(统计量与抽样分布)

1、 6.2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆为一堆“杂乱无章杂乱无章”的数据的数据第第6章章 数理统计基础数理统计基础【例【例6.3】从某地区随机抽取从某地区随机抽取50户农民，调查其人户农民，调查其人均年收入情况，得到数据（单位均年收入情况，得到数据（单位:元）如下：元）如下：试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做试对该地区农民收入的水平和

2、贫富悬殊程度做个大致分析个大致分析92492480080091691670470487087010401040 82482469069057457449049097297298898812661266 68468476476494094040840880480461061085285260260275475478878896296270470471271285485488888876876884884888288211921192 82082087887861461484684674674682882879279287287269669664464492692680880810101010 7

3、28728742742850850864864738738 6.26.2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布解解：显然，如果不进行加工，面对这一大堆大小显然，如果不进行加工，面对这一大堆大小参差不齐的数据，很难得出什么印象但是可以参差不齐的数据，很难得出什么印象但是可以对这些数据稍事加工，如记各农户的人均年收入对这些数据稍事加工，如记各农户的人均年收入分别为分别为x1，x2，.，x50，计算得到，计算得到 这样，就可以了解到该地区农民的平均收入和这样，就可以了解到该地区农民的平均收入和该地区农民贫富悬殊的大致情况：农民的年人均该地区农民贫富悬殊的大致情况：农民的年人均平均收入大约为平均收入大约为

4、809.52元，标准差约为元，标准差约为155.85元，元，贫富悬殊不算很大贫富悬殊不算很大 6.26.2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布,52.809501501 iixx85.155)(15015012 iixxs 由此可见对样本的加工是十分重要的对样本由此可见对样本的加工是十分重要的对样本加工，主要就是构造统计量加工，主要就是构造统计量6.2.1 6.2.1 统计量统计量定义定义6.2 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X的样本，的样本，称称不含未知参数的样本的函数不含未知参数的样本的函数g(X1，X2，Xn)为为统计量统计量若若x1，x2，.，xn为样本观测值，则称为样本观测值

5、，则称g(x1，x2，.，xn)为统计量为统计量g(X1，X2，Xn)的观的观测值测值. 统计量是处理、分析数据的主要工具对统计统计量是处理、分析数据的主要工具对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数入进行计算，因而不能含有任何未知的参数 6.26.2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布【例【例6.4】设设X1，X2，Xn是来自总体是来自总体X的样本，的样本，XN( ， 2)，其中，其中 、 2为未知参数，则为未知参数，则 X1， min X1，X2，Xn 均为统计量，均为统计量， 但诸如但诸如 等均不是统计

6、量，因它含有未知参数等均不是统计量，因它含有未知参数 或或 下面下面介绍常用的统计量：介绍常用的统计量： 6.2.1 6.2.1 统计量统计量,312121XX ,)(112 niiXn 1X1. 有关一维总体的统计量有关一维总体的统计量 设设X1，X2，Xn为总体为总体X的样本，的样本，x1，x2，.，xn为样本观测值，为样本观测值， (1) 样本均值样本均值 常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为值为 .1 统计量统计量 niiXnX11 niixnx11 (2) 样本方差样本方差 (3) 样本标准差样本标准差 样本方差和样

7、本标准差刻画了样本数据的分散样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量.观测值分别为观测值分别为 .1 统计量统计量 niiXXnS122)(11,)(11122 niixxns2SS niixxnss122)(11 niiXnXn12211 (4) 样本样本k阶原点矩（简称样本阶原点矩（简称样本k阶矩）阶矩） ，(k = 1，2，) (5) 样本样本k阶中心矩阶中心矩 ，(k = 2，3，)显然显然Ak和和Bk的观测值分别记为的观测值分别记为 .1 统计量统计量 nikikXnA11

