专题02曲线的切线问题探究

1、第一章函数与导数专题 02 曲线的切线问题探究【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考査，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线 方程等 问题，题目的难度有难有易 . 利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、 求参数值 ( 范 用) 等?与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1. 斜率求切点.斜率k,求切点即解方程f(x) = k.2. 求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个"说法：求曲线在点 P处 的切线方程和求曲线过点 P的切线方程，在点P处的切线，一左是以点 P为切点，过点P的切线，不管点P在不

2、在曲 线上，点 P 不一定是切点 .(1) 切点求切线方程：求出函数y = /(x)在点x = xo处的导数，即曲线y = /(j)在点(无,/(兀)处切线的斜率：由点斜式求得切线方程为yx) = f (x )(x xo).(2) 求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P' (x：, f(xi) ：第二步，写岀过 P( X'， f(xj) 的切线方程为 y-f(xJ=F ( XJ(XF)； 第三步，将点P的坐标(xo, y。)代入切线方程，求出也： 第四步，将艾的值代入方程y-f(x0=f，(xi)(x-xi)可得过点P(x。，y o )的切线方程.3. 求

3、切线倾斜角的取值范囤 . 先求导数的范闱，即确左切线斜率的范須，然后利用正切函数的单调性解决 .4. 根据导数的几何意义求参数的值 ( 范隔)时，一般是利用切点 Pg 为)既在曲线上又在切线上构造方程 组求解 .5. 两条曲线有公切线，求参数值 (范围).6. 导数几何意义相关的综合问题 .【压轴典例】例 1. (2021 ?江苏髙考真题 )在平而直角坐标系 xOy 中，点月在曲线产 lnx 上，且该曲线在点月处的切线经过点 (-e, -1) (e 为自然对数的底数 ) ，那么点月的坐标是?例 2. (2021 ?全国高考真题 ( 理 )函数 /(x) = lnx- 一?x-1(1) 讨论的单

4、调性，并证明 / &)有且仅有两个零点：(2) 设及是fGr)的一个零点，证明曲线尸In x在点川也In厮)处的切线也是曲线y = er的切线.例3. (2021 ?湖 北高考模拟 (理) 函数 f(x) = x 2-cix + , g(x) = lnx + d(deR).(1) 讨论函数 h(x) = f(x) + g(x) 的单调性 ;(2)假设存在与函数/(X), g(x)的图象都相切的直线，求实数。的取值范围.例 4. (2021 ?山东髙考模拟 (文) 函数/(%) = ? ?x2(I) 证明： f(x)<e 2x-e ；(II) 假设直线 y = cix + b(a

5、>0)为函数八切的切线 ，求- 的最小值 .a例5. (2021 ?北京高考真题 (文) 函数 f(x) = 2x 5-3x.(1) 求/(x)在区间-2,1:上的最大值；(2) 假设过点P(1J)存在3条直线与曲线y = f(x)相切，求t的取值范用；g(x) = log/, 其中 a>l.(3) 问过点A(-1,2),3(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y = /(x)相切？(只需写出结论)例 6. (2021 ?天津高考真题 ( 理) 函数( I) 求函数 h(x) = f(x)-xna 的单调区间；(ID 假设曲线 y = f(x)在点(Xp/(a-)处的切

6、线与曲线y = g(x)在点(X2f(X2)处的切线平行，证明21nlm/丄(III) 证明当°衣7时，存在直线人使/是曲线y = /(x)的切线，也是曲线y = g(x)的切线.例7. (2021 -广东高考真题(理)(14分)(2021-广东)设a>l,函数f (x)二(l+x :) ex - a.(1) 求f (x)的单调区间；(2) 证明f (x)在(-8, +8)上仅有一个零点；(3) 假设曲线y二f(X)在点P处的切线与x轴平行，且在点M (m, n)处的切线与直线 OP平行，(0是坐标 原点)， 证明：mW治2- 1.例8. (2021 ?四川棠湖中学高考模拟 (

7、文) 抛物线 C:x2=4y , M 为直线 l： 上任意一点，过点M 作抛物线 C 的两条切线 MA.MB, 切点分别为 A,B.(1) 当 M 的坐标为 (0,-1)时，求过 M,A,B 三点的圆的方程：(2) 证明：以为直径的圆恒过点 M.压轴训练】1.2021 -湖南髙考模拟理过抛物线 ？=2/;y p>0上两点43分別作抛物线的切线，假设两切线垂直且交于点尸 1，一 2,那么直线力 3的方程为 A. y = x + 22B？ y = x+ 34C？2D？ y = x + 242. 2021 ？山东高考模拟文设函数乂Kx =-ex-x 的图象上任意一点处的切线为 "，假

