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1、华杯赛数论专题I： 6进位制我们平常熟悉的十进制：（2012） io=2X 103+0X 10：J-1X 102其他进制转化为十进制：（abcde） a=aXnic-1 +bXn + cXn + dXn+e例题:例LA, B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A+B的最 小可能值是多少？【答案】24【解答】由已知：4A+7=7B+4.即4A=7B3,可见B除以4余1。又B进制中有7出现，说明B7,因此B的最小值是9,相应的计算出A=15.所以A+B最小值是9+15=24。例2.一个十进制的两位数A,它的十位数字为5,另一个R进制数为B,它的各位数字 与A分别相等，而且B在

2、十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？【答案】50、150,或者55, 165【解答】设A在十进制中表示是（5加），由已知：5XR+m=3X （50+m）,即 5XR=150+2Xm,可见m是5的倍数，因此m=0或5。相应的计算出R=30或32。所以A和B分别是50、150,或者55, 165。例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺 序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？【答案】212【解答】设自然数在六进制中表示是3加），则在九进制中表示是（沙以）。则36a+6b+c = 81c + 9b+a, 35a=3b + 80c,通

3、过对等式的观察，可以发现b是5的 倍数。又由于b是在六进制中的数，所以，b是。或5。（1）若b=0,则上式变为35a=80c,即7a=16c, a需要是16的倍数，a又小于6。所以，a = 0.但是a在首位，a又不能等于0。所以，这样的数字不存在。（2）若 b=5,则上式变为 7a=3+16c, a=5, c=2。所以，这个六进制数是（552） 6化为十进制是5义6:+5乂6 + 2=212。例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次塞（包括零次希）的和，我们就称这样 的数为“双子数”，比如9=2?+2, 36=25+22,它们都是双子数。现有一个双子数是 lOWo（1）把1040写成2的两个不同次累（包括零次塞）的和。这样的写法唯一吗？（2）比1040小的双子数共有多少个？【答案】（1）2出+ 24,写法是唯一的。（2） 49【解答】（1） 1040=1024 + 16=214-24 ,写法是唯一的。（2）若某个双子数可以表示成沙十2的样子（km）,而且小于1040，则kVIO或者k=10, m4o当kVIO：则m也小于10,也就是k、m在0到9之间取值，且不相同，利用排列组合，有种。当 k=10： m100 ,说明每一个两位数化成五进制数后最多只有3位.那么进位只可能在个位和十位.由此

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