1221认识一次函数

1、第第12章章 一次函数一次函数第第2节节 一次函数一次函数第第1课时课时 正比例函数的图象和性质正比例函数的图象和性质1课堂讲解课堂讲解?一次函数与正比例函数的定义一次函数与正比例函数的定义?正比例函数的图象正比例函数的图象?正比例函数的性质正比例函数的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业在上节，遇到过这样一些函数：在上节，遇到过这样一些函数：h=30t+1800; Q= - -25t+300;y=2x;s=80t.这些函数有什么共同特点？这些函数有什么共同特点？y=- -2x;知识点1一次函数与正比例函数的定义知知1 1讲讲1.定义：定义：一般地，形如一

2、般地，形如ykxb(k，b为常数，且为常数，且k0) 的函数，叫做一次函数当的函数，叫做一次函数当b0时，时，ykx(k为常数，且为常数，且k0)，所以说正比例函数是一种，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数特殊的一次函数知知1 1讲讲2. 要点精析：要点精析：一次函数一次函数ykxb(k0)的结构特征：的结构特征：k0；自变量；自变量x的次数是的次数是1；常数项常数项b可以是可以是任意任意实数实数例例1 下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？例函数？知知1 1讲讲(1) y2x2；(2)y2x(3x2)；(3)y3xx?1(4)x2y1； (

3、5)y23x.导引：导引：先看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根先看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断据一次函数和正比例函数的定义进行判断知知1 1讲讲解：解：(1)因为因为x的指数是的指数是2，所以，所以y2x2不是一次函数不是一次函数x?1 1111? x? ,k? ?0,b? ,(2)因为因为y?22222所以所以x?1是一次函数是一次函数y?2(3)因为因为y3x2x(3x2)2x，k2，b0，所以它是一次函数，也是正比例函数所以它是一次函数，也是正比例函数知知1 1讲讲(4)x2y1，即，即y1x2.因为因为x的指数是的指数是2，所以所以x2y

4、1不是一次函数不是一次函数(5)因为因为y3所以它不是一次函数所以它不是一次函数x不是整式，不符合不是整式，不符合ykxb的形式，的形式，（来自点拨）（来自点拨）总结判断函数式是否为一次函数的方法：先看判断函数式是否为一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，函数式是否是整式的形式，再再将函数式进行恒将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数表达式等变形，看它是否符合一次函数表达式ykxb的结构特征：的结构特征：(1)k0；(2)自变量自变量x的次数为的次数为1；(3)常数项常数项b可以为任意实数可以为任意实数知知1 1讲讲（来自点拨）（来自点拨）知知1 1讲讲例例2 原创易错题原创易错题已

5、知函数已知函数y(n24)x2(2n4)xm2 (mn8)；(1)当当m、n为何值时，函数是一次函数？为何值时，函数是一次函数？(2)如果函数是一次函数，计算当如果函数是一次函数，计算当x1时的函数值时的函数值知知1 1讲讲导引：导引：(1)由一次函数的定义，结合原函数式的特征知：由一次函数的定义，结合原函数式的特征知：二次项的系数必为二次项的系数必为0，即，即n240；(2n4)xm2必为一次项，即必为一次项，即m21，2 n40；(2)写出表达式，运用代入法求函数值写出表达式，运用代入法求函数值解：解：(1)由题意，得由题意，得所以当所以当m3，n2时函数是一次函数时函数是一次函数(2)由

6、由(1)得此一次函数的表达式为得此一次函数的表达式为y8x7.当当x1时，时，y8171.?n ?4?0解得解得m3，n2.?m ?2?1?2n?4?0.?2知知1 1讲讲（来自点拨）（来自点拨）总结知知1 1讲讲根据一次函数的定义求待定字母的值时，要注意：根据一次函数的定义求待定字母的值时，要注意：(1)函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为以上的项，则其系数必为0；(2)隐含条件隐含条件：自变量：自变量(一次项一次项)的系数不为的系数不为0.（来自点拨）（来自点拨）知知1 1讲讲1.定义：定义：一般地，形如一般地，形如ykx(

