2016年高考全国卷一理科数学试题及答案

1、2016年普通高等学校招生全统一考试全国卷一理科数学、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求(D) ( - , 3)2(D) 2(D) 97的。1 .设集合 Axx2 4x 3 0 , B x2x 3 0 ,则 A B(A) ( 3,3)(B) ( 3, -)(C) (1, 3)2222 .设(1 i)x 1 yi,其中x,y是实数，则x yi(A) 1(B) V2(C) 333 .已知等差数列 an前9项的和为27, a108,则a100(A) 100(B) 99(C) 984 .某公司的班车在 7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至

2、8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)2x5.已知方程 m n(A) ( 1, 3)1(B)二22一y 1表示双曲线,3m n(B) ( 1,收)(C)(D)且该双曲线两焦点间的距离为4,则m的取值范围是(C) (0 , 3)(D) (0, V3)(A)8 .若 a b 1, 0 c 1 ,贝|(A) ac bc(C) alogb c bloga c9 .执行右图的程序框图，如果输入的(A) y 2x (B) y6 .如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体28积是,则它的表面积是3(C)

3、 20%(D) 28兀(A) 17兀(B) 18兀7 .函数y 2x2 ex在 2,2的图象大致为(D)(B)(C)(B) abc bac(D) log a c 10gbex 0,y 1,n 1,则输出x,y的值满足3x (C) y 4x (D) y 5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知 AB(A) 2(B) 411.平面 过正方体ABCD AB1clD1的顶点A平面ABB1A n ,则m,n所成角的正弦值为(C) 6/平面CB1D1n平面(D) 8ABCD,3(A)22(B)万(C)1(D)-312.已知函数f(x)sin( x ) (0,一为f

4、(x)的零点，x 4一为y4f(x)图象的对称轴，且(A) 11二、填空题：本题共f (x)在(一,)单调，贝U18 36(B) 94小题，每小题5分。的最大值为(C) 7(D) 5DE 2 J5 ,则C的焦点到准线的距离为13 .设向量 a (m,1) , b (1,2)，且 a b14 . (2x JX)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)15 .设等比数列 an满足a1 a3 10, a2 a4 5,则a1a2 an的最大值为 16 .某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件 B需要甲材料0.5kg

5、,乙材料0.3kg ,用3个工时.生产一件A产品 的利润为2100元，生产一件 B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则 在不超过600工时的条件下，生产产品 A、产品B的利润之和的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(本小题满分12分)ZXABC的内角a，b，c的对边分别为a,b,c，已知2cosc (a cos B bcos A) c .(I)求 C ;(n)若c 77 , ABC的面积为3i3 .求 ABC的周长.18 .(本小题满分12分)如图，在以 A,B,C, D,E, F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF

6、 2FD, AFD 90 ,且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60 .(I)证明：平面 ABEF，平面EFDC ;(n)求二面角 E BC A的余弦值.19 .(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰 .机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示2台机器三年内共需更

7、换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 .(I)求X的分布列；(n)若要求P (X n) 0.5,确定n的最小值；(出)以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在 n 19与n 20之中选其一，应 选用哪个？20 .(本小题满分12分)设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重 合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(I)证明 EA EB为定值，并写出点 E的轨迹方程；(n )设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M , N两点，过B且与l垂直的直线与圆 A交 于P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围.21 .(本

8、小题满分12分)已知函数f(x) (x 2)ex a(x 1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(n)设为，x2是f (x)的两个零点，证明：Xi x2 2 .请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 .(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲1如图，ZXOAB是等腰三角形，AOB 120 .以。为圆心，1OA为半径作圆.2(I)证明：直线 AB与。O相切；(n)点C,D在O O上，且A,B,C,D四点共圆，证明： AB / CD.23 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程x a cost, , ,_ ，一在直角坐标系

9、xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a 0).在以坐y 1 asint,标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(I)说明Ci是哪一种曲线，并将 Ci的方程化为极坐标方程；(n)直线C3的极坐标方程为0,其中°满足tan 0 2,若曲线Ci与C2的公共点都在C3上，求a.24 .(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x) x 1 2x 3.(I)在答题卡第(24)题图中画出y f(x)的图像;(n)求不等式|f(x) 1的解集.2016年全国卷I高考数学(理科)答案与解析-、选择题【答案】(1) DB (11)【解析】(2) B(3)(

10、12) B(4) B (5) A(6) A D(8) C(9) C(10)(1)2/x x 4x0 x1B x2x 3(3). (1x yi S9一a1ooi)x 1yi即x xi 1yi解得:一22, x y9(a ag)2a10 90d9 2a5298(4)如图所示，画出时间轴:9a527 a553,a10a10a510 51,7:307:407:508:008:108:208:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，AC 或 DB10 10根据几何概型，所求概率p 10一1040(5)22m n 3m.2c 4,22c

