博弈论教学全集

1、2021-12-26本章内容本章内容1235241.1.认识博弈认识博弈 1.田忌赛马2021-12-263田忌/齐王齐王上中下中下上下上中上下中中上下下中上田忌上中下0 3 2 11 2 1 21 2 1 2中下上1 20 32 11 21 21 2下上中2 1 1 20 3 1 21 2 1 2上下中1 21 21 20 32 11 2中上下1 2 1 21 21 20 3 2 1下上中2 11 21 21 21 20 31.1.认识博弈认识博弈 2.智猪博弈 有大猪、小猪同在一圈，只要按到某一按钮就会有食物吃，按钮到食槽有一段距离，每按一下会得到共8个单位的食物，每次按按钮的成本为2。如

2、果大猪先到，则大猪吃7，小猪吃1；如果小猪先到，大猪后到，则大猪吃4，小猪吃4；若同时到，则大猪吃5，小猪吃3。如果大猪按小猪等，则大猪得到4个单位的效用，小猪的到4个单位；若果大猪等小猪按，则大猪得到7个单位，小猪得到1个单位；如果同时按，大猪得5，小猪得3；如果都不按，则无所得。2021-12-264大猪/小猪小猪按等大猪按3 124等7 -10 01.1.认识博弈认识博弈 3.攻城博弈 我方拥有两个师的兵力，敌方三个师的兵力盘踞在一座城市中。通往城市的道路有甲和乙两条。规定双方兵力都只能整师调动，谁的兵力胜过对方就胜利。 分析： 敌人布防策略： A.三个师驻守甲 B.两个师驻守甲，一个师

3、驻守乙 C.一个师驻守甲，两个师驻守乙 D.三个师驻守乙 我方进攻策略： a.集中兵力进攻甲 b.兵分两路，分攻甲、乙 c.集中兵力进攻乙2021-12-2651.1.认识博弈认识博弈 对战局进行预测并选择进攻策略2021-12-266我方/敌方敌方ABCD我方a-，+-，+，-+，-b+，-，+-，+，-c+，-+，-，+-，+1.1.认识博弈认识博弈 4.拿子游戏 有两堆火柴，一堆2支，一堆1支。有两个游戏参与者甲和乙。要求：每人每次只能从一堆中取，可以取任意数量，最后拿完者赢，记为1；输者，记为-1。2021-12-267甲（2，1）乙（1，1）（0，1）（2，0）1，-11，-1-1，

4、11，-1-1，1（1，0）（0，1）（0，0）（1，0）（0，0）1.1.认识博弈认识博弈 5.说明以下几个案例是否为博弈案例？ 1.华商报定价 2.OPEC成员国选择年产量 3.两家制造商，一家生产螺钉，一家生产螺帽，在公制和美制之间选择生产标准 4.一家公司的董事会为其总经理设立一项期股安排 5.华为集团对市场预测后准备在陕西师范大学国际商学院2008届毕业生中招聘员工2021-12-2681.1.认识博弈认识博弈 6.博弈三要素： （1）参与人 （2）行动或战略 （3）支付或盈利2021-12-2692.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 1.参与人（players） 在囚徒博弈（也叫囚

5、徒困境）中，张三和李四是参与人，也称为对局人、局中人。 张三和李四都是在博弈中作出决策而获得最大化效用的人。2021-12-2610李四/张三张三认罪抵赖李四认罪5 5 0 15抵赖15 0 1 12.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （1）参与人：在博弈（或对局）中作出决策以获得最大效用的个体，称为局中人。 n个个体参加的博弈称为n人博弈。囚徒困境是二人博弈（2-person game）。2021-12-2611李四/张三张三认罪抵赖李四认罪5 5 0 15抵赖0 15 1 12.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 参与人可以是自然人、法人、团体，也可以是一种情况，当表示某一种情况时称为“自然

6、”。 （2）自然：是一种虚拟参与人，它在博弈的特定时点上以特定的概率随机选择行动。 例：一个房地产市场有大小两个房产开发商A和B。2021-12-2612AB等待开发等待开发等待开发在这个博弈中，A和B的是否开发，开发的结局如何，与市场的大小有密切的关系。“市场容量”在这里就是自然，它以某种概率分而存在。2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 2.行动（action） 在智猪博弈中，大猪可选的决策有两个（按，等），小猪也是同样的两个。 在攻城博弈中，我方有三个行动可供选择（a,b,c），敌方有四个行动可供选择（A,B,C,D）。2021-12-2613大猪/小猪小猪按等大猪按3 124等7 -1

7、0 0我方/敌方敌方ABCD我方a-，+-，+，-+，-b+，-，+-，+，-c+，-+，-，+-，+2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （1）行动：概念：参与人在博弈的某个时点上的决策变量。参与人的行动可能是连续的也可能是离散的。第i个参与人的一个特定行动记作：aik(kK) ，则： 例如，在攻城博弈中，我方的行动为：（a,b,c）。2021-12-26141,.,.,;1,.iiikiKaaaakK。我方/敌方敌方ABCD我方a-，+-，+，-+，-b+，-，+-，+，-c+，-+，-，+-，+2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （2）行动集：第i个参与人的所有行动的集合称为行动集，记

