复数知识点归纳

1、【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i叫做虚数单位，并规定：i可与实数进行四则运算；r =-1；这样方程x2=-就有解了, 解为x = i或x = /2、复数的槪念(1) 定艾：形如a + bi(a, Z>eR)的数叫做复数.其中j叫做虚数单位，日叫做, 6叫做o全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示，即z = a+bi a, />GR)对于复数的定义要注意以下几点：®Z = a+bia, bGR)被称为复数的代数形式，其中加表示b与虚数单位，相乘复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式(2) 分类：满足条件(彳6为实数)复数的分类a+bi为实

2、数u>6=0a+b为虚数a+bi为纯虚数om=0且bQ例题：当实数加为何值时，复数(加一5加+ 6) +伽2一3加)/是实数？虎数？纯虚数？二. 复数相等a + bi = c + dia = c,b = da,b.c.d e R)也就是说，两个复数相等充要条件是他们的实部和虎部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知(x+y-3) + (x-4)r = 0求x.y的值三. 共純复数a + bi 与 c + di 共鞄o a =e,Z? = -e R)Z,=a+bi的共扌尼复数记作z = a-bi,且zz = a +/?2四、复数的几何意义1复平面的槪

3、念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虔轴。显然，实轴上的点 都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2、复数的几何意艾复数z = a+bi与复平面的点Z(“,b)及平面向量OZ = (a,h) (a,beR)是一一对应关系(复数的实 质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数例题：(1)当实数加为何值时，复平面表示复数z = (一8? + 15) + (一5加一14)/的点位于第三象限；位于直线上(2)复平面屆= (2,6),已知丘屆，求C%对应的复数3、复数的模:向量炭的模叫做复数z = a+hi的模，记

4、作同或a+bi ,表示点(“上)到原点的距离，即同= a + bi = yla +b2 , |z| = |z|若 zt =a + bi, z2 =c + di,则 -z2| 表示(a,b)到(c,)的距离，即 z4 - Z2| =+(b-d)2例题：已知z = 2 + i，求|z-l+/|的值五、复数的运算(1 )运算法则：设 Zi = a+bi, Z2=c+(f, a, b, c, </GR Z 土 =a + bi + c + di = (a + c) + (b + di Z Z? = (" + bi)(c + di) = (ac 一 bd) + (be + ad)i

5、67;=(+) =Z2 (c + di)(a +bi)c-di)(c + di)(c-di)(ac + bd) + (be 一 ad)i(2) 几何意狡：复数加减法可按向董的平行四边形或三角形法则进行如图给 出的平行四边形0Z2Z可以直观地反映出复数加减法的几何意狡，即於=龙+ 亦，花=易一龙六. 常用结论求只需将川除以4看余数是几就是i的几次 例题：严=(2) (1 + /)2=2/, (1-z)2=-2Z 44/)3=1' 4±f/)3=-1【思考辨析】判斷下面结论是否正确(请在括号中打 w 或“x”)方程,+x+i=o没有解.()复数z=ab (a, bWR)中，虚部为

6、b.()(3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4) 原点是实轴与虚轴的交点.()(5) 复数的模实质上就是复平面复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的揆.()【考点自测】1. (2015 )设i是虚数单位，则复数(1-i) (1+2i)等于()A3+3iB. -1+3iC.3+iD. -1 + i2. (2015 课标全国I )已知复数n满足(z-1) i=1 + i,则z等于()A. -2-iB. -2+iC. 2-iD2+i3.在复平面，复数6+5i, 2 + 3i对应的点分别为儿3若C为线段力8的中点，則点C对应的复数是()A4+8iB8+2iC2+4iD

7、. 4+i4 已知彳6WR, i是虚数单位若日+i=2 6,則a+bY等于()A. 3-4iB3+4iC.4-3iD.4+3i5已知(1+2i)7=4+3i,则 z=【题型分析】题型一复数的概念例1 设i是虚数单位若复数z=a-y(aGR)是纯虚数，则日的值为()3 IA. -3 B. -1 C. 1D. 3(2)已知aGR,复数z, = 2 + ai, z2 = 12i,若兰为纯虚数，则复数彳的虚部为()Z2Z2A. 1B. iD.0若乙=（异+ 刃+1） +（异+ /7T-4） i SER）,乃=3 2i,則 “777=1” m = Z< 的（ ）A.充分不必要条件B必要不充分条件C

8、.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例(1)中的复数N,若|z|=Vio,求曰的值.2在本例(2)中，若兰为实数，則日=Z1思维升华解决复数槪念问题的方法及注意爭项(1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数 化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2) 解題时一定要先看复数是否为a+b (a, bGR)的形式，以确定实部和虚部.跟踪训练1 (1)若复数N=(, 1) + (*T) i为纯虚数，则实数X的值为()A. -1B. 0 C. 1D.-1 或 1(2014 )已知i是虚数单位，a, bER,则“日=6=1”

9、是“(日+勿尸=2严 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算 命题点1复数的乘法运算例2 (1)(2015-)i为虎数单位，的共純复数为()A. iB. -iC. 1D. -1(2015 )复数i(2-i)等于()A. 1+2iB. 1-2i C. 一 1+2i D. -1-2i命题点2复数的除法运算(1 i f例3(1) (2015 )已知匕丄=1 + i(i为虚数单位)，則复数n等于()A. 1 + iB. 1-iC. 一 1 + iD. -1-i命题点3复数的运算与复數概念的综合问题例4(2015)i是虚数单位，若复数(1-2

