a 1,1恒成立，即2 c/2-八m 2am 1 1 m 2am 02即g(a) 2am m 0在 1,1上恒成立。11- a -。221

13、g( 1) 1 2a 0 a 2g(1) 1 2a 01a -2高考真题全接触:(2009 年，理 11)当 0一，xx 1时，不等式sin 一2kx成立，则实数k的取值范围是,1(2006理，12)三个同学对问题“关于x的不等式x2 25 x3 5x2 ax在1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”a的取值范围为丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，则解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行

14、思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映设 f x x225 x3 5x2 , gx ax.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的,即把已知不等式的两边看作两个函数,设 f x x225 x3 5x2 , gx ax其解法相当于解下面的问题：对于Xi1,12 ,x21,12，若fx,g x2恒成立，求a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目1,12,f x g x恒成立，求a的取值范围的要求不致。因而,甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数25 x3 5x2的图象和g xax的图象。然而，函数f X的图象并不容易作出。由乙的解题思路，本题化为a在x 1,12上恒成立，等价于x1,12 时,a成立1,12时，有最小值10,于是a10.(2008 理,19)已知函数f(x)2x,12凶(1)若 f(x)(2)若 2tf(2t) mf(t) 0 对于 t1,2恒成立，求实数 m的取值范围。1-2x【出题背景：本题考查函数的概