8、作： 例如，在攻城博弈中，敌方的策略集为：A,B,C,D。2021-12-2615 1,.,.,iiiikiKAaaaa我方/敌方敌方ABCD我方a-，+-，+，-+，-b+，-，+-，+，-c+，-+，-，+-，+2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （3）行动组合：在n人博弈中，每一个可能的结果都不是某个参与人单独决策的结果，而是所有参与人共同采取某一系列行动共同作用的结果，n个参与人行动的有序集a=(a1, ai,an,)称为该博弈中的一个行动组合。 例如，在智猪博弈中，大猪的“按”和小猪的“等”就组成一个策略组合，记作：a=(按，等)。2021-12-2616大猪/小猪小猪按等大猪按3

9、 124等7 -10 02.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （4）行动顺序：是参与人在博弈中采取行动的时间排序。这是区分静态与动态博弈的基础。 一般情况下，假定参与人的行动空间和行动顺序是所有参与人的共同知识。2021-12-2617甲（2，1）乙（1，1）（0，1）（2，0）1，-11，-1-1，11，-1-1，1（1，0）（0，1）（0，0）（1，0）（0，0）2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 3.信息（information） （1）信息：参与人有关博弈的知识，特别是有关“自然”的选择、其他参与人的特征和行动的知识。2021-12-2618AB等待开发等待开发等待开发在这个博弈中，

10、A和B的是否开发，开发的结局如何，与市场的大小有密切的关系。“市场容量”在这里就是自然，它以某种概率分而存在。2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （2）信息集：在博弈中描述参与人信息特征的集合。在动态博弈中会有详细的概念。2021-12-2619AB不开发开发不开发不开发开发开发不不N小(1/2)大(1/2)小(1/2)大(1/2)(4,4)(8,0)(-3,-3)(1,0)(0,8)(0,0)(0,1)(0,0)2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （3）完全信息：指“自然”不首先行动或“自然”的初始行动被所有参与人都观察到的情况，既没有事前不确定性。（海萨尼的新定义）2021-12-26

11、20AB不开发不开发不开发2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （4）完美信息：是指一个参与人对其他参与人（包括“自然”）的行动选择都准确了解的情况，即每一个信息集只包含一个值。 （5）共同知识：每一个局中人都知道博弈的规则，并且这一现象是众所周知的。2021-12-2621AB不开发开发不开发不开发开发开发不不N小(1/2)大(1/2)小(1/2)大(1/2)(4,4)(8,0)(-3,-3)(1,0)(0,8)(0,0)(0,1)(0,0)完美信息、确定信息、对称信息、完全信息信息类型含义完美每个信息集都是单结的确定自然不在任一参与人行动之后行动（是否拥有优势私人信息）对称没有参与人在行动

12、时或在终点结处有与其他参与人不同的信息完全自然不首先行动，或自然的最初行动能被每个参与人观察到2021-12-2622信息类型谁能摸到最好的牌完美确定1.所有的牌都被洗成面朝上确定对称不完全2.所有的牌都被洗成面朝下且下注前不能看自己的牌确定非对称不完全3.所有的牌都被洗成面朝下且下注前只能看自己的牌确定非对称完全4.所有的牌都被洗成面朝上但都可以悄悄丢掉一张牌完美不确定5.所有的牌都被洗成面朝上，然后下注，最后再得一张面向上的牌确定非对称不完全6.所有的牌都被洗成面朝下，抓起不能看自己的牌并举过头顶让其他参与人都看清楚自己的牌2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 4.战略（strategie

13、s） （1）战略：是参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。 例：以下房产商开发博弈中，A有2个战略，B有4个战略。2021-12-2623AB不开发不开发不开发 ABss开发，不开发开发，开发 ，开发，不开发 ，不开发，开发 ，不开发，不开发2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （2）战略组合：一般地，如果si表示第i个参与人的一个特定战略，表示Si=si第i个参与人的所有可选择的战略集合。若n个参与人每人选择一个战略，n维向量s=s1, si, sn称为一个战略组合。2021-12-2624AB不开发不开发不开发ssssssss开发， 开发，开发 ，开发，

14、 开发，不开发开发， 不开发，开发 ，开发， 不开发，不开发不开发， 开发，开发 ，不开发， 开发，不开发不开发， 不开发，开发 ，不开发， 不开发，不开发2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （3）战略与行动：在静态博弈中，战略与行动是相同的；在动态博弈中，战略是行动的规则而不是行动本身。 例：在以下博弈中，开发、不开发都是行动，对于B来说，无论A是否开发B都开发，即开发，开发是B的一个战略。2021-12-2625AB不开发不开发不开发 ABss开发，不开发开发，开发 ，开发，不开发 ，不开发，开发 ，不开发，不开发2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 5.支付（payoff） 在智猪博弈

