基本积分公式直接积分法

1、3.2 不定积分基本公式不定积分基本公式与直接积分法与直接积分法课前复习课前复习一、原函数的概念一、原函数的概念 二、不定积分的定义二、不定积分的定义 三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义 xyO0 x四、不定积分的性质四、不定积分的性质 性质性质1 1 非零常数因子可以提前非零常数因子可以提前性质性质2 2 和差的积分和差的积分 = = 积分的和差积分的和差 ( )d( )d (0)kf xxkf xxk( )( ) d( )d( )df xg xxf xxg xx性质性质3 3 不定积分与导数（或微分）互为逆运算不定积分与导数（或微分）互为逆运算( )d( )d( )d( )df

2、xxf xf xxf xx或( )d( )d ( )( )F xxF xCF xF xC或2( ),yf xyx 解：设曲线方程为依题意231,3yx dxxC所以12(1,1),1,33CC又因为曲线过点 有所以31233yx故所求曲线方程为作业解析：作业解析：P120 5题题 (ln1)(ln1)(ln1)xxxxxx证明：因为1(ln1)xxx(ln1)1lnxx 作业解析：作业解析：P120 6题题3.2.1 3.2.1 基本积分公式基本积分公式0dxC基本求导公式基本求导公式基本积分公式基本积分公式11d1 (1)xxxC 特别地：特别地：( )1x d xxC211xx 211d

3、xCxx 1dlnxxaxaCa特别地：特别地： (e )exx e dexxxC1dlnxxCx1d2xxCxcos dsinxxxCsin dcosxxxC 2secdtanxxxC2cscdcotxxxC sectan dsecxxxxCcsccotdcscxxxxC 21darcsin1xxCxarccosxC 21darctan1xxCxarccot xC 3.2.2 直接积分法直接积分法 由已知函数求出全部原函数的方法称为由已知函数求出全部原函数的方法称为积分法积分法把被积函数（经恒等变形后）直接把被积函数（经恒等变形后）直接运用不定积分的性质和基本积分公式求出不运用不定积分的性质

4、和基本积分公式求出不定积分的方法称为定积分的方法称为直接积分法直接积分法21132 e2 d2xxxxx例 、求不定积分2132 e2 d2xxxxx解： 23dxx3133x 311ln2 e22ln2exxxxxC1ln2x1(2e)ln2ex2xC11d2xx(2e) dxx2 d x例例2 2 求下列不定积分：求下列不定积分：1dx xx( )(1)dx xx解： 32dxx231(2)dxx23dxx5225xC133xC231(2)dxx1,mmannaxxxxaba bx xx1,mnmanaxxxx23(1dxx例 、求）2(1dxx解： ）(1 2)dxxx12d2ddxxx

5、xxx3224132xxxC此方法可简述为此方法可简述为“先展（开）后积（分）先展（开）后积（分）” 32223x 212xC2e14de1ttt例 、求2e1de1ttt解： (e1)(e1)de1tttt(e1)dtte ddtttettC 此方法简述为此方法简述为“先约（分）后积（分）先约（分）后积（分）”25sind2xx例 、求2sind2xx解： 1 cosd2xx1(1 cos )d2xx1( dcos d )2xxx1(sin )2xxC 当被积函数是三角函数时，常利用三角函数公式进行当被积函数是三角函数时，常利用三角函数公式进行恒等变形，使其可用基本积分公式计算恒等变形，使其

6、可用基本积分公式计算三角恒等变形三角恒等变形426d1xxx例 、求42d1xxx解： 42(1) 1d1xxx222(1)(1) 1d1xxxx2(1)dxx21d1xx31arctan3xxxC“拆项拆项”（1 1）当被积函数为假分式时，先进行恒等变形：）当被积函数为假分式时，先进行恒等变形：假分式假分式= =整式整式+ +真分式真分式2217d(1)xxx例 、求221d(1)xxx解： 2211()d1xxx1arctan xCx “拆项拆项”（2 2）（把分母分解因式后）按分母的因式拆项）（把分母分解因式后）按分母的因式拆项课堂练习课堂练习P123 习题习题3.2 1， 2（1）（）

7、（3）（）（5）（）（7）（）（9）（）（11） 3，4DD22(1)(2)xxe dx2.解：321123ln2xxe xC(3)(1)xxdx3122x dxx dx222xx dxdxe dxx xdxxdx53222253xxC224()2(5)22xxdxdxxx(2)(2)(2)2xxdxxdxx1222xdxdxx dxdx32223xxCsin22sincos(7)coscosxxxdxdxxx2sin2 sin2cosxdxxdxxC 2221(9)xxxeedxdxe dxee221xxeCeCe22(11)1xdxx 21arctan1dxdxxxCx221 11xdxx (2)2yxdxxdxdx解：依题意2122xxC25,524,1.xyCC 又因为代入得所以21212yxx故1( ),yf xyx解：设该曲线方程为依题意，1ln,ydxxCx那么32,1,CC有所以ln1.yx故所求曲线方程为2(,3),e又因为曲线过点课后小结课后小结 一、基本积分公式（熟记）一、基本积分公式（熟记）二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧（2 2）先展后积）先展后积（3 3）先约后积）先约后积（4 4）三角恒等变形）三角恒等变形（5 5）拆项：