8、 nikikXXnB1)(1,1XA niiXXnB122)(1,11 nikikxna nikikxxnb1)(1定理定理6.1 设总体设总体X的期望的期望E(X) = ,方差方差D(X) = 2，X1，X2，Xn为总体为总体X的样本，的样本， ，S2分别为样分别为样本均值和样本方差，则本均值和样本方差，则 .1 统计量统计量)()(XEXEnnXDXD2)()(22)()(XDSE )(2SE niiXXnE12)(11 niiXnXnE12211 niiXnEXEn122)()(11 ninnn12222)(11 2 X由辛钦大数定理和依概率收敛的性质可以证明由辛钦大数定

9、理和依概率收敛的性质可以证明定理定理6.2 设总体设总体X的的k阶原点矩阶原点矩E(X k) = k存在（存在（k = 1，2，n），），X1，X2，Xn为总体为总体X的样本，的样本，g(t1，t2，tn)是是n元连续函数，则元连续函数，则特别有特别有 .1 统计量统计量),.,2 , 1,()(11mknXEXnAkkniPkik )(),.,(),.,(2121 ngAAAgnPn ),(XEXP212212122)(1)(1AAXnXnXXnBniinii ).(212XDP 2. 有关二维总体的统计量有关二维总体的统计量 设设(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn

10、)为二维总为二维总体体(X，Y)的样本，其观测值为的样本，其观测值为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则下列各量为统计量：，则下列各量为统计量： (1) 样本协方差样本协方差 (2) 样本相关系数样本相关系数其中其中SXY和和RXY常分别用来作为总体常分别用来作为总体X和和Y的协方差的协方差Cov(X，Y)与相关系数与相关系数 XY的估计量的估计量 .1 统计量统计量 niiiXYYYXXnS1)(11YXXYXYSSSR ,)(11122 niiXXXnS niiYYYnS122)(11 6.2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布6.2.2 6.2.2 抽样分布抽

11、样分布 统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布为了研究抽样分为了研究抽样分布，先研究数理统计中三种重要的分布布，先研究数理统计中三种重要的分布 1. 2分布分布 定义定义6.3 设设X1，X2，Xn为相互独立的随机为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随分布，则称随机变量机变量服从服从自由度自由度为为n的的 2分布分布，记为，记为 2 2(n) 此处自由度指此处自由度指 2中包含独立变量的个数中包含独立变量的个数可以证明，可以证明， 2(n)的概率密度为的概率密度为其中其中 ( )称为伽马函数，称为伽马函数， niiX122 6.2.2

12、 抽样分布抽样分布 0, 00,)(21)(212222xxexxfxnnn 0,)(01 dxexx 2分布概率密度分布概率密度 图图6-9 2(n)分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线可以看出，随着可以看出，随着n的增大，的图形趋于的增大，的图形趋于“平缓平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动 6.2.2 抽样分布抽样分布 0, 00,)(21)(212222xxexxfxnnn 2分布具有下面性质：分布具有下面性质： (1) (可加性可加性) 设设 是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，且且 (2) 设设 证明证明 (1) 由由 2分布

13、的定义易得证明分布的定义易得证明 (2) 因为因为 存在相互独立、同分布于存在相互独立、同分布于N(0，1)的随机变量的随机变量X1，X2，Xn，使，使则则 6.2.2 抽样分布抽样分布2221, )(),(),(212222122221221nnnn 则则 niiX122 )()(122 niiXEE .2)(,),(2222nDnEn ）（则则),(22n niiXE12)( niinXD1)(由于由于Xi独立，且注意到独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为的四阶矩为3，可得，可得 英国统计学家费歇（英国统计学家费歇（R.A.Fisher）曾证明，当）曾证明，当n较较大时，大时， 近似服从近

