“PA+k_PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)

1、“PA+k-P型的最值问题当k值为1时，即可转化为“PA+PB之和最短问题，就可用我们常见的 将军饮马”模型来处 理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意不为1的正数时，通常以动点 P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。其中 点P在直线上运动的类型称之为 胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为 阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型 将军饮马”：把河岸看作直线点A'（或B'）,连接A' B （或B'将军饮马的地点，即 PA+PB即为 例1.如图，在锐角 4ABC中， 交BC于点D, M、N分别是 AI 值是。L,先取A （或B）关子直线L的对称4/A）,

2、并与直线交乎-点 巳 则点P就是 -2:L最短路线。CAB=4 , / BAC=45 , / BAC 的平分线/D和AB上的动点，则 BM+MN 的最小/A VR例2.如图，在矩形 ABCD 中，AB =10, AS矩形ABCD ,则点P至ij A, B两点距离之和例3.如图，/ AOB=30 ，点M、N分别妻点，OP 平分/ AOB ,且 OP=6 , APMNncID = 6,动点 P 满足 Sapab = JI- 3PA+PB的最小值为产>当射线 OA、OB上的动/的周长最小值为；当 PMN的周长取最小值时， 四边形变式：“造桥选址”模型例4.如图，已知直线 all b,且a与的距

3、离为 2,点B到直线b的距离为一点M ,在直线b上找一点 N,满万 和最短，则此时 AM+NB 的值为PMON 的面积为 。 口飞f一起b之间的距离为 4,点A到直线a 03 , AB= 2底.试在直线 a上找-、-V51 MN La 且 AM+MN+NB 的长度。 ,“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。 人们告诉他，在弥留之际,老人在不断喃喃地叨念：胡不归？胡不归？ ”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地,B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠

4、目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择 了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上 （Vi）行走要比在砂土地带 （V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线 （尽管这条路线长一些， 但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。解题步骤：将所求线段和改写为 “BA V2AD'的形式（0VV21）；ViVi在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度 %使得sin肝V2 ;Vi过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值.例6.如图， ABC 中，BC=2, / ABC=30 ,贝U 2AC+AB 的最小值为 例7.如图，四边形 ABCD是菱形，AB=4 ,且/ ABC=60 , M 为

5、对角线BD （不含B点）上任意一点，则AM+ BM的最小值为。2例8.如图，等腰 4ABC中，AB=AC=3 , BC=2 , BC边上的高为 AO ,点 D为射线 AO上一点，一动点 P从点 A出发，沿 AD-DC 运动，动点 P在AD上运动速度 3个单位每秒，动点 P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为 秒。中考真题1. （2016?徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax，bx+c的图像经过点A （-1, 0） , B （ 0, -、：3）、C （ 2, 0）,其中对称轴与x轴交于点 D。若P为y轴上的一个动点，连接PD,则1PB PD的最小值为。22

6、. （2014.成都）如图，已知抛物线 y 8 x 2 x 4与x轴从左至右依次交于点A、9B ,与y轴交于点 C ,经过点 B的直线y x 3与抛物线的另一个交点为33D （-5, 3、3）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接 AF , 一动点 M从点A出发，沿线段 AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段 FD以每秒2个单位的速度运动到 D后停止，当点F的坐标为 时，点M在整个运动过程中用时最少？三、“阿氏圆”模型【问题背景】 阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足 PA=kPB（kwi）的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆

7、”。如图所示 2-1-1 , O O的半径为 r,点 A、B都在。O外，P为。O上的动点，已知图 2-1-1图 2-1-2r=k - OB.连接 PA、PB,则当“ PA+k - PB”的值最小时，P点的位置如何确定?本题的关键在于如何确定“k PB”的大小，（如图 2-1-2 ）在线段OB上截取 OC使OC=k r,则可说明 BPO 与 PCO 相似，即 k - PB=PC。本题求“ PA+k PB”的最小值转化为求“ PA+PC ”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图 2-1-3）,本题得解。阿氏圆”一般解题步骤:第一步：连接动点至圆心 O （将系数不为 1的线段两个端点分别与圆心相

8、连接），则连接OP、OB;第二步:计算出所连接的这两条线段OP、OB长度;第三步:计算这两条线段长度的比第四步:在 OB上取点C,使得OP .一 k;OBOC OPOP OB第五步:连接 AC ,与圆。交点即为点 P.例9.如图，点 A、B在O。上，且OA=OB=6C是OA的中点，点 D在OB上，且OD=4 ,动点P在O。上,贝U 2PC+PD的最/、值为例10.如图，半圆的半径为1, AB为直径，AC、BD为切线,一 2.42AC=1 , BD=2 , P为弧 AB 上一动点，求 PC+PD 的最小值例11. (1)【问题提出】：如图 1,在 RtA ABC 中，/ ACB =90°

9、;, CB=4, CA = 6,1OC半径为2, P为圆上一动点，连结 AP, BP,求AP -BP的最小值为.21 一(2) .【自主探索】：在问题提出”的条件不变的情况下，AP BP的最小值3为.(3) .【拓展延伸】：已知扇形 COD 中，/ COD = 90o, OC = 6, OA = 3, OB = 5,P劫京【模型类比】胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角(k=sin / CAE)-过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决 阿氏圆”构造共边共角型相似构造 PAB cap 推出 pa2= ab ?ac即：半径的平方 =原有线段X构造线段- - 一超拓展：“费马点”问题

10、背景资料：在已知4ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为费马点” .如图，当 4ABC三个内角均小于1200时，费马点 P在4ABC内部，此时/ APB= / BPC= / CPA=120 ，此时， PA+PB+PC 的值最小.解决问题：(1)如图，等边 4ABC内有一点 P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为 3,4, 5,求/ APB的度数.为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到4ACP处，此时 ACP'ABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA, PB, PC转化到一个三角形中，从而求出/APB= ;基本运用：(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图，4ABC 中，