高数极限概括

1、第二章极第二章极 限限结束结束 极限是微积分学乃至分析数学的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3 世纪刘徽创立的割圆术，就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率的。我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割

2、 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :第二章 极限本章学习要求：了解数列极限和函数极限的概念，在后面内容的学习中逐步加深对极限思想的理解。 掌握函数极限存在与左右极限之间的关系，了解函数极限的性质，了解极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界准则 。 掌握极限的四项运算法则，会用两个重要极限求极限。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量阶的比较，会用等价无穷小量求极限。 第一节 数列的极限一、数列二、数列极限的定义三、数列极限的性质四、数列的收敛准则 . )( 为定义域的函数是以

3、正整数集设Nnf , )( | )( NnnfxxNffnn的值域将 , 增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn 得到的一串数： , , , ,21nxxx称为一个数列, 记为 xn . 定义1一、数列 数列也称为序列介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1 ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 ) 1 (nn .2 :nnx 通项 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通项xnx2x1n21x0 x3 418121011nx212nxx,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )3(11nn.) 1( :1nnx通项xn1211M

4、3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )4(nnnn.) 1(1 nxnn通项：1xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通项 数列的性质单调性有界性则称满足若 , 21nnxxxx定义2 . , nnxx记为严格单调增加则称满足若 , 21nnxxxx . , nnxx也记为单调增加则称满足若 , 21nnxxxx . nnxx 记为 严格单调减少, 则称满足若 , 21nnxxxx . nnxx也记为 单调减少,严格单调增加(单调增加)严格单调

5、减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗 ？, | )(| , I , 0 成立有时使得当若MxfxM . I )( 上有界在区间则称函数xfOxyMMMy My()I)(xfy , , | , 0 成立使得若NnMxMn . . 是无界的否则称有界则称数列nnxx定义3数列的有界性的定义例2 ). 21 ( ,21Mn可取有界观察例1 中的几个数列：xnx2x1n21x0 x3 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 ) 1 (nn214181011nx212nxx). 1 ( , ) 1(1Mn可取但有界不单

6、调,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )2(11nnxn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )3(nnnn). 1 ( , ) 1(1Mnn可取但有界不单调1xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )4(nnnn . ) 1 ( ,1Mnn可取有界xn0242nx1x2 x ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 )5(nn ). 2 ( ,2nnx但下方有界：无界 有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的. n21nn

7、) 1(1n11001, 时无限增大当由前面我们看到：n.limaxnn一般地, 如果数列xn 当 n 时, 列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数此时, 也称数列是收敛的.1x 看数列 xn: nxn11从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1, 或者说“ 当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1”. 如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?2x123x234x345x4xn 注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则 a, b 越接近. 因此, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接

8、近于1”就只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.正数 , | xn1 | 总会小于这个 , 条件是只要 n充分的大。究竟要取多大呢？下面来分析：而要说明“ | xn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |可以任意小” 就行了。也就是说随便给定一个任意小的事实上, nxn1| 1|, 给10001, 很小, 100011| 1|nxn, 只须n1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有 .10001| 1|nx要也即在这个又给100001, 则从第10001项开始,以后各项都有. 100001|1|nx一般, 任给 0, 不论多么

9、小, nxn1| 1|只须1n. 因此, 从第11项开始, 以后各项都有 | 1|nx. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使预先任意给定一个正数 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始, 以后的所有项都落在 U(1, ) 中. 0 1 | 1 | nxn , 0 N（在 U(1, ) 外面只有有限项） , 时当Nn 若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.,0若,0N时,使当 Nn |axn记为 ,limaxnn或. )( naxn此时, 也称数列 xn 是收敛的. , ,时的极限当为数列则称数成立nxan数列极限的

10、定义： 0 , 0 N , 时当Nn :1)11 (limnn其中,是描述点 xn 与点 1无限接近的0度量标准, 它是预先任意给定的, 与xn的极限存在与否无关. . , 本身取决于数列是否存在nxNNN , ; ,则数列无极限存在则数列有极限不存在. , , NN所有大于则其不唯一存在如果 , .有关与并且的正整数均可取作为NN , , ),( 则值越小一般说来可记为NN . 的值越大N | 111 | n由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0 ,N = N().不等式111n称为目标不等式.例3 . 021lim nn证明：证证, 00