14、似服从 6.2.2 抽样分布抽样分布 niiXDD122)()( )(22n ).1, 12( nN niiiXEXE1224)()( nin12)13(2. t分布分布定义定义6.4 设设X N(0，1)，Y 2(n)，X与与Y独立，独立，则称随机变量则称随机变量 服从自由度为的服从自由度为的t分布分布，又称为学生氏分布又称为学生氏分布(Student distribution)，记为记为T t(n)可以证明可以证明t(n)的概率密度为的概率密度为 图图6-10 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 6.2.2 抽样分布抽样分布nYXT xnxnnnxfnt,1221)(212 图图6-1

15、0 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 显然显然t分布的概率密度分布的概率密度是是x的偶函数，图的偶函数，图6-10描绘描绘了了n = 1，3，7时时t(n)的概率密度曲线作为比较，的概率密度曲线作为比较，还描绘了还描绘了N(0，1)的概率密度曲线的概率密度曲线 6.2.2 抽样分布抽样分布 xnxnnnxfnt,1221)(212 可看出，随着可看出，随着n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲线与的概率密度曲线与N(0，1)的概率密度曲线越来的概率密度曲线越来越接近越接近可以证明可以证明t分布具有下面性质：分布具有下面性质：即当即当n趋向无穷时趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布近似于

16、标准正态分布N(0,1) 一般地，若一般地，若n 30，就可认为，就可认为t(n)基本与基本与N(0，1)相相差无几了差无几了 6.2.2 抽样分布抽样分布 nexfxt,21)(22 3. F分布分布定义定义6.5 设设X 2(n1)，Y 2(n2)，且，且X与与Y独立，独立，称随机变量称随机变量 服从自由度为服从自由度为(n1，n2)的的F分布分布，记为记为FF(n1，n2)可以证明的概率密度函数为可以证明的概率密度函数为 6.2.2 抽样分布抽样分布21nYnXF 0, 00,1222)(2212112221212111xxxnnnnxnnnnxfnnnnF .2 抽样分

17、布抽样分布 图图6-11 F分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 由由F分布的定义分布的定义容易看出，容易看出， 若若F F(n1，n2)，则，则1/F F(n2，n1)21nYnXF 4. 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理 在数理统计问题中，正态分布占据着十分重要在数理统计问题中，正态分布占据着十分重要的位置，一方面因为在应用中，许多随机变量的的位置，一方面因为在应用中，许多随机变量的分布或者是正态分布，或者接近于正态分布；另分布或者是正态分布，或者接近于正态分布；另一方面，正态分布有许多优良性质，便于进行较一方面，正态分布有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究因此，我们着重讨

18、论正态总体深入的理论研究因此，我们着重讨论正态总体下的抽样分布，给出有关最重要的统计量样本均下的抽样分布，给出有关最重要的统计量样本均值和样本方差值和样本方差S2的抽样分布定理的抽样分布定理 .2 抽样分布抽样分布定理定理6.3 设设X1，X2，Xn为来自总体为来自总体N( ， 2)的样本，的样本， ，S 2分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有 (1) (2) (3) 与与S 2相互独立；相互独立； (4)证明：证明：下面仅证明下面仅证明4. .2 抽样分布抽样分布X);,(2nNX ;1)1(222）（ nSn X)1(/ ntnSX

19、证明证明(4):由由(1)知知 ，从而，从而 由由(2)(3)知知 根据根据t分布的定义分布的定义 .2 抽样分布抽样分布);,()1(2nNX ;1)1()2(222）（ nSn ,2相相互互独独立立与与SX)1(/)4( ntnSX ),(2nNX ,1)1(222）（ nSn )1, 0(/NnX )1(/)1()1(/22 ntnSXnSnnX 相相互互独独立立；与与2)3(SX【例【例6.5】某厂生产的灯泡寿命近似服从正态分布某厂生产的灯泡寿命近似服从正态分布N(800，402)，抽取，抽取16个灯泡的样本，求平均寿命个灯泡的样本，求平均寿命小于小于775小时的概率小