15、中，对应于行动组合（按，等），大猪和小猪的效用为（2，4），这被称为支付。 （1）支付：在博弈论中，支付或者是指一个特定的行动或战略组合下参与人得到的确定的效用水平，或者是指参与人得到的期望效用水平。第i个参与人的支付记作：ui。u=(u1, ui, un)是n个参与人的支付组合。2021-12-2626大猪/小猪小猪按等大猪按3 124等7 -10 02.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （2）支付函数：在博弈论中，参与人的支付不仅取决于自己的行动或战略选择，而且取决于其他参与人行动或战略选择，它们的行动或战略共同构成一个行动或战略组合，这个组合决定参与人的效用水平。行动或战略组合与参与人的

16、效用水平之间的关系称为支付函数。第i个参与人的效用函数记作：ui=ui(s)。2021-12-2627大猪/小猪小猪按等大猪按3 124等7 -10 0=2=4uu大猪小猪按，等按，等2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 6结果 结果是博弈分析者感兴趣的所有东西，如均衡战略组合、均衡行动组合、均衡支付组合等。 例：在智猪博弈中，均衡的行动组合为（按，等），均衡支付组合为（2,4），这些都是博弈的结果。2021-12-2628大猪/小猪小猪按等大猪按3 124等7 -10 02.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 7.均衡 均衡：是所有参与人的最优战略或行动组合。 博弈的均衡缺乏唯一性。 在动态博

17、弈中，均衡和均衡结果是有区别的：在房产开发博弈中，如果（开发，不开发，开发）是一个均衡，则（开发，不开发）是均衡结果。2021-12-2629*1ii,.,.,iiiiiiiiiiiinssss ss sssssss一般情况下，在博弈中，代表参与人 以外的其他参与人的战略或行动组合，对于参与人 的某一战略或行动 ，对于他的其它战略或行动 ，如果存在uu，则称为该博弈的一个均衡。2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 8.博弈进行的条件 （1）利益是交易的前提 （2）理性是参与人的共同知识2021-12-26302.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 9.博弈的表达式 （1）矩阵（战略）型表达式20

18、21-12-2631我方/敌方敌方ABCD我方a-，+-，+，-+，-b+，-，+-，+，-c+，-+，-，+-，+2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 A.矩阵型表达式：是将参与人的战略和支付用一张表格的形式表示出来，也叫作矩阵型、正则型。2021-12-26320 024等7 -1等3 1按小猪按大猪大猪/小猪列参与人行参与人矩阵型表达式2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 B.有限博弈：如果一个博弈满足：a.参与人有限，b.每个参与人的战略或行动有限，则称此博弈为有限博弈。 两人有限博弈可以采用矩阵型表达式直观地表达出来。2021-12-2633大猪/小猪小猪按等大猪按3 124等7 -

19、10 02.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （2）展开型表达式 例：抓钱博弈 有甲乙二人，在时刻一，两个人的托盘上都有1元钱，由甲来决策是否拿走这1元钱。如果甲拿走，则乙也拿走，游戏结束；如果不拿走，作为奖励，甲和乙的盘子里都会多出1元钱。在时刻2，将由乙来决策，决策的过程和结果与甲相同。如果到时刻4，甲乙都没有拿走钱，作为奖励，盘子的钱会增加到5元并奖励给两人，游戏结束。2021-12-2634甲乙乙甲不拿不拿不拿不拿拿拿拿拿（5，5）（4，4）（3，3）（2，2）（1，1）2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 概念：展开型是博弈规则的图形表达式，其主要的画图形式是由一个根和若干枝依次排列

20、组成，称为博弈树。2021-12-2635甲（2，1）乙（1，1）（0，1）（2，0）1，-11，-1-1，11，-1-1，1（1，0）（0，1）（0，0）（1，0）（0，0）博弈树的根博弈树的枝：棱博弈树的决策节博弈树的末端节博弈树2.博弈论的基本概念博弈论的基本概念 （3）博弈数学表达式 在古诺模型中，产量Q是战略空间，利润是支付，则战略式为：2021-12-2636111,2.1,2.,., ,.,1,2.,.,;,.,iiiinnninSinusssnnGSS uu 如果：（1）参与人的集合：，；（2）参与人的战略空间： ， ；（3）参与人的支付函数：， ；一个 人博弈可以记作：。12

21、11221200GQQQQQQ，；，3.博弈论的基本分类博弈论的基本分类 1.按照行动的顺序分类 （1）静态博弈 所有参与人同时选择行动而且只选择一次。在特殊情况下，虽然参与人采取行并不同时，但由于在相差的时间段内不知道其他局中人的有没有采取行动，也称为静态博弈。2021-12-2637李四/张三张三认罪抵赖李四认罪5 5 0 15抵赖0 15 1 13.博弈论的基本分类博弈论的基本分类 （2）动态博弈 先后或序贯行动的博弈称为动态博弈；也就是说，在一定的时期内，不同的参与人都知道其他参与人是否在自己采取行动之前采取了行动。2021-12-2638甲乙乙甲不拿不拿不拿不拿拿拿拿拿（5，5）（4