11、 (m解得m21 ,-1表示双曲线，则 nn) (3m2 n) 4m21 n 3.(m2 n)(3m2(6)原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图,7/8的球面面积和三个扇形面积之和，表面积是S 4 48(7) f (2) 8 e2 _2f(2) 8 e2238 2.88 2.7222 170,排除A;1 ,排除B ;x 0时,f(x)- 2 x2x e,f (x) 4xx .1 i10e ,当 x (0, 一)时，f (x) 4 e 0441 f(x)在(0,)单调递减,4排除C;1ln b(9)如下表：输出3x 2y 6满足y循环节运 行次数判断是否输出运行前01/1A次

12、否否第二次否否第三次是是4x 故选C.故选Dc . c(8)对A:由于0 c 1,，函数丫 xc在R上单调递增，因此a b 八 一一. 1.1B; 310g 2 2 log 3 2 , C 正确；log 3- log 2，排除 D；选 C a b ,A错误;对B:由于1 c 1 0, 函数y xc1在1,上单调递减，c 1 c 1c c.a b 1 a b ba ab , B 错误对C：要比较al0gbe和bl0ga c,只需比较anc和bnc,只需比较Jnc和nc,只 lnb Inablnb aln a需 bln b 和 aln a构造函数f x xln x x 1 ,则f ' xl

13、nx 1 1 0 , f x在1，上单调递增，因,11此 f a f b0 alna blnb 0aln a bln b又由 0 c 1 得lnc 0 ,In c Jn£blogac alogbc, C 正确aln a bln b对D：要比较l0gac和l0gbc,只需比较Jlc和Jlc lna ln b而函数y lnx在1,上单调递增，故a b 1 lna lnb 0lna又由 0 c 1 得 lne 0 ,inc -cloga c logb c, D 错误ln a ln b故选C. 111【2。用特殊值法，令a 3,b 2,c 1得321排除A; 3 22(10)以开口向右的抛物

14、线为例来解答，其他开口同理2222设抛物线为y 22Pxp 0 ,设圆的方程为x y r ,题目条件翻译如图:点A x0,2 点在抛物线D p，5点 2在圆X2A x0,2 22点 0， 在圆X2AiBi2y 2 Px 上，8 2px025卫r2y2 r2上，2y2 r2上，x2 8 r2联立解得：p 4 ,焦点到准线的距离为 p 422【如图，设抛物线万程为 y 2px ,圆的半径为 r, AB, DE交x轴于C,F点，则AC 2近,即A点纵坐 标为2J2 ,则A点横坐标为4 ,即OC -,由勾股定PP22222222理知 DF OF DO r , AC OC AO r , 即(J5)2 (

15、-)2 (2扬2 (4)2,解得 p 4,即C 的2p焦点到准线的距离为 4】 (11)如图所示：/平面CBDi .若设平面 CBDiI平面ABCD mi则m/m又.平面 ABCD /平面 AB1C1D1,结合平面 B1D1C I 平面 A1B1C1D1 B1D1. BD1/ 日,故 BD1/m同理可得：CDi11 n故m、n的所成角的大小与 B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而Bic bidi CD (均为面对交线)，因此 3CD1B1 ,即 sin CD1B1.(12)由题意知:7tk1兀Q f(x)在.兀k?什一2则-,臼单调,18 362k 1 ,其中kTt36 1

16、8 1212接下来用排除法二、填空题(13)【解析】(13)(14)(15)11.-若4 ,此时不满足f(x)在,打18 36-29,Tt(14) 10f (x) sin单调;f (x) sin(15) 6411x9x由已知得2(2xf (x)在11,44递增'在三,36递减',满足f (x)在(16) 216 000(m21,3), .(m1)232112 0,Jx)5的展开式的通项为设等比数列 an-,5单调递减18 36解得mC5(2x)5 r( Jx)r 25 rC5x4,所以x3的系数是42c5 10 .的公比为q(q0)a1a310a2a42.2.5, 2(r0,1

17、2,，5),令a1aq2aq3aq10,解得5n 41一 ,2ai 81 ,故 anq 2彳(3) ( 2)(n 4)12i12n(n 7)249一47 一 2 n1- 21 - 2当n 城4时,aa2 an取得最大值2664 .(16)设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件, 构造线性规则约束为目标函数z 2100x 900y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60，100) (0，200) (0,0) (90,0)在(60，100)处取得最大值，z 2100 60 900 100 216000三、解答题(17)解:(I)由已知及正弦定理的,2

18、cosc (sin Acos B sin B cos A) sin C ,即 2cosCsin(A B) sin C ,故 2sinCcosC sinC ,1可得 cosC . C -. 23.13 3(11)由已知，一absin C ,22又 C ab 6,3由已知及余弦定理得， a2 b2 故 a2 b2 13,从而(a b)2 .ABC的周长为5 J7(18)解：2abcosC 7,25,(I)由已知可得 AFXDF , AF ± FE ,AF，平面 EFDC .又AF 平面ABEF,故平面 ABE平面EFDC .(II)过D作DGEF,垂足为 G,由(I )知DG,平面 AB