20、时的概率. 解：解：设灯泡寿命总体为设灯泡寿命总体为X， 因为因为XN(800,402),n=16, 所以样本均值所以样本均值 故故 .2 抽样分布抽样分布),1640,800(2NX)100,800( NX即即 1080077510800775XPXP0062. 0)5 . 2(15 . 210800 XP【例【例6.6】设总体设总体XN( ，102)，抽取容量为，抽取容量为n的样本，的样本，样本均值记为样本均值记为 欲使欲使 与与 的偏差小于的偏差小于5的概率大于的概率大于0.95，样本容量，样本容量n至少应该取多大？至少应该取多大？解：解：依题令依题令 ,即即因为总体因为

21、总体 ，从而，从而所以所以即即查表知查表知 ，由于，由于 单调不减，应有单调不减，应有 故故n至少应该取为至少应该取为16 6.2.2 6.2.2 抽样分布抽样分布XX95. 05XP95. 055XP)10,(2 NX)1 , 0(10NnX 95. 010510105 nnXnP ,95. 022 nn,95. 0122 n975. 02 n 975. 096. 1 )(x ,96. 12 n.48.15 n【例【例6.7】设设X1，X2，Xn为总体为总体X N ( ， 2)的样本，求样本方差的样本，求样本方差的均值和方差的均值和方差 解：解：本题可以通过本题可以通过 2分布的均值和方差简

22、单求分布的均值和方差简单求出由定理出由定理6.3,所以有所以有 于是于是 .2 抽样分布抽样分布 niiXXnS122)(11）（1)1(222 nSn , 1)1(22 nSnE )1(2)1(22 nSnD ,22 SE .1242 nSD 6.2.3 6.2.3 分位数分位数 设设X为一随机变量，对于给定的实数为一随机变量，对于给定的实数x，PX x是事件是事件X x的概率在统计中，我们常常需要对的概率在统计中，我们常常需要对给定事件给定事件X x的概率，由此确定的概率，由此确定x取值的一个临界取值的一个临界点点,称为分位数称为分位数(点点),有如下定义：有如下定义： 定

23、义定义6.6 设设X为随机变量，若对给定的为随机变量，若对给定的 (0，1)，存在，存在x 满足满足 PX x = ，则称则称x 为为X的的上上 分分位数位数(点点) 6.2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 若若X具有密度具有密度f(x)，PX x = 说明分位数说明分位数x 右边的一块阴影面积为右边的一块阴影面积为 ，即即 容易看出，容易看出，X的上的上 分位数分位数x 是是关于关于 的减函数，即的减函数，即 增大时增大时x 减少减少.下面给出几种常用分布的上下面给出几种常用分布的上 分位数的求法：分位数的求法： 6.2.3 分位数分位数 dttfx)(1. 设设Z N(0，1)，记，记N

24、(0，1)的上的上 分位数为分位数为z ，即有即有PZ z = . 由于由于 (z ) = PZ z = 1 PZ z =1 ，由标准正态分布函数表（附表由标准正态分布函数表（附表2）反过来查，即可）反过来查，即可以得到以得到z 的值的值. 为使用方便，表为使用方便，表6-1列出了标准正态分布的几个列出了标准正态分布的几个常用分位数常用分位数z 的值的值表表6-1 常用的标准正态分布的分位数常用的标准正态分布的分位数 0.0010.0010.0050.0050.010.010.0250.0250.050.050.100.10z z 3.0903.0902.5762.5762.3262.3261

25、.9601.9601.6451.6451.2821.282 6.2.3 分位数分位数由由N(0，1)的概率密度的对称性（见图的概率密度的对称性（见图6-13）可知）可知所以所以 z1- = z 图图6-13 z1- 与与z 6.2.3 分位数分位数 11zZPzZPzZP2. 设设 2 2(n)，记，记 2(n)的上的上 分位数为分位数为 2(n)，即，即有有P 2 2(n) = . 附表附表3中给出了时中给出了时 2(n)的值，当的值，当n40时，由时，由 2(n)的渐近性质，有的渐近性质，有 6.2.3 分位数分位数22)12(21)( nzn 3.设设T t(n)，记，记t(n)的上的上