11、21 n由 .021limnn 021 nn2112 n1log2 n,1log, 1max2N故取则 n N 时,由极限的定义, 得). 1 | ( 0lim aann一般有例4 . 0sin1lim nnn证明：证证, 0 , 0sin1 nn要 ,1 sin 1 nnn只要, , 1 时则当故取NnNnnnnn1 sin 1 0sin1 成立. 由极限的定义可知: . 0sin1limnnn. ,不唯一时利用极限存在N例5 .lim , : aaaaaxnn证明设证证, 0有时则当取 , , 1 NnN0 | |aaaxn .lim .aan故由极限的定义可知：成立 通常说成：常数的极限

12、等于其自身. . , 1) 1(lim , 55limnn例6. | |lim ,lim :axaxnnnn则若证明证证, 0 0, ,lim Naxnn所以因为 .| , axNnn有时当由绝对值不等式, 得 , | | | |axaxnn . | | lim axnn故有注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, (1)n. ,| | | axn |axn若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一.想想, 如何证明它？设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：证证运用 . ,lim ,limbabxaxnnnn , 0 ,于是 ; | , , 0 11axNnNn时当 ; | , , 0

13、22bxNnNn时当 , , ,max 21时则当取NnNNN2 | | |bxaxbxxabannnn任意性常数由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .:limaxnn有时当 , 0, , 0 NnN |axn | |axaxnn | |axn , 则似乎可以得到如果固定? 有界的结论nx 回想数列的极限 若数列 xn 收敛, 则 xn 必有界.证证1,limaxnn设则由极限定义, 取时, 0N, 时当Nn 1|axn|1|axn即有| ,|,| |,|, |1max 21NxxxaM取则NnMxn ,|由数列有界的定义得：数列 xn 收敛, 则必有界. 该定理的逆命题不真, 即有界

14、数列不一定收敛. 例如, (1) n .即 无界数列的极限不存在 .例7 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn无极限发散无界,无极限发散无界,发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n . 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. . ) 1( :nnx反例:limaxnn有时当 , 0, , 0 NnN |axnaxn 即axan?论 你认为可能得到什么结由此, 回想数列的极限 , 0 ),0( 0 ,lim Naaaxnn则若 ).0( 0 , nnxxNn有时当证证 , , 0 ,

15、lim 则由极限的定义且设aaxnn有时当时取 , , 0 , 02 NnNa,2 | |aaxn由绝对值不等式的知识, 立即得.20nxaa , )0( 0 nnxx若 , lim 存在且axnn . )0( 0 aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理, 运用反证法证明 , ) , 0 ( )( 00时当或若NnNNnyxyxnnnn则存在且 , lim ,lim byaxnnnn . )limlim( limlimbyxabyxannnnnnnn设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:(2),limlimazynnnn则axnnlim想想：如何证明夹逼定理?(1) y

16、n xn zn , n (或从某一项开始) ;N ,limlim 所以因为azynnnn, | , , 0 , 0 11ayNnNn时当, | , , 0 , 0 22azNnNn时当 , ,max 21有时则当取NnNNN . | , |azaynn故有或从某一项开始已知 ),(Nnzxynnn)( Nnazxyannn , , 由极限定义得有时即当axNnn.limaxnn解解 .12111 lim 222nnnnn求112111 22222nnnnnnnnn , 1lim 2nnnn而11lim2nnn由于112111 lim 222nnnnn故例例8想得通吧？想得通吧？解解. ,! l

17、im Znnnnn求nnn! 由于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故例9nnnnnnn1321 ,1n 0 .)321 (lim 1nnnn求 132313)321 (11nnnnnn , 3132311 nn而 , 33)321 (3 11nnnn故 , 3)33(lim 1nn又 . 3)321 (lim , 1nnnn得由夹逼定理例10解解 单调减少有下界的数列必有极限 . 单调增加有上界的数列必有极限 . . 11 收敛证明数列nn证证由中学的牛顿二项式展开公式321! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 1111n

18、nnnnnnnnnxnnnnnnnnn1! )1() 1(nnn2111! 3111 2111！ , 112111! 1nnnnn例11类似地, 有11111nnnx 111121111! 1nnnnn 11121111! ) 1(1nnnnn121111! 31111 2111nnn！ , 112111! 1nnnnnnnn2111! 3111 2111！nx除前面的展开式可以看出与比较 , 1nnxx并且的对应项的每一项都小于两项外 , ,1nnxx因此一项还多了最后的大于零的 , 1nx1nnxx. 是单调增加的即nxnnnxn2111! 3111 2111！ 112111! 1nnnnn又! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比数列求和 放大不等式 .