22、，4）（3，3）（2，2）（1，1）3.博弈论的基本分类博弈论的基本分类 2.按照对参与人特征的了解情况分类 完全信息：每个参与人对所有其他参与人的特征（包括战略空间、支付函数等）有完全的了解。 完全信息博弈：在博弈中每个局中人都知道其他局中人的战略空间、支付函数等情况，称为完全信息博弈。否则，称为不完全信息博弈。2021-12-26393.博弈论的基本分类博弈论的基本分类 3.按照参与人采取行动前对信息了解的情况分类 （1）完美信息博弈 在（动态）博弈进行中的每一时刻，参与人在面临决策时对于博弈进行此刻的所有参与人曾经采取的决策都完全清楚了解，也就是说，每一个信息集中只包含一个策略，这称为完

23、美信息博弈。 （2）不完美信息博弈 对博弈进程中的其他局中人采取的行动不完全了解就称为不完美信息博弈。2021-12-26403.博弈论的基本分类博弈论的基本分类 4.按照博弈支付和的特征分类 （1）零和博弈和非零和博弈 例：抛硬币博弈 两个参与人抛硬币比赛，两个人各抛一次，如果两次的结果都相同，参与人1盈利为1，参与人2盈利为-1；如果两次的结果相反，参与人1盈利为-1，参与人2盈利为1。 概念：如果一个博弈中所有局中人的盈利总和总是为零，就称为零和博弈。如果博弈中所有局中人的盈利总和不总是为零，就称为非零和博弈。2021-12-26411/22正反1正1 -1-1 1反-1 11 -13.

24、博弈论的基本分类博弈论的基本分类 （2）常和博弈和非常和博弈 例：壁球比赛 概念：如果一个博弈中所有局中人的盈利之和总保持为一个常数，就称为零和博弈。如果一个博弈中所有局中人的盈利不是总保持为一个常数，就称为非常和博弈或变和博弈。2021-12-26421/22前进后退1前面20 8070 30后面90 1030 704.纳什均衡纳什均衡 1.占优战略均衡 （1）严格占优战略 例：在囚徒困境中，无论张三采取什么行动，李四的“坦白”获得的支付总比“抵赖”获得的支付大，所以，“坦白”是李四的严格占优战略。2021-12-2643李四/张三张三坦白抵赖李四坦白-3 -3 0 -5抵赖-5 0-1 -

25、1*i*ii,iiiiiiiiiissu s su s ssss如果参与人 的战略或行动 获得的支付都严格大于其它战略或行动 获得的支付，即：，则称 为参与人 的严格占优战略。4.纳什均衡纳什均衡 （2）严格占优战略均衡 例：在囚徒困境中，李四的严格占优战略是 “坦白”，张三的严格占优战略也是 “坦白” ，所以，李四和张三都会根据理性作出判断，选择严格优势战略“坦白”作为自己的战略。因此，最终均衡就是（坦白，坦白），这种由严格占优战略得到的均衡就称为严格占优战略均衡。2021-12-2644李四/张三张三坦白抵赖李四坦白-3 -3 0 -5抵赖-5 0-1 -1*1*1,.,.,.,.,ini

26、iiiiiiinssssssu s su s sssssG如果战略组合是由每个参与人的严格占优战略 组成，则称 为该博弈的严格占优战略均衡。如果不等式成立，则称为 的严格占优战略均衡。4.纳什均衡纳什均衡 （3）（弱）占优战略 有很多博弈并没有严格占优战略，而是具有弱占优战略。在下面的牌花博弈中，李四和张三都没有严格优势战略，李四的“”与“”相比，存在弱优势，即：2021-12-2645李四/张三张三李四10 55 010 00 11050uuuu 李四李四李四李四，*,iiiiiiiiiiiiiiiiiiissus sus sus sus sssss如果参与人 战略 与其它的战略 相比，存在

27、：且，则称 是 的（弱）占优策略，是 的（弱）劣策略。4.纳什均衡纳什均衡 （4）（弱）占优战略均衡 在下面的博弈中，李四的“”是弱占优战略，所以李四选择“”；相对于李四的“”，张三的“”是占优战略，张三会选择“”。最终的均衡是（ ，）。2021-12-2646李四/张三张三李四10 55 010 00 1*111*1,.,.,n,.,;,.,i,.,.,innniiiiiiinssssGSS uuu s su s sssssG设为 人博弈的一个策略组合，如果，对于参与人 ，存在，则称为 的占优战略均衡。4.纳什均衡纳什均衡 （5）重复剔除占优均衡 例：假设有两个寡头公司垄断某种产品的市场。每

28、个公司都可采取三个价格中的任意一个：高、中、低，如果哪个公司采取较低的价格就可以占有整个市场，如果价格相同就会平分市场。给出博弈的矩阵表达式：2021-12-2647公司1/公司2公司2高中低公司1高6， 60， 100， 8中10， 05， 50， 8低8， 08， 04， 4在有的博弈中，参与人的战略较多，需要采用重复提出劣策略的办法来找到均衡，这种方法称为重复剔除法。4.纳什均衡纳什均衡 （a）在对矩阵表达式观察后，会发现无论对于公司1还是公司2，高价战略都是劣战略，因此首先剔除“高”战略。2021-12-2648公司1/公司2公司2高中低公司1高6， 60， 100， 8中10， 05