10、i)(a+i)是纯虚数，則实数曰的值为(2014 )已知复数z= (5 + 2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为命题点4复数的综合运算例5(1) (2014 )设i是虚数单位，7表示复数z的共馳复数若z=1 + i,则兰+i 等于()IA. -2 B. -2i C. 2 D.2i若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,則n的虚部为( )44A. 4 B. T C. 4D. T思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题疑略(1) 复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可將含有虚数单位i的看作一类同类项，不 含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2) 复数的除法.除法的关键是分子分

11、母同乘以分母的共筑复数，解题中要注意把i的幕写成最简形 式.(3) 复数的运算与复数槪念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为曰+6(曰，6ER)的形 式，再结合相关定义解答.(4) 复数的运算与复数几何意狡的综合题.先利用复数的运算法則化简，一般化为a+b a, 6WR) 的形式，再结合复数的几何意狡解答.(5) 复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后 算加减，有括号要先算括号里面的.跟踪训练2(1)(2015-)若复数n满足fy=i,其中i为虚数单位，则n等于()A. 1-iB.1 + i C. -1-i D. 1 + i恂”=.競+阳-

12、题型三复数的几何意义例6 (1) (2014)实部为一 2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限的三个顶点对应的复数分别为Z, Z2, Z3,若复数Z满足I Z Zi | = | Z Z2 I = I Z Z3 |,则z对应的点为/1%的()A.心B.垂心C.重心D.外心思维升华 因为复平面的点、向量及向董对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时, 只要找出所求向量的始点和终点，或者用向董相等直接给出结论即可.跟踪训练3(1)如图，在复平面，点S表示复数N,則图中表示Z的共純复数的点是()A. A B. B C. C D. Z?A.

13、y DOXc(2)已知z是复数，z+2i、总均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面对应的点在第 一象限.数日的取值围.【思想与方法】解决复数问題的实数化思想典例 已知；g p为共彳尼复数，且(x+y)2 3xyi =46i,求”，y.思维点拨(1)x, F为共扼复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问題.温馨提醒(1)复数问题要把握一点.即复数问题实数化，这是解决复数问题灵基本的思想方法.(2)本題求解的关键是先把 心y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数 学方法.本題易错原因为想不到利用待定系数法，或不能舟复数问题转化为

14、实数方程求解.【方法与技巧】1 复数的代数形式的运算主要有加.减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程.2. 复数z=a+b a, bWR）是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题 转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+b （a, bWR）,既要从整体的角度去认识它，把复 数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3. 在复数的几何意狡中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和 加法、减法相结合.【失误与仿】1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意狡.2 两个虚数不能比较大小.3注

15、意复数的虔部是指在a+bi （a, bGR）中的实数6,即虚部是一个实数.【巩固练习】1. （2015 ）若（1 + i） + （2 3门=曰+6 （彳bGR. i是虚数单位），则彳6的值分别等于（）B. 3,2D. -1,4A. 3, -2C. 3, -32. 设么=士+匚«-|z|等于（）D. 21A23. （2015 课标全国II）若日为实数.且（2 + ai） （a-2i）=-4i,则曰等于（）A. -1 B. 0 C. 1 D. 24 若i为虚数单位，图中复平面点Z表示复数乙 则表示复数f的点是（）A. E B. F C. G D. HyF 7EZ11:0!xGH5. （2

16、014 *）7是n的共鞄复数，若z+7=2,（z-7）i=2（i为虚数单位）,則n等于（A1 + iB. -1-i C. -1 + i D. 1-i6. （2015 ）设复数z满足z2=3+4i （i是虚数单位），则z的模为r / 7若_ :=日+6 （彳b为实数，i为虚数单位），则a+b=8.复数（3+i）/77-（2+i）对应的点在第三象限，則实数刃的取值国是9 计算:(1+2$+3(1 i)2+i帛+丹：(1 + i) (1-1)(73+i)23 210复数 zi=+(10-a2)i, z2=+(2a-5)i,若 zi + z2是实数，数日的值.【能力提升】11. 复数 Zi,乃满足 Z

17、i = /77+ (4-/77)i, z2 = 2cos 8 + (/I +3sin &) i (刃，A , 8 ER),并且 Zi = Z2,則久的取值围是()A. 1,1999B.16 1C./16D.荷712. 设fS）=（若；）nJ,则集合MS）中元素的个数为（ ）A. 1B.2C.3D.无数个13. 已知复数z x+yi,且z2 =£,则f的最大值为a 1 j14. 设aWR,若复数之=乔丁+丁在复平面对应的点在直线x+y=Q上，則日的值为.15 若1+也i是关于x的实系数方程x+bx+c= 0的一个复数根，則b=, c=,【巩固练习参考答案】1A.2. B. 3.

18、 B. 4. D. 5. D. 6. &7. 3.8./7<|.9.解+学切=*=T_3iI I2+i2+i,（1+2i）2+3（1-i） 一3+4i+3-3i i i（2-i） 1 . 2. E =k=rH=5+5'-“、1-i . 1 + i 1i+ i1 + i f -1 + i,（1 + $+（1 _ $_+巧_三+2 - 1 °m 1 一审匚（审+i）（-“ 一 i （一以一必丄迴（羽+i厂（羽+$ =科=4=44 '_32/ 32 10.解 z（ + 乃=日+5+ （a10） i + _ 日+ （2a5） i =（卄厶 + _ J+（孑一1°）+ （2a5） i日一13 =（卄5）（”）+（昇鮎-iv7i + z2是实数，Aa2+2a-15=0,解得日=一5