常微分方程试卷及标准答案

1、2010-2011学年第 二 学期常微分方程考试AB卷答案理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题(每题4分，共20分)1 .形如y' P(x)y Q(x) ( P(x),Q(x)连续)的方程是一阶线性微分方程，它的通解为y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx c .2 .形如y y 0的方程是阶齐次(齐次”还是“非齐次”)常系数 的微分方程，它的特征方程为3 1 0.d n yd n 1 ydy一.一 . 一3 .形如xnd* a1xn1Y LLan1x1dy any 0的方程为 欧拉 方程,可通dxdxdx过变换x et把它转化成常系数方程.214. y dx (x

2、1)dy 0,湎足初始条件：x =0, y =1的特解y 1 ln 1 x5. 5.微分方程dy f(x,y),满足y(%) Yo,R： x x° a, y y° b的解存在且唯 dx一的条件是：f (x, y)在R上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解(每题 5分，共30分)1 .包=dx (x y)解：令 x+y=u，贝U dy =du-1 .3dx dxdx u2y-arctg(x+y)=c. .532 . x 4ydx 2xdy y 3ydx 5xdy 0解：两边同乘以x2y得:4x3y2dx 2x x(5) 4x解：特征方程ydy3x2y x 4x 5x 2

3、t 3解：特征方程3 4 2 50有根1 0, 21, 3 5齐线性方程的通解为x= Ge t c?e5t c3t .3dx 5x3ydy 0,42,35d x y d x y 042故方程的通解为：x y.3.5两边对x求导，得dp1 2p - dxdp dx.3解之得x 2p In p 12c,解：令崇p,则y14且 y=x+1也是方程的解,但不是奇解.5.4所以 y 2p p2 In p有三重根0,2,.3故通解为x2tGe2t c?ec4tC5.5又因为0是特征根，故可以取特解行如% AtBt2代入原方程解得A=,25B=.4.52 c故通斛为x=Gec2e c3t -t6. xy y

4、ln y0,初值条件:y(1)=e解：原方程可化为dy 丫” 1dx x分离变量可得& dx .3y ln y x两边积分可得ln y cx .4将初值代入上式求得方程的解 ：ln y 2x.5二、求下列方程（组）的通解（每题 10分，共30分）1,求一曲线，使其任一点的切线在 OY轴上的截距等于该切线的斜率.解：设p（x,y）为所求曲线上的任一点，则在 p点的切线l在Y轴上的截距为:由题意得即也即两边同除以x2,得即即为方程的解。dy y xdxdy y x dx* 1y dx xydx xdy dxydx xdyd(-)d ln xxy cx xln x.3dxx.5.7.10x&

5、#39; x 2yx(0) 32.酒足初值条件y' 4x 3yy(0) 3解:方程组的特征值1 5, 21,.2对应特征值1 5的特征向量U11应满足U2(A41E)U 4Ui对任意常数0, u对应特征值(A对任意常数U21,得u.421的特征向量V应满足2E)v2V14v20,所以基解矩阵为：(t)5te2e5t(t)(t) 1(t°)5t e2e5tt et e1323v21，得v1313.6.81, e31 ,5t5t2 e32 e35t一 e31 5te31 -e 31 e32e5t4e5t.103.求方程dy dX2x3y2通过点(1,0)的第二次近似解.解：令o(

6、X)于是1(X)y。X12X2 (X)dXX,.52 (x)y°X12X 1 314(X)dX 行.10五、应用题(10分)33.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了 20秒钟后,艇的速度减至vi 3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：Fmadvm ,又 Fkiv ,由此dv mdtdvdtk1vkv.5其中kk1m解之得In vkt c又t 0时,v 5; t 2时,v 3。故得-ln3, 20 5ln5从而方程可化为3 -20v 5()5.7当t 2 60 120时，有v(20) 53吧 (3)2050.23328