29、， 50， 8低8， 08， 04， 44.纳什均衡纳什均衡 （b）在第一轮的剔除后，后发现无论对于公司1还是公司2，中价战略都是劣战略，因此再次剔除“中”战略。 （c）最后剩下了唯一的战略均衡对（低，低），就是重复剔除的占优战略解。解的结果或盈利是（4，4）。2021-12-2649公司1/公司2公司2高中低公司1高6， 60， 100， 8中10， 05， 50， 8低8， 08， 04， 44.纳什均衡纳什均衡2021-12-2650,.,.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiss s sSsus sus ssssiss s sSsus sus ssus sbusa严

30、格劣战略弱劣参与人的战略 、,对于任意的其他参与人的战略组合，如果满足：，则称 是严格劣于 的战略。参与人的战略 、,对于任意的其他参与人的战略组合，如果满足：，对于某些特殊的，战有：略*111*,;,.iinnnsssnGSS uscusss，则称 是弱劣于 的战略。对于 人博弈的战略组合，如果它是重复剔除劣战略后剩下的的唯一的战略组合，就称 为重复剔除占优均衡。如果重复剔除劣战略后剩下的战略组重复剔除占优均衡重复剔除占优可合是唯一的，则称该博弈是的。重复剔除占优均衡要求理性是解参与人的共同知识。4.纳什均衡纳什均衡 例：理性是共同知识2021-12-2651公司1/公司2公司2LMR公司1

31、U1， 01，20，1D0， 30，12，0公司1/公司2公司2LM公司1U1， 01，2D0， 30，1公司1/公司2公司2LM公司1U1，01，24.纳什均衡纳什均衡 例：不具备重复剔除占优可解性2021-12-2652公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11R30，120，100，13公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11公司1/公司2公司2C1C2公司1R12，121，10R20，120，10公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，10

32、0，11R30，120，100，13公司1/公司2公司2C1C3公司1R12，121，12R20，120，11R30，120，13公司1/公司2公司2C1C3公司1R12，121，12R30，120，134.纳什均衡纳什均衡 （5）重复剔除占优战略可解性 如果局中人的一组战略组合s是重复剔除劣战略后剩下的唯一的战略组合，这个战略组合称为重复剔除优势战略解。 如果重复剔除劣战略后剩下的战略组合是唯一的，称该博弈是重复剔除战略可解的。2021-12-26534.纳什均衡纳什均衡 例.综合例题 两个公司设置市场价格，p是价格，则需求曲线为：Q=D(P)，D(P-1)D(P)。如果公司1是定价较低的公

33、司，那么公司1将满足所有的市场需求；同样也适用于公司2。如果两个公司报价相同，则各得一半的市场份额。假如垄断价格为pm （ pm 2）报价以单位美元递增，没有生产成本。要求：（1）问：高于垄断价格的要价是否都是劣战略；pm -1要价战略是否优于垄断价格战略。（2）证明：该博弈具有占优可解性。2021-12-26544.纳什均衡纳什均衡 解： 首先写出博弈的矩阵表达式：2021-12-2655公司1/公司2公司2pm-1pmPm+1Pm+2公司1pm-1(pm-1)(pm-1)0(pm-1)0(pm-1)0(pm-1)pm(pm-1)0(pm)(pm)0(pm)0(pm)Pm+1(pm-1)0(

34、pm)0(pm+1)(pm+1)0(pm+1)Pm+2(pm-1)0(pm)0(pm+1)0(pm+2)(pm+2)4.纳什均衡纳什均衡 假定有一个高于垄断价格的两个要价为pm +n-1和pm +n，根据博弈的战略表达式可知，公司1和公司2的两个高于垄断价格的盈利向量分别为：2021-12-2656 110,0,0,.,111120,0,0,.,0,mmmmmmmmpnD pnpnD pnpnpnD pnpnnN 4.纳什均衡纳什均衡 是明确的，但是下式是否成立，有待于证明：2021-12-2657 11102mmD pnpn 1112mmmmD pnpnD pnpn 112111102211

35、12mmmmmmmmmmD pD pD pnD pnppnpnpD pnpnD pnpn 4.纳什均衡纳什均衡 由以上结果可知，高于垄断价格的战略并不是劣战略，只有第n+2个战略是第n+1个战略的劣战略。低于垄断价格的战略不是占优战略。 证明： 在整个博弈矩阵表达式中，假如有n+2个战略，那么，在对比中，会发现第n+2个战略是第n+1个战略的劣战略，即，要价为pm +n 的战略是要价为pm +n-1战略的劣战略。根据剔除劣战略的原则，经过逐次剔除，最后剩下价格为pm -1的战略，这对于公司1和公司2来说是唯一的。所以，该博弈存在占优可解性。2021-12-26584.纳什均衡纳什均衡 2.相对

36、占优战略均衡 （1）相对占优战略 在爱情博弈中，既没有严格优势战略也没有（弱）占优战略，只有相对占优战略。例如，当张媛选择“英语”时，李明的占优战略为“英语” ，即：对于张媛的“英语”李明的相对占优战略为“英语”。2021-12-2659李明/张媛张媛英语法语李明英语3 21 1法语0 02 34.纳什均衡纳什均衡2021-12-2660*i,3=02=1iiiiiiiiiiiu s su s ssssisisuuuu李明李明李明李明如果，对于参与人 ，存在，则称是参与人 相对于相对占优战略，也称为参与人 对于 的最优反应。例如在爱情博弈中：英语，英语法语，英语法语，法语英语，法语李明/张媛张

