2005年1月高数应试指导

1、2005年1月高数(一)应试指导林士中(一) 、考试的趋势：按考试大纲要求：.第一章、第二章大约15分，第三章、 第四章大约40分，第五章大约 30分，第六章大约15分， 所以本课程考试的主体是一元函数的微分学，积分学及其应 用，实际上多元函数微积分的基础还是一元函数微积分，所 以学员在复习本课程时务必要掌握好第三、四、五章的内容，在比较熟练地掌握一元函数的微分法和积分法的基础上，进 一步复习多元函数的微积分，重点在计算，同时注意多元函 数微分学与一元函数微分学的区别。从考试的难度看，中等偏易或中等偏难的考题约占70分，因此，学员在复习时务必将各章的基本题反复练习，达到熟 练掌握，难度较高的题

2、只占10分，只要基本题做熟练了，也就不难了。(二) 、历届考试的难点通常需要学员综合应用所学知识的考题属于难点，就历届考 题看，难题大约有(1) 用零值定理判别方程 f(x)= 0在区间a,b内至少有一根 典型题：已知f (x)在a,b上连续，且f (ab： a, f (b) b证明在(a,b )内至少存在一点avcv b,使f(c) =c 解：本题实际上需证明f(c)-c=0读者马上可以看出，本题实际上要证明某个函数在点c处的函数值为0,因此可以考虑用零值定理去证明，关键在于这 个函数怎样引入，读者可以看出该函数只要将c换为X便可生成 令 F (x) = f (x) _ x f(x)在a,b

3、上连续 F(X)在a,b上连续/ f (a) ： a F (a) = f (a) - a ： 0 _ f(b) b F(b)二 f (b) -b 0存在 av c v b,使 f(c)=o 即f (c) _c = 0 证毕注若F(x)在a,b上单调，则方程F(x)=0在a,b内最多 有一根(2) 用中值定理或用求函数的最值的方法证明不等式 典型题二：证明 x空0时，arctanx _ x证：即需证x乞0时，arctanx 一 x _ 0(方法一)用拉格朗日中值定理，引入 f(x)二arctanx x(X < 0)(1)V f(x)至少在一 ；0 1上有意义 f(x)在x,0上连续(2)

4、f (x)-1 笃1+x1+x f (x)至少在(x,0 )内存在(3) 根据拉氏定理有 x v c v 0,使f(0)-f(x)二 f (c)(0-x) c20 - f (x)2 ( -X)1 +c2cf(x) 2 1 +c2x v 0,. f(x) 0arctanx - x 0证毕当 x=0 时，arctanx-x=0方法二：用求最值的方法f(x) 匚-1务：0 , f(x) J1+x1+x- f (x)的最小值在-；0 的右端x=0处 f(x)在-:：.0 内的最小值为f(0)=0 - XW 0 时，f (x) _ 0即 x < 0 时，arctanx - x _ 0(3)用定理分

5、的换元法证明两定积分相等，这时需要注意 的是(i )换元(变量)时要换上下限(ii )定积分大小与积分变量文字无关，即f f (x)dx f (t)dtaa典型题二：证明 0 x(1 - X)10 dx = 0(1 - x)x10dx, 1 1证，需证明 °x(1_x)10dx (1 _t)t10dt很明显应作变换x=1 t dx= dt当 x=0 时 t=1,x=1 时 t=01 10 0 10 0x(1x) dxdt (dt)1二 0(1 t)t100dt(4) 会求面积的最值典型题：在区间2,6内求一点，使过该点曲线y=lnx的切线与曲线y=lnx及x=2, x=6所围图形的面

6、积最(1)求切线，设所求点为(x°,y°) 1y 二一x切线为 y-ln x° L(x-x0)X。y =ln x0 _1x。(2) 求面积6 x(2 ： x° : 6)2 |(ln x° -1+)-1 nx dx，-x。一6=(ln x0)x 2 _x=4ln x0 -416 -(3)求驻点.dA6 1 22x22X0666-Tn xdx22ln xdx4164(x。- 4)2 一 2dx0xo X。X。在2 ,6内只有一个驻点X0 =4它是最大值点(4)求最大面积6最大面积为 A(4)= 4ln 4 4 + 4 + In xdx6=4ln 4

7、 (x In x -x) 2=4ln4 (6In6_6) _(2In 2 _ 2)=6In 6 4ln 4 _2ln 2 _4(5) 会求旋转体的体积典型题：求圆x2 (y 2R)2二R2绕x轴旋转而成的旋转体体积Vx解：(1)图形见下，将等式x2 (y 2R)2二R2 解出y后得两支曲线 上曲线 y2 =2RR2 -x2下曲线 =2R - , R2 -x22 2 2 2 、2 .-x -(2R .R - x ) dxR ；22dx =8RR -x dx-R计算匕Vx等于上曲线的旋转体积Vx2减下曲线的旋转体积VxiVx % "R 2R 2二 dx- ./dxR 22二-yi )dx-R二申 2R 一 R= f 8R吋 R2 _x2-R-R.R2-x2dx=- R2乜2-223Vx =8R R =4 R2（三）、考试时应注意的事项：（-）心态要平衡，不必紧张。）拿到试卷后，应先看一遍试题，大致可以知道自己熟 悉的考题是哪些，占多少分。（3）选择题留在最后做，原因是选择题分数少，难度不一 定低，其次是如果时间不够，选择题还有猜题答案的机会。 最后一道综合题，放在其它计算题完成