山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第21章共边比例定理共角比例定理

1、第21章共边比例定理共角比例定理共边比例定理若两个共边的三角形，的对应顶点，所在直线与交于，则张景中几何新方法和新体系北京：科学出版社，2009：5证法1由同底三角形的面积关系式，有，由上述两式相加即证得图21-1中（1）、（2），上述两式相减即证得图21-1中（3）、（4）情形证法2不妨设与不同，则证法3在直线上取一点，使，则，所以，共角比例定理若与相等或互补，则有（或）证明把两个三角形拼在一起，让的两边所在直线与的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图（1）是两角相等的情形，图（2）是两角互补的情形，两情形下都有共角比例定理的推广与相等或互补，点在直线上且不同于，点在直线上且不同于，则

2、证明不妨设，共线如图21-3，则共角比例不等式如果，而且两角之和小于，则（或）证明记，如图21-4，作一个顶角为的等腰，延长至，使，则由共角比例定理，有共角比例逆定理在和中，若，则与相等或互补证明用反证法假设，不相等也不互补，不妨设这时有两种情形：若，由共角比例不等式，得这与题给条件矛盾若，如图21-5，延长至，使，延长至使这时，而且由共角比例不等式，得但由共边比例定理，知，且，故上述不等式，即为这也与已知题给条件矛盾从而假设，不相等也不互补不成立故与相等或互补下面给出应用上述定理证明问题的例子例1（1999年全国高中联赛题）在四边形中，对角线平分在上取一点，与相交于点，延长交于求证：证法1如

3、图21-6，在中，对割线应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理，有于是，证法2如图21-6，对及点应用塞瓦定理（令交于点），并注意到共边比例定理，有（以下同证法，略）例2（2003年全国高中联赛题）过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为，所作割线交圆于、两点，在、之间，在弦上取一点，使么求证：证明如图21-7，设，在中，由正弦定理，有过、分别作于，作于，注意到共边比例定理，有又，则于是，故例3（2009年国家集训队测试题）如图21-8，在凸五边形中，与相交于，与相交于，与相交于，与相交于，与相交于设、分别为与、与、与、与、与的交点求证：证明由共边比例定理，有其他的线段比例用同样的方法（共边

4、比例定理）转化，即只需证明由于用同样方法转化面积比，并消去上下相同的线段因而只需证明有或利用正弦定理，式等价于：而式显然成立，故结论获证例4（2010年北方数学邀请赛题）已知是的内切圆，、分别为、上的切点，联结并延长交于点，联结并延长交于点求证：是的中点证明如图21-9，联结，由、及、分别四点共圆有，由共边比例定理，有，及于是，故是的中点例5（2010年国家队选拔赛题）在锐角中，是的中点，是内一点，使得设、的外心分别是、证明：直线平分线段证明如图21-10，联结、，设直线与线段交于点由共边比例定理，有又，即于是故直线平分线段例6在完全四边形中，若直线与直线交于点，直线分别交，于，则，证明如图2

5、1-11，由共边比例定理，有注：（1）对于等的证明，也可由（2）上述（1）的证明是对凸四边形而言的，对下述的凹四边形，折四边形，按上述叙述则证得了上图中的，（3）上述证明是由出发，也可从下述等式出发：，例7（梅涅劳斯定理）设，分别为的三边、所在直线上的点，若、三点共线，则证法1如图21-13，联结，由共边比例定理，有，上述三式相乘即证得结论证法2如图21-13在直线上任取不重合两点、，由共边比例定理，有，即证例8（塞瓦定理）在的三边、所在直线上取点，和，则，三直线共点的充要条件证明必要性如图21-14由共边比例定理，有充分性若有，如图21-15，设和交于点，和交于点，要证明的是和重合，也就是有

6、由共边比例定理，有，即证例9（牛顿线定理）完全四边形的三条对角线的中点共线证法1如图21-16，在完全四边形中，、分别为对角线，的中点设直线交于，下证与重合即可，即证为的中点即可由共边比例定理有即证注：（*）（*）证法2如图21-17，同证法1，证为的中点即可过，分别作直线的平行线交于点，由共角比例定理及平行线的性质，有，注意到为的中点，也为的中点，知，以上四式相乘并化简得，即亦即，亦即于是，从而又，故为的中点，由此即证得结论证法3（张景中证法）即知，故直线过的中点例10圆弦的中点是，延长的两端使，过，分别向圆作割线，联结，分别交于，则，如图21-18所示证明注意到共角比例定理，由，有设，则，

7、于是改写为化简，整理得在式中，（因）故例11圆弦中点为，延长的两端，使得，过，分别向圆作割线，切线，联结，分别交于，则，如图21-19所示证明注意到共角比例定理，由，有设，则，于是改写成化简，整理得故练习题二十一1（帕斯卡定理）设内接于圆（与顶点次序无关，即无需为凸六边形），直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点则、三点共线2（帕普斯定理）已知，三点共线，三点共线直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，则，三点在一直线上3（笛萨格定理）已知直线，交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，则，三点共线4（数学通报数学问题1836号）是外一点，过点的直线分别交、于、，交的延长线于点求证：5（数学通报数学问题1816号）设是内任一点，、分别交、于、分别交、于、求证：6（数学通报数学问题1676号）已知是