37、媛英语法语李明英语3 21 1法语0 02 34.纳什均衡纳什均衡 （2）相对占优战略均衡 在爱情博弈中，对于张媛的“英语”李明的相对占优战略为“英语”，对于张媛的“法语”李明的相对占优战略为“法语” ；对于李明的“英语”张媛的相对占优战略为“英语”，对于李明的“法语” 张媛的相对占优战略为“法语” 。该博弈的均衡就为（英语，英语），（法语，法语），这称为相对占优战略均衡。2021-12-2661李明/张媛张媛英语法语李明英语3 21 1法语0 02 34.纳什均衡纳什均衡 3.纳什均衡 （1）最优反应 例：2021-12-2662公司1/公司2公司2LCR公司1U0， 44， 05， 3M4

38、， 00， 45， 3D3， 53， 56， 6*,iiiiiiiiiiiiiissus sus sssb ss如果参与人的战略 与其他参与人的战略组合满足：，则称 是关于的最优反应。称为最优反应函数，简称反应函数。4.纳什均衡纳什均衡2021-12-2663 1121212122LM,bLMbLMbULbCUbMCbRDbDRbRDD RbDR公司 选择“ ”时，公司1的最优反应是选择“”，记作：。按照这样的方法，会有： 双方都满意的均衡为。4.纳什均衡纳什均衡 （2）纳什均衡 （3）纳什均衡举例 例1.古诺寡头竞争模型 1.寡头竞争解2021-12-2664111,.,;,.,.,.,1,

39、.,nniniiiiiiiiiGSS uussssb ssus sus sins在博弈中，如果战略组合中的任一战略，都符合，即：，则称 是该博弈的纳什均衡。1212,1QpCcQpQabpabQQQQpab QQ 需求函数：，成本函数：，价格函数是需求函数的逆函数：，令：，则上式简化为：。当市场上存在两家厂商时：，因此，价格函数就变化为：。4.纳什均衡纳什均衡2021-12-266521211112111122122121max0122 ;0;Qpab QQpQcQab QQc QQacbQbQacbQQacbaQ 对于厂商 来说，厂商 的产量是外生变量，记作：，此时的价格为：。厂商 的利润函

40、数为：，由此，可得到厂商 的反应函数： 同理，可得到厂商 的反应函数：1112 ;0;cbQbQacbQacb 4.纳什均衡纳什均衡2021-12-2666221211121212212112212,3223212339QQb QQQQbQQQ QacacbQQQQbbacacbQQQbbacpacb 也就是说：当时，；当时，；这符合纳什均衡的定义，纳什均衡应为。根据：解得：价格为：；支付为：4.纳什均衡纳什均衡 2.寡头“合作”解（合作的意思是说，两个公司都认为，利润的大小决定于两个公司的总产量，并以此为条件，来决定各自的产量。也就说，并不存在真正意义上的合作。）：2021-12-26671

41、21212112212211211221212212max:2220:22022428ab QQcQQQacbQQacbQbQQacbQbQQacbQbQQQQacbQQacbbQQpabQacacb ，的条件为即根据：价格：；盈利：4.纳什均衡纳什均衡 例2.斯坦克伯格模型：该模型是在古诺模型的基础上研究的。假定公司1在公司2之前决定它的产量，公司2的决策是在公司1决策之后作出的，也就说，公司2是在公司1选定产量后根据自己的反应函数选择自己的产量。2021-12-2668121121111111111211212212max020222424ab QRQc QRQacbQbacbQ QQac

42、bQQacbQacbQacbaQacb 1公司 的利润函数为：，将公司 的反应函数代入公司 的利润函数，得：，即：，得：。根据公司 的反应函数，可得到公司 的最优产量：。因此，博弈的结果为：产量：；利润：2221281634cbacbQQQacb；总产量：。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用 1.完全竞争模型2021-12-26691111111N-111112Niiiiiiiipa bQQQQQpab QNQab QNQc QR Qab NQcbR QQQac假定有 家厂商，价格函数为，总产量为，如果公司 猜测每一家其他公司的产量为 ，那么，价格函数为：，公司的利润函数为：，求出利润最大化的条

43、件为,也就是反应函数：，按照纳什均衡的定义，有：，据此可解，每个公司的产量 2211111000iiiNbQN acNbpaNcNNacacNbNpcQQb ，市场上的总产量，市场上的价格为，每个公司的利润为，当时，则：，,，对完全竞争市场适用。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用 2.豪泰林（Hotelling）价格竞争模型 豪泰林价格模型假定产品没有差别，但产品在空间位置上有差别，有了不同的运输成本，造成价格的差别，由此而引起价格竞争。2021-12-2670111122,11224400iiiiiiQ Qab QNQcQNQQacNbpacacbacNbNQ 如果各个公司以它们的联合利润最大