7、 米/秒.8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。.10六、证明题 (10分)1、试证：非齐次线性微分方程组的叠加原理：即：设X1(t),X2(t)分别是方程组 一一一 一一一xA(t)xf1(t)XA(t)xf2(t)的解，则x(t) x2(t)是方程组x A(t)xf1(t)f2(t)的解.证明：xA(t)x fi(t)(1)x A(t)x f2(t)(2)分别将Xi(t),X2(t)代入(1)和(2) '则 xi A(t)xifi(t)' 一一一X2A(t)x f2(t) .5则 xix2A(t)xi(t)x2fif2xi(t) x2 (t)A(t)xi(t)x2(t

8、)fi(t)f2(t)令 xxi(t) x2(t)t-t t-t1,、，、，、即证 x A(t)xfi(t)f2(t) .i020i0-20ii学年第 二 学期常微分方程考试 B卷答案理学 院 年级信息与计算科学专业一、填空题(每题4分，共20分)i. M(x,y)dx N(x, y)dy 0是恰当方程的充要条件是M;y x其通解可用曲线积分表示为M(x,y)dx N M(x, y)dxdy c.y3 .形如y 4y x2的方程是 2阶 非齐次(齐次”还是“非齐次")_常系数的微分方程，它的特征方程的特征根为 2,2 .4 .若 (t),(t)是同一线性方程 / A(t)X的基解方阵

9、，则它们问有关系dt(t) C (t), C为可逆矩阵.5 . 5.微分方程dyf (x,y),满足y(%) %,R： x x° a, y y°b的解存在且唯dx一的条件是：f (x, y)在R上连续且满足利普希茨条件卜列微分方程的解（每题 5分，共30分）1.电 dx2y y一3x x解:.1得到故udydxdux dxdu-2u1x1u xdxduxdx21即1y.4另外y 0也是方程的解。.5O dy _2. = y sin x dx.dxdx斛： y= e ( sinxe dx c).3=ex-e x( sinx cosx )+c2 1 .=c e - - ( si

10、nx cosx)是原方程的解。2.53. y 3y 。 y设y t, y 3t2 ；.3dx t-dt 6 t 3dt y t.46t2t2X解为6t 2t23t21C1t.54. y 2y 10y解：特征方程2100有复数根113i,1 3i.3.5故通解为 x je t cos3tc?e t sin 3t5. xdy ydx 0解：原方程可化为dxy 0.5故xy C6. x 6x 8x e2t解：特征方程2 68 0 有根 1 -2, 2 -4.1故齐线性方程的通解为2t4tx= Gec2e.3-2是特征方程的根，故 % Ate 2t代入原方程解得A=.4.5故通解为x=c1et * 5

11、t32t三、求下列方程（组）的通解（每题 10分，共30分）2 x1.y 2ay aye解：特征方程2 2a a2 0有2重根 -a.2当a=-1时，齐线性方程的通解为S=c1et c2tet,1是特征方程的2重根，故 At2S代入原方程解得A=-2通解为 S=c1et c2tet.6当a -1时，齐线性方程的通解为S=c1eatc2te at1不是特征方程的根，故 AS代入原方程解得A=1(a 1)2故通解为s= c1e atc2te at + 1-2 et(a 1).10dx2 dt .dy dt2x yx 2y求其基解矩阵.解:det (E A)=0得.3对应于1的特征向量为u=对应于2

12、的特征向量为1,3.5v=L是对应于 32的两个线性无关的特征向量(23t e.3)e9(23te-是3)e 3t个基解矩阵3.求方程dy dxy2通过点(1,0)的第二次近似解.解：令0(x)于是1(x)V。x1x20 (x)dx2(X)V。x1x12(x)dx1 2 x 2113012,1 -x4120五、应用题(10 分)1.求一曲线，过点(1,1),其任一点的切线在OY轴上的截距等于a2.解：设p(x,y)为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在Y轴上的截距为:由题意得dy y x -dxdy y x dx.5.10.3两边同除以X2,得血方 .5y a x即d In y a2 d ln|x| .7即y ex a2 .8将x 1,y 1代入上式得c a2 1 o .10六、证明题 (10分)1、试证：如果