26、 分位数为分位数为t (n)，即有，即有PT t (n) = ；由由t(n)的概率密度的对称性的概率密度的对称性t1- (n) = t (n) 图图6-14 t1- (n)与与t (n) 附表附表4中给出了中给出了 时时t (n)的值，当的值，当n40 时，由于时，由于t(n)近似近似N(0，1),所以所以t (n) z 6.2.3 分位数分位数40 n4. 设设F F(n1，n2)，记，记F(n1，n2)的上的上 分位数为分位数为F (n1，n2)，即有，即有 PF F (n1，n2) = 附表附表5中给出部分中给出部分F (n1，n2)的值的值. 另外，由于另外，由于FF(n1,n2)时时

27、, 1/F F(n2,n1)，所以所以故故 6.2.3 分位数分位数 ),(112nnFFP ),(1),(12211nnFnnF ),(112nnFFP ),(1112nnFFP 1【例【例6.8】求下列分位数：求下列分位数： (1) z0.025； 20.5 (20)；t0.1(25)；F0.05(10，15)； (2) t0.975(4)； (3) t0.05(55)； (4) F0.9(14，10)； (5) 20.975(200). 解：解：(1) 查表查表6-1知知z0.025 = 1.96也可由标准正态分布函数表（附表也可由标准正态分布函数表（附表2），对函数值），对函数值 (z

28、0.025) = 1 0.025 = 0.975反查表得反查表得z0.025 =1.96 6.2.3 分位数分位数 分别查附表分别查附表3、附表、附表4、附表、附表5得到得到 20.5(20)=31.4104、t0.1(25)=1.3164、 F0.05(10，15)=2.54; (2) 在附表在附表4中没有中没有 = 0.975，可先查出，可先查出t0.025(4) = 2.7764，利用对称性得到，利用对称性得到t0.975(4) = t0.025(4) = 2.7764 (3) 在附表在附表4中查不到中查不到t0.05(55)，用近似公式，用近似公式t0.05(55) z0.05 = 1

29、.645 6.2.3 分位数分位数(4) 在附表在附表5中，查不到中，查不到F0.9(14，10)，但可查出，但可查出F0.1(10，14) = 2.10，故故(5) 在附表在附表3表中查不到表中查不到 20.975(200)，先查出，先查出z0.975 = z0.025 = 1.96，再作如下近似计算再作如下近似计算27.162)1200296. 1(21)12002(21)200(22975. 02975. 0 z 6.2.3 分位数分位数.476. 010. 21)14,10(1)10,14(1 . 09 . 0FF【例【例6.9】设设X1，X2是总体是总体X N(1，2)的样本，试的样

30、本，试求概率求概率P(X1 X2)2 20.08 解法解法一：一：因为因为X N(1，2)，所以，所以Xi N(1，2)，i=1,2，从而，从而记记 ，所以，所以查表知查表知 ，即，即 所以所以 .3 分位数分位数),1 , 0(221NXX )1(22221 XX22122 XX 02. 508.20)(2221 PXXP02. 512 P02. 5)1(2025. 0 ,025. 002. 52 P975. 0025. 0108.20)(221 XXP【例【例6.9】设设X1，X2是总体是总体X N(1，2)的样本，试的样本，试求概率求概率P(X1 X2)2 20.08 解

31、法解法二：二：因因X N(1，2)，所以，所以从而从而 .3 分位数分位数)1 , 0(221NXX 02. 5208.20)(21221XXPXXP975. 019875. 021)241. 2(2 由定理由定理6.3容易证明下述有关两个总体的抽样分容易证明下述有关两个总体的抽样分布定理布定理定理定理6.4 设设 ， 分别为来自分别为来自N( 1, 12)和和N( 2, 22)的样本，且它们相互独立，的样本，且它们相互独立，设设 ，S12， ，S22，分别为相应样本的样本均值和，分别为相应样本的样本均值和样本方差，则样本方差，则 (1) (2) 1,21nXXX2,21nYY