7、k为常数，且为常数，且k0)的函数，的函数，叫做正比例函数；其中叫做正比例函数；其中k叫做比例系数叫做比例系数要点精析：要点精析：(1)判断一个函数是否为正比例函数的方法：判断一个函数是否为正比例函数的方法：看这个函数是否满足以下看这个函数是否满足以下两个条件两个条件：所给等式是形如所给等式是形如ykx的等式；的等式；比例系数比例系数k是常数，且是常数，且k不等于不等于0.同时满足这两个条件同时满足这两个条件，它就是正比例函数，它就是正比例函数知知1 1讲讲(2)正比例函数反映的是两个变量之间的关系，是正比例函数反映的是两个变量之间的关系，是正比例函数关系正比例函数关系2易错警示：易错警示：(

8、1)正比例函数正比例函数ykx中，中，k0，x的指数为的指数为1；(2)自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，注意自变量的取值要有实际意义题中，注意自变量的取值要有实际意义.知知1 1讲讲例例3 写出下列问题的函数表达式，并判断哪些是正比写出下列问题的函数表达式，并判断哪些是正比例函数例函数(1)已知圆的周长已知圆的周长C是半径是半径r的函数；的函数；(2)油箱中有油油箱中有油30 L，若油均匀流出，若油均匀流出，150 min流尽，流尽，则油箱中余油量则油箱中余油量

9、Q(L)是流出时间是流出时间t (min)的函数；的函数；(3)小明以小明以4 km/h的速度匀速前进，则他所走的路程的速度匀速前进，则他所走的路程s(km)是时间是时间t(h)的函数；的函数；(4)某种商品每件进价某种商品每件进价100元，售出时每件获得元，售出时每件获得20%的的利润，销售额利润，销售额y(元元)是售出商品数量是售出商品数量x(件件)的函数的函数解：解：(1)C2 r，是正比例函数，是正比例函数(2)Q301t，不是正比例函数，不是正比例函数(3)s4t，是正比例函数，是正比例函数5(4)y(10010020%)x120 x，是正比例函数，是正比例函数（来自点拨）（来自点拨

10、）总结知知1 1讲讲(1)根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成函根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成函数表达式的形式数表达式的形式(2)判断是否为正比例函数的判断是否为正比例函数的依据依据：即看两个变量的：即看两个变量的比是不是常数，即是不是形如比是不是常数，即是不是形如ykx(k为常数，为常数，且且k0)的函数的函数（来自点拨）（来自点拨）知知1 1讲讲例例4 已知函数已知函数y(k2)x|k|1(k为常数为常数)是正比例函数，是正比例函数，则则k_2导引：导引：根据正比例函数的定义，此函数表达式应满足：根据正比例函数的定义，此函数表达式应满足：(1)变量变量x的指数为的指数为1，即

11、，即|k|11，所以，所以k2；(2)比例系数比例系数k20，即，即k2.综上，综上，k2.（来自点拨）（来自点拨）总结知知1 1讲讲由正比例函数的定义知正比例函数的自变由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指数为量的指数为1；应用定义求值时，不要忽视比；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为例系数不为0这一条件这一条件.（来自点拨）（来自点拨）知知1 1练练1 下列函数中，下列函数中，y是是x的一次函数的是的一次函数的是(C)Ayx22xCyxByDy3x12 x（来自典中点）（来自典中点）知知1 1练练2下列函数：下列函数：y2x1，y x，yyx2中，一次函数的个数是中，一次函数的个数是

12、(BA1 B2 C3 D4)1x，（来自典中点）（来自典中点）知知1 1练练3已知已知y(m3)x|m|21是是y关于关于x的一次函数，的一次函数，AA3 B3 C3 D2则则m的值是的值是()（来自典中点）（来自典中点）知知1 1练练4 下列问题中，变量之间的关系是正比例函数关系下列问题中，变量之间的关系是正比例函数关系DA长方形的面积固定，长和宽之间的关系长方形的面积固定，长和宽之间的关系B正方形的面积和边长之间的关系正方形的面积和边长之间的关系C三角形的面积一定，底边和底边上的高之间三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的是的是()的关系的关系D匀速运动中，路程和时间之间的关系匀速运动中