44、化为条件来决定各自的产量：，据此得出各个公司的最优产量为：，市场价格为：，总利润为：，每家公司的利润为：。当时，但总产量和总利润保持原状。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-26711201101121-1,1,2iiiicxxxxtsspiDp pi（1）豪泰林价格竞争简单模型，是消费者分布的空间， 是消费者分布的密度。有两个商店，销售同样的产品，销售成本均为 ，分布在和上。消费者距离店 的距离为 ，距离点 的距离为。消费者的采购费用与采购距离成正比，单位成本为 。消费者从消费中得到的消费者剩余为 ，假定 足够大，所有消费者都购买 单位产品。 为店的价格，为需求函数，。x1 20

45、11-xx 12111122221212112R cccptxcccptxRccx根据纳什均衡的定义店 和店 都争取尽量多的消费者到本店购买商品，他们对价格设置必须满足以下条件：也就是说，对于处于地点 的消费者，既可以到店 也可以到店 去购买商品，而这对消费者的成本是一样的。只有这样，两个商店才能在竞争中达到均衡。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-26721121112212221211221212121111212122212212,21,1,2,212,2,2Dp pxcptxcc xppttcptxDp pxDp pppttDp pppttpc Dp ppcppttpc D

46、p ppcppt 由需求函数得：，由于：，代入需求函数：。店 和店 的利润函数为：12121112221212121212200221 2tpptcRpppppptcRppppcttDD 根据纳什均衡的定义两个店的定价策略还应该满足利润最大化：得出，均衡价格：，均衡利润：均衡销售量：5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-26731211222111221212120011121212,122,1122ccaxbxbacpt xacptxbxpptabDp pxaabpptDp pxbabppt （2）豪泰林价格竞争一般模型， ， ，这说明，店 在店 的右边，而且消费者在两店之间。消费

47、者购买商品的成本为：。需求函数：x12ab1-x-bx-a015.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-26741111222212112122121122,122201222031 2561 2563pc Dp ppc Dp ppaabppctpbabppctpctba tDabDbapctab t 利润为：利润最大化的条件：根据利润最大化条件，得出两个公司的价格为： ，销售量：21221 2235181 2235180ababtbabatab利润为：如果，结果与前面所讲的模型相同。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用 3.公地问题 在16世纪的英格兰，每个村庄中间有一块公共草地，既可以用

48、于公共集会，也可以被每个人用来放牧牛羊。每个村民也有属于自己的草地，但那些草地外人无权进入，而对于公共草地大家都想尽量多地占有。这就产生了公地问题。 其实类似公地问题的事件很多。如国际公共海域、公共环境、公共自然资源、公共产品等。2021-12-26755.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2676121212121210,02121y yccc cccyyccyccc（1）公地问题的简单模型假定公共资源，有两个参与人，分别从公共资源中消费 和；0。进一步假设，经过两期消费后，公共资源被消费完。那么，第二期可供消费的公共资源为，而且每个参与人平均分配第二期的公共资源，即每个人消费。参

49、与人 在作出决策时，是以参与人 的消费量为外生变量的，因此，对参与人 来说，如果其消费量为 ，则第12122lnccyccc一期的消费总量为，第二期的消费总量为。对于参与人 也是如此。假定消费者的效用函数为。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2677 11211111221222221221121212121212110lnln2110lnln222lnln2 lnln3363ycccccyccycccccyccycycR ccRccyyyycc a.个人消费最大化模式参与人 和 的效用函数为：效用最大化的条件为：，纳什均衡解为：，1262133yyyyy每一期的消费量，5.纳什

50、均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2678 121221211112121222121212b.lnln2ln2120312032ln4ln44yccccycR ccccyccycRccccyccyycc社会效益最大化模式假定以整个村庄的人对公地消费的总体效用达到最大化为目标，即公地问题的社会最优问题。最优条件为：纳什均衡解为：，12422yyyyy，两期的消费量为：，5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-267912121.2 ln3ln62ln364ln4ln32ln24ln44ln8ln28ln24ln32ln24ln36ln2ln81 ln642ln 9 80ln3ln

51、62lnln182ln42lnln16psspspppssspcyyyyyyyyyyyy 个人最优解于社会最优解的比较1221122ln18ln162ln 9 80spspsp5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-268011lnln1lnlnln 1ln111iiiiiiiiiiiiiiiiNnYyYccycNncYccyNnR ccccYccccc（2）公地问题的扩展模型假定，人口的基数为 ，人口的增长率为 ；资源为可再生性资源，资源存量基数为 ，资源的增长率为 。其他情况和原来的模型一样。a.个人消费最大化模式根据纳什均衡的定义：1NYN5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021

52、-12-26811111111111b.1ln1 ln1111111111111NiNiiiNiiiiiNiiiiNNNNNNNiYcycN nN nN nYcccR cYcN nYcN nR cccN nYcYcRcN nN nccYc社会效益最优模式12iNYcccN n5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2682c.2lnln2ln1ln1ln12 ln1 ln2 ln11 ln11 ln12ln2ln2ln2ln12 ln2 ln2 ln2ln12ln1ln1ln2pipsissipiYNNnyN nYN nNN nNN nnN nyYNnyN nYN nNN nnNyNn