32、YXY)1, 0()(22212121NnnYX )1, 1(/2122222121 nnFSS 6.2.3 分位数分位数 (3) 当当 时，时，其中其中22221 )2(11)()(212121 nntnnSYXw 2212222112,2)1()1(wwwSSnnSnSnS 6.2.3 分位数分位数 证：证：(1) 由于由于 , ，又又 与与 独立，故由正态分布的性质知独立，故由正态分布的性质知所以所以 )/,(1211nNX )/,(2222nNY XY),(22212121nnNYX )1, 0()(22212121NnnYX 6.2.3 分位数分位数 证：证： (2) 由定理由定理6

33、.3， 且来自两个总体的样本是独立的，由且来自两个总体的样本是独立的，由F分布的定分布的定义知义知 ),1()1(1221211 nSn )1()1(2222222 nSn )1, 1(1)1(1)1(2122222121222222121211 nnFSSnSnnSn 6.2.3 分位数分位数 (3) 根据根据(1)知，知，所以所以根据根据(2)，由由 2分布的性质分布的性质由于由于U与与V相互独立，按相互独立，按t分布的定义分布的定义设设 ，则结论成立，则结论成立.),(221221nnNYX ），（ 1011)()( 2121NnnYXU )1()1(),1()1(22222212221

34、1 nSnnSn )2()1()1(21222222211 nnSnSnV )2/(21 nnVU212122221121112)1()1()()(nnnnSnSnYX ).2(21 nnt2)1()1(212222112 nnSnSnSw 6.2.3 分位数分位数【例【例6.10】设设X1，X2，X25，Y1，Y2，Y25分别为来自两个独立总体分别为来自两个独立总体N(0，16)和和N(1，9)的样的样本，本， 和和 分别表示相应的样本均值，求分别表示相应的样本均值，求 解：解：因为因为 ，且相互独，且相互独立，所以立，所以故故 =1 0.8413 = 0.1587XYYXP 2591251

35、60，NYNX 1 , 12592516, 1 NNYXYXP )1(111)1(1010 YXPYXPYXP 6.2.3 分位数分位数)11, 7(22222121FSSF 【例【例6.11】若从方差相等的两个正态总体中分别抽出若从方差相等的两个正态总体中分别抽出n1 = 8和和n2 = 12的独立样本，样本方差分别为的独立样本，样本方差分别为S12和和S22，求求 解：解：由于由于 , n1 = 8，n2 = 12，所以所以因此因此 查表知查表知F0.01(7，11) = 4.89，即，即PF 4.89 = 0.01，故故89. 4/2221 SSP)11, 7(2221FSS89. 41

36、89. 489. 42221 FPFPSSP99. 001. 0189. 42221 SSP 6.2.3 分位数分位数2221 【质量控制问题解答【质量控制问题解答】 某食盐厂用包装机包装的食盐，每袋重量某食盐厂用包装机包装的食盐，每袋重量500g，通常在，通常在包装机正常的情况下，袋装食盐的重量包装机正常的情况下，袋装食盐的重量X服从正态分布，服从正态分布，均值为均值为500g，标准差为，标准差为25g为进行生产质量控制，他们为进行生产质量控制，他们每天从当天的产品中随机抽出每天从当天的产品中随机抽出30袋进行严格称重，以检验袋进行严格称重，以检验包装机工作是否正常某日，该厂随机抽取包装机工作是否正常某日，该厂随机抽取30袋盐的重量袋盐的重量分别为：分别为： 从这些数据看，包装机的工作正常吗？从这些数据看，包装机的工作正常吗？4754755005004854854544545045044394394924925015014634634614614644644944945125124514514344345115115135134904905215215145144494494674674994994