19、EF , 以G为坐标原点，？的方向为x轴正方向，|刻单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由(I )知/ DFE为二面角？?- ? ?勺平面角，故/?=60 °,则 |?= 2, |?|?= v3,可得?(1,4,0), ?(-3,4,0) , ?(-3,0,0) , ?(0,0,v3),由已知，AB/EF, ，AB/平面 EFDC ,又平面 ABCD ?平面 EFDC=CD,故 AB / CD, CD / EF ,由BE / AF ,可得BE,平面EFDC，.二/ CEF为二面角 从而可得C(-2,0, v3),，？?= (1,0, v3) , ?= (0,4,0),

20、?= (-3, -4, v3)C-BE-F 的平面角，/CEF=60° ,?= (-4,0,0)?= 0设？?= (?是平面BCE的法向量，则?= 0即x+ V3z=0 , 可取？?= 4y=0(3,0, - v3),?=设？?是平面ABCD的法向量，则?：则 cos? ? =?2M9|? ?|190, 同理可取？ = (0, V3,4),0,_E- BC-A的余弦值为-誓 .(19)解：8,9,10,11(I)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X=16)=0.2 X 0.2=0.04 ,P(X=17

21、)=2 X 0.2 X 0.4=0.16 ,P(X=18)=2 X 0.2 X 0.2+0.4 X 0.4=0.24 ,P(X=19)=2 X 0.2 X 0.2+2 X 0.4 X 0.2=0.24 ,P(X=20)=2 X 0.2 X 0.4+0.2 X0.2=0.2 ,P(X=21)=2 X 0.2 X 0.2=0.08 ,P(X=22)= 0.2 X 0.2=0.04 ,所以X的分布列为（II）由（I ）知 P（XX16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.0419.< 18)=0.44 , P(X< 19)=0.68 ,故 n 的最小

22、值为(III )记丫表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 当 n=19 时，EY=19X 200X 0.68+(19 X 200+500) 200+3X 500) X 0.04=4040 .当 n=20 时，EY=20X 200 X 0.88+(20 X 200+500)（单位：元）X 0.2+(19 X 200+2X500)X 0.08+(20 X 200+2X500)可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选(20)解：(1) . |AD| = |AC|, EB II AC,故/.|EB| = |ED|,故 |EA| + |EB| 二EBD = /ACD=/A

23、DC .|EA|+ |ED|.X 0.08+(19 XX 0.04=4080 .n=19.又圆A的标准方程为（x 1）2由题设得 A (-1,0) , B(1,0) 22匕 1(y0).43(II)当l与x轴不垂直时，设l2y|AB| =的方程为16,从而 |AD| = 4, . . |EA| + |EB| =4.2,由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为:y k(x 1)(k0) ， M(Xi, yi)N(X2,y2).y由x1 2k(x2 y31)，得(4k213)x2 8k2x 4k2 12则xiX28k24k2 3X1X24k24k212 MNXiX212(k2 1)4k2 3过点B(1,0

24、)且与l垂直的直线PQ42 (、k21)24 k23k2 _1_ _故四边形MPNQ的面积S -MP PQ 2可得当l与x轴不垂直时，四边形 MPNQ当l与x轴垂直时，其方程为 X 1, MN12-1 4k1 3面积的取值范围为（12,8/3） .3, PQ 8,四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形 MPNQ面积的取值范围为12,8V3）(21)解：2a).(I) f (x) (X 1)ex 2a(x 1) (x 1)(exx设a 0,则f(x) (x 2)e , f(x)只有一个零点.(ii)设 a 0,则当 x (,1)时，f (x) 0；当 x (1,)时，f (x) 0.f(x)在

25、(，1)单调递减，在(1,)单调递增.又f(1) e, f(2) a,取b满足b 0且b ln号，则2f(b) a(b 2) a(b 1)2 a(b2 - b) 0,22故f(x)存在两个零点.(iii)设 a 0,由 f (x) 0得 x 1或 x ln( 2a).4e右 a ，则 ln( 2 a) 1 ,故当 x (1,)时，f (x) 0,因此 f(x)在(1,) 2单调递增.又当x 1时，f(x) 0, f(x)不存在两个零点；. e若 a ,则ln(2a) 1 ,故当 x (1,ln( 2a)时，f (x) 0；当2x (ln( 2a),)时，f (x) 0 .因此f (x)在(1,

26、ln( 2a)单调递减，在(ln( 2a),)单调递增.又当x 1时,f (x) 0 ,f (x)不存在两点零点.2 2 sin 1 a20.综上，a的取值范围为(0,).(II)不妨设x1 x2 ,由(I )知，x1(1)，x2(1,),2 x2 (1), f(x)在(,1)单调递减，x x22f(x1) f(2 x2),即 f(2 x2) 0. f (2 x2)x22 x21- f (2 x2)x2e2 x2设 g(x)xe2 x (xa(x2 1)2,而 f(xz) 3 2)ex2 a(x2 (x2 2)ex2 .2)ex,则 g(x) (x 1)(e2x ex).当 x 1 时，g (x) 0,而 g(1)