8、设函数 g x = s + cos的图象上总存在一点，使得在该点处的切线?2满足"丄贝的取值范用是3. 2021 ?山东高考模拟理函数 f x = x2 +2ax , g x = 4a2lnx+b,设两曲线y二f xy = gx有公共点P且在P点处的切线相同，当a G 0,4-09时，实数b的最大值是 Inxy =4. 2021 ?北京高考真题理设 1为曲线C: *在点1,0处的切线. I 求 1 的方程：II 证明：除切点1，0之外，曲线C在直线1的下方5. 2021 ?天津高考真题文函数 /X = 4X-X 4:X?R;I求/X的单调区间；II 设曲线y = 9A与X轴正半轴的交

9、点为P,曲线在点p处的切线方程为y = sA t求证：对于任意的正实 数弋都有 "0" 力；1III 假设方程为实数有两个正实数根呂?葛且 RW， 求证:乞迈彳 +车.f x =x-l +6. 2021 ?福建高考真题文函数e"awR,e 为自然对数的底数I假设曲线y = f3在点V x处的切线平行于尤轴，求 a的值：H求函数门兀的极值；III当a = l时，假设直线ky = kx-l与曲线y二f x没有公共点，求灿勺最大值.7. 2021 ?北京高考真题文函数f3= £.vsinx+cosx.2I假设曲线y=f x在点a, f a处与直线相切，求a与b

10、的值：假设曲线y=f<x与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范囤.8.(2021 ?北京高考模拟(文)函数 /W=(I)当a = 3时，求函数/ (力在区间0,2上的最小值：(II)当a>3时，求证：过点P(1J)恰有2条直线与曲线y = /(%)相切.9. (2021 ?四川高考模拟(理)函数 f(x) = x 2-av+l, g(x) = Inx + a(a 6 R).rl .1r-tl-<t<e(1) 假设a = l，求函数人(力二八?-9(兀)在区间e (?其中e, e是自然对数的底数)上的最小值;(2) 假设存在与函数/'(x), 9(力的图象都相切

11、的直线，求实数 a的取值范围.10. (2021 ?湖南高考模拟(理)设函数 /(x) = ex(ax+2),g(x)=x 2+4x+2.讨论y=f(x)的极值;(ID假设曲线y = /W和曲线y = g(x)在点P(0,2)处有相同的切线，且当 x>-2时，'知函数f(“)=(*n v-n) (a&R)11? (2021 ?天津高考模拟(理)求加的取值范国？假设/(X)在(0,+上单调递减，求d的取值范围;假设/(x)在兀=1处取得极值，判断当xw(0,2时，存在几条切线与直线 y = -2x平行，请说明理由12.假设/'(X)有两个极值点a,a-2 ,求证：召

12、+七>扎(2021 ?辽宁高考模拟(理) awR函数 /(x) = - + ? lnx,xe (0,6). X讨论于(x)的单调性;(II) 假设X-2是_/(x)的极值点，且曲线y = f(x)在两点P(xJ'(x i)A(x 2,f(x 2) X, < A,处的切线相 互平行，这两 条切线在 >'轴上的截距分别为求勺-$的取值范用13.(2021 ?安徽髙考模拟(文)函数/ (x) Tnx + x,直线/: y = 2kx-l设Pg)是y =图象上一点，。为原点，直线OP的斜率k = g(x),假设g(x)在xe(mjn+l)(m>0)上存在极值，求加的取值范围(II) 是否存在实数k,使得直线/是曲线y = fM的切线？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由(III) 试确定曲线 y = /?与直线 /的交点个数，并说明理由 .14. (2021 ?河北高考模拟 (理) 函数 f(x) = ex, g(x) = alnx(a>0).当x>0时，g(x)vx,求实数a的取值范围；当a = I时，曲线y =f(x)和曲线y = g(x)是否存在公共切线？并说明理由.15. (2021 -广西高考模拟(理)函数f(x) = nx-一机丫在区间(0,1)上为增