13、，路程和时间之间的关系（来自典中点）（来自典中点）知知1 1练练2aba2b是正是正(中考中考凉山州凉山州)已知函数已知函数y2x521比例函数，则比例函数，则a_，b_.33（来自典中点）（来自典中点）知识点2正比例函数的图象知知2 2讲讲例例1 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象：图象：y= 1x, y=x , y=3x.2知知2 2讲讲解：解：列表列表(为便于比较，三个函数值计算表排在一起为便于比较，三个函数值计算表排在一起)xy= 1x000012xy=y=3x12131如图，过两点（如图，过两点（0, 0），（），（1，）画直线，）画直线，2

14、得得y= x的图象；的图象；1过两点（过两点（20, 0），（），（1, 1）画直线，得画直线，得y=x的图象；的图象；知知2 2讲讲过两点（过两点（0, 0），（），（1, 3）画直线，得画直线，得y=3x的图象的图象.（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲例例2 在同一直角坐标系中，画出函数在同一直角坐标系中，画出函数y5 x，yx的图象的图象解：解：列表：列表：xyx01y5x 0051描点、连线，如图所示描点、连线，如图所示（来自点拨）（来自点拨）总结知知2 2讲讲正比例函数正比例函数ykx(k是常数，且是常数，且k0)的图象是的图象是一条经过原点及一条经过原点及(1，k)的直线，的直

15、线，通常通常作正比例函数作正比例函数的图象是过的图象是过(0，0)和和(1，k)两点画直线，但也可以两点画直线，但也可以变通，选点应以便于计算和描点为原则变通，选点应以便于计算和描点为原则（来自点拨）（来自点拨）知知2 2练练北海北海)正比例函数正比例函数ykx的图象如图所示，的图象如图所示，1(中考中考则则k的取值范围是的取值范围是(Ak0 Ck1 ABk0 )Dk1（来自典中点）（来自典中点）知知2 2练练2 正比例函数正比例函数yx的大致图象是的大致图象是(C)（来自典中点）（来自典中点）知知2 2练练3 已知正比例函数已知正比例函数ykx(k0)，当，当x1时，时，y2，则它的图象大致

16、是，则它的图象大致是(C)（来自典中点）（来自典中点）知识点3正比例函数的性质知知3 3讲讲学过了上面例学过了上面例1及练习后可以看出，当及练习后可以看出，当k取取不同的数值时，就确定正比例函数不同的数值时，就确定正比例函数y=kx(k为常数，为常数，且且k0)在坐标系中有不同的位置在坐标系中有不同的位置.你能从中归纳你能从中归纳出怎样的规律？出怎样的规律？知知3 3讲讲图象：图象：正比例函数正比例函数ykx(k为常数，且为常数，且k0)的图象是的图象是一条经过一条经过原点原点的直线，我们称它为直线的直线，我们称它为直线ykx.性质：性质：当当k0时，直线时，直线ykx经过第经过第一、三一、三

17、象限，从象限，从左向右上升左向右上升，y随着随着x的增大而增大，的增大而增大，当当k0时，直线时，直线ykx经过第经过第二、四二、四象限，象限，从左向右下降，从左向右下降，y随着随着x的增大而减小的增大而减小例例3 广东珠海广东珠海已知函数已知函数y3x的图象经过点的图象经过点A (1，y1)，点，点B(2，y2)，则，则y1_y2(填填“ ”“”“” 或或“ ”) 知知3 3讲讲导引：导引：方法一：把点方法一：把点A，点，点B的坐标分别代入函数的坐标分别代入函数y3x，求出求出y1，y2的值比较大小即可的值比较大小即可方法二：画出正比例函数方法二：画出正比例函数y3x的图象，在函数图的图象，