53、N个人消费最大化模式与社会效益最大化模式比较 22212ln2lnln1121121snnnnpNnN nnNnN ny5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2683 22222213323221410112219110141110, 412711 41271211, 4154111ln020101nnnnsiNNnNnN nNNnnNNNnyNNnNN yN nyyNNNnN nnyN，3，21211ln021nnsnpipnNnN ny5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2684 12比较的结果说明：从社会整体上看，以社会利益最大化为目的的消费管理方式优于以个人利益最

54、大化的消费管理方式；从个人收益来看，以社会利益最大化为目的的消费方式优于以个人利益最大化的消费方式。因此，公共产品需要公共组织进行管理，需要从社会整体的角度来对公共产品消费或使用进行统筹安排。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用 4.基础设施建设：中央政府和地方政府之间的博弈2021-12-2685 0,1;01,01;CCLCLLCLCLCCCLLLCEBLIEEIIEEIIBEIBEI ：表示中央政府 ：表示基础设施建设表示预算资金：表示地方政府 ：表示加工业投资水平 投资收益函数为：中央和地方的约束条件：5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2686 111,0CCCLLLCCLC

55、LCLLCLCLCLCLCLCLCCCCLLIBEIBEEEBBEEEEBBEEBBBEEEEBEEBEddEEBEdE dEEBEdE dEddEEBEdE把、代入收益函数，得：令：，代入以上收益函数，得：收益最大化的条件为：101,1LLCLdEEBEdE dEdE dEdE dE5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-26871111111000,0,000,CCLLCLCLCLCLLLCCLCEBEBEEEBEBEEEEBEBEBEBBBEEEREBBEREBBE把代入上式，得反应函数为：5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-26881111CLCLCLCLBBBBB

56、BBB 在上述表达式中，表示中央政府对基础建设的理想投资量；表示地方政府对基础建设的理想投资量。，可以明白地看出，中央政府的理想投资量大于地方政府理想投资量。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2689 10CCLCLCCLCLLLCLCLBBBBBEBBIEIBBBEBBI现在分三种情况讨论：如果，中央政府就会全力负责基础设施建设，对于地方政府，它的理想投资量小于中央政府的量，所以地方政就不会投资，而是只负责地方加工业的投资，那么：，在这种情况下，基础建设投资满足了中央政府的偏好，加工业投资部分满足了中央政府的偏好，部分满足了地方政府的偏好。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用202

57、1-12-2690 200CLCCLCLCCCLLLBBBBBBBEBIEIB如果，中央政府就会全力负责基础设施建设，而地方政府则认为基础投资达到就可以了，所以如果中央政府全力投资，地方政府就不会投资，那么：， 这种投资格局,在基础建设投资方面满足了中央政府的偏好，在加工业投资方面满足了地方政府的偏好。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2691 300CCLCCCCLLCLLBBBEBIBBBBEI如果，则中央政府会倾力进行基础建设投资，对于地方政府来说，此时中央政府的投资量小于地方政府的理想投资量，地方政府也就会参与基础设施的投资：这样的投资格局，在基础建设方面部分满足了中央政

58、府的需要，部分满足了地方政府的偏好；在加工业投资方面，部分满足了地方政府的需要。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用 5.公共产品的私人供给2021-12-26921,00niiiiiiiiiinGnigGgGGxiiuuux GxGuGGux有一社团共 个居民自愿为防洪提供沙袋。沙袋总供给量 为 人所提供沙袋之和，若第 个居民提供的沙袋量为 ，。 量越大大堤越坚固，居民受益源于大堤的坚固，即居民从大堤坚固获得的效用与沙袋总量 有关。如果 是第 个参与人的私人物品消费量，则居民的效用函数为：，私人物品和公共物品之间的边际替代率递减，即随着 的增加而减,iiiixgiixigiiiiixigiix

59、gux GppxgMiMp xp gLux GMp xp g少。居民 面临的选择是（），并据此优化自己的目标函数：。若 、为 、 的价格，为居民的预算收入，即：。据以上条件构建拉格朗日函数：。5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-2693 11,001iiiixigiiiixggiiiiniiiiixgiiiixigLux GMp xp guuuGpppxgGgGggguuGGgGgGuppxuGuxpupG按照私人效用最大化模式，可以以下步骤得出最优解：求最优化的一阶条件：；，即：为消费者均衡条件。*1,iiinngggggg根据以上 个均衡条件，可解出：，即：。5.纳什均衡的应用

60、纳什均衡的应用2021-12-2694 111112011G0nniiiiiinnixigiinxigiixiWuMMpxp GLWMpxp GxWpxWG按照社会福利最大化模式，可以以下步骤得出最优解：假设社会福利函数为私人效用之和：； ，总预算约束为：据此构建拉格朗日函数：对于整个社会来说，变量是每个居民私人消费品和全部沙袋 ，据此求目标函数最优化的一阶条件：0gp5.纳什均衡的应用纳什均衡的应用2021-12-269511111111,niiiiiiiiniiiiniiiiiiiiiininininniiiWuuux GuuuuWWWWWWxuxGuGuGuGWuuuWWxuxxuuuu