18、在函数图象上标出点象上标出点A，点，点B，利用数形结合思想来比较，利用数形结合思想来比较y1，y2的大小的大小如图，观察图象，如图，观察图象，显然可得显然可得y1y2.方法三：根据正比例函数的方法三：根据正比例函数的知知3 3讲讲增减性来比较函数值的大小增减性来比较函数值的大小根据正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，当当k0时，时，y随随x的增大而增大，即可得的增大而增大，即可得y1y2.（来自点拨）（来自点拨）知知3 3讲讲总结正比例函数的图象上两点的纵坐标的大小与比正比例函数的图象上两点的纵坐标的大小与比例系数以及横坐标的大小有关；比例系数是正数时，例系数以及横坐标的大小有关；比例系数

19、是正数时，函数值随自变量的增大而增大；比例系数是负数时，函数值随自变量的增大而增大；比例系数是负数时，函数值随自变量的增大而减小函数值随自变量的增大而减小总结本例的解法中，本例的解法中，方法一方法一是用求值比较法；是用求值比较法；方法二方法二是利用是利用数形结合思想数形结合思想，用，用“ 形形” 上的点的纵上的点的纵坐标位置来比较坐标位置来比较“ 数数”的大小；的大小；知知3 3讲讲方法三方法三是利用函数的增减性来比较大小是利用函数的增减性来比较大小（来自点拨）（来自点拨）知知3 3讲讲例例4 已知正比例函数已知正比例函数yk1x与与yk2x的图象如图，的图象如图，比较比较k1与与k2的大小的

20、大小导引：导引：两个函数的自变量取两个函数的自变量取相同的数值，当所取相同的数值，当所取的数是的数是正数正数时，比较两时，比较两个函数值的大小即可得个函数值的大小即可得k1、k2的大小的大小知知3 3讲讲解：解：在正比例函数在正比例函数yk1x图象位于第一象限的射线上图象位于第一象限的射线上取一点取一点A，设点，设点A的坐标是的坐标是(a，k1a)，过点过点A引引x轴的垂线交正比例函数轴的垂线交正比例函数yk2x的图象于的图象于一点一点B，x轴上的垂足是轴上的垂足是H，所以点所以点B的坐标是的坐标是(a，k2a)，由于由于k1ak2a，且，且a0，因此，因此k1k2.（来自点拨）（来自点拨）知

21、知3 3讲讲总结利用正比例函数的图象比较比例系数的大小，利用正比例函数的图象比较比例系数的大小，可以在一条直线上取一点可以在一条直线上取一点A，通常通常使得这点的横坐使得这点的横坐标是标是1，过这点引，过这点引x轴的垂线，交另一直线于一点轴的垂线，交另一直线于一点B，比较两点纵坐标的大小即可比较两点纵坐标的大小即可（来自点拨）（来自点拨）例例5 若正比例函数若正比例函数y(3k5)x及及y(5k3)x的图象如图所示，的图象如图所示，则则k的取值范围是的取值范围是_ 355?k?3. 综合两个不综合两个不导引：导引：由正比例函数的图象及性质知：由正比例函数的图象及性质知：3k50，即，即k5；5

22、k30，即，即k33等式的解集，得等式的解集，得35k5.53（来自点拨）（来自点拨）总结知知3 3讲讲(1)由正比例函数的性质由正比例函数的性质y随随x的增大而增大或减小，可以的增大而增大或减小，可以判断比例系数的符号，当判断比例系数的符号，当y随随x的增大而增大时，比例的增大而增大时，比例系数系数k大于大于0，反之比例系数，反之比例系数k小于小于0；(2)由正比例函数的图象过一、三象限还是过二、四象限由正比例函数的图象过一、三象限还是过二、四象限可以判断比例系数的符号，当直线过一、三象限时，可以判断比例系数的符号，当直线过一、三象限时，k0，当直线过二、四象限时，当直线过二、四象限时，k0.知知3 3练练1 关于函数关于函数y2x，下列判断正确的是