圆锥曲线常用解法、常规题型与性质

1、圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、 K参数、角参数)7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦问题(2)焦点三角形问题(3)直线与圆锥曲线位置关系问题(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题(5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。2 .曲线的形状未知-求轨迹方程(6)存在两点关于直线对称问题(7)两线段垂直问题常用的八种方法1 、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r1+2=2a。第二定义中，red1 r 2=ed2。(2

2、)双曲线有两种定义。第一定义中，r1 r22a ,当口2时，注意2的最小值为c-a :第二定义中，1=ed1,2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准 线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而

3、并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(Xi,yi),B(x 2,y 2),弦AB中点为M(xo,y o),将点A、 B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：22(D X2 、 1(a b 0)与直线相交于 A B,设弦AB中点为M(X0,y0),则有 a2 b2组-y0-k 0。(其中K是直线AB的斜率) a b22(2)、4 1(a 0,b 0)与直线l相交于A B,设弦AB中点为M(X0,y。)则有 a b

4、空粤k 0(其中K是直线AB的斜率)a2 b2(3)y2=2px (p>0)与直线l相交于 A B设弦AB中点为M(x0,y。)，则有2y0k=2p,即yok=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为xA，xB,判别式为,则|AB| v1 k2 |xA xB| Vl k2 ,若直接用结论，能减少配方、开 |a|方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分

5、利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。_y_3”，令工_3=k,则 kx 2 x 2如“2x+y”，令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“ x2+y2”，令一y2 d ,则d表示点P (x, y)到原点的距离；又如“表示点P (x、y)与点A (-2, 3)这两点连线的斜率6、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如 x轴上一动点P,常设P (t, 0);直线x-2y+1=0上一动点P。 除设P (xi,yi

6、)外，也可直接设 P (2yi-1,y 1)(2)斜率为参数当直线过某一定点 P(x0,y0)时，常设此直线为 y-y0=k(x-x 0),即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求(或求证)目标Q',方法1是将条件Pi代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1, 方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易

7、的代入法。八、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 J2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF,则PH PF ,因而易发现，当A P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作 QFRL l交于R,则当B Q R三点共线时，距离和最小。解：(1) (2, 22 )连PF,当A、P、F三点共线时， APPH AP PF最小，此时 AF的方程为51-y 4V2 0(x 1)即 y=2 收(x-

8、1),代入 y2=4x 得 P(2,2 22 ),(注：另一交点为3 11(-,M2),它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)21 ,(二1)4过Q作QR! l交于R,当®。R三点共线时，|BQ QF BQ |QR最小，此时 Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=1 , . Q(1,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细 体会。22yAx例2、F是椭圆 y 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆 43上一动点。(1) PA PF的最小值为(2) PA 2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来

9、考虑问题。解：(1) 4- J5设另一焦点为F ,则F (-1,0)连AF ,P FPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 芯当P是F A的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-、/5。(2)作出右准线 l ,作 PHL l 交于 H,因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2 , c=1 , e=,2 1 一PF| 1PH ,gP2PFPH PA 2 PF PA PH2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a- xA 4 1 3Ac例3、动圆M与圆C：(x+1) 2+y2=36内切，与圆G：(x-1) 2+y2=4外切，求圆心 M的 轨迹方程。分

10、析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M C共线，日D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC MD )。解：如图，MC MDAC MA MB DB 即 6 MA MB 2MA MB 8(式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)2匕1152.点M的轨迹为椭圆,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 轨迹方程为16点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出v(x 1)2 y2*x 1)2y24,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、4ABC中，B(-5,0),C

11、(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R (R为外接圆半径)可转化为边长的关系。解：sinC-sinB= - sinA 2RsinC-2RsinB= - - 2RsinA553AB AC - BC 5即 AB AC 6(*).点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点),-2a=6, 2c=10a=3, c=5 , b=422所求轨迹方程为匚 1(x>3)点评：要注意利用定义直接解题，这里由(916例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M求点M到x轴的最 短距离。分

12、析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(xi,xij, B(X2, Xj,又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(xi, xi2) , B(x2, x22) , AB中点 M(xo, yo)2 z 2(xi x2)(xi则 xi x2 2xo22xi x22 yoA2Mr由得(x i-x 2) 2i+(x i+x2)2=9即(x i+x2)2-4x ix2 i+(x i+x2)2=9由、得 2xix2=(2xo)2-2y o=4xo2-

13、2yo代入得(2x o) 2-(8x o2-4y o) i+(2x o) 2=9294yo 4x0 -丁丁，i 4xoy jBM BAAo1 M IB-I I I2924yo4xo2 (4xo i)4xo>2.9 i 5, yo 54当 4xo2+i=3 即 xo 时,2法二：如图，2 MM 2AA24x2 i52 5(yo)min -此时 M(-)42 4bb2| |af| |bf| |ab| 3MM 25，MM1,当AB经过焦点F时取得最小值。4 5.M到x轴的最短距离为54点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi, X2,从而形成y0关于X0的函数，这是一种“设而不求”的方

14、法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。、韦达定理法【典型例题】22例6、已知椭圆' 一 1(2 m 5)过其左焦点且斜率为 1的直线与椭圆及准线 m m 1从左到右依次交于A B、C、D设f(m)= | ABCD| , (1)求f(m), (2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何

15、运算，因 A B来源于“不同系统” ，A 在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁， 将这些线段“投 影”到x轴上，立即可得防f(m)(xbxa)拒(xdxc)闺J0(xbxa)(xdXc)|此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。22解：(1)椭圆 y 1 中，a2=m, b2=m-1, c2=1,左焦点 R(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2mm=0m 5)设 B(x1,y 1),C(x 2,y 2),则 x1+x2=- 2m (22

16、m 1f (m) I AB CD|- 2|(xb xa)(xdxc2 (xi x2)(xaxcx22 2mmi(2) f(m)一 2m2 2m2m 1，当m=5时,f (m)min当m=2时,f (m)max点评：此题因最终需求xb xc,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设 BC中点为M(x0,y0),通过将B C坐标代入作差,y。m-k 0 ,将 yo=xo+1, k=1 代入得1x°x010， x0m m 1m 一,可见xb2m 12m2m 1当然，解本题的关键在于对f(m) ABCD的认识，通过线段在 x轴的“投影”发现f (m)xbxc是解此题的要点。20三、点差法与圆

17、锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1 .以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆 土 匕 1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线164的方程。解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y

18、1)、B(x2,y2)M (2,1)为 AB 的中点X1 X2 4y1 y2 22.22.2又A、B两点在椭圆上，则X14y116, X24y2162222两式相减得(x1 x2 ) 4( y1y2 ) 0于是(x X2)(x1 X2)4(y1 y2)(y1 y2)0y y2% X241X1 X24( y1 y)4 221.1 ,_即kAB2,故所求直线的方程为y 12(x2),即x 2y 4 0。2例2、已知双曲线x2 -y- 1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于 A、B ,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一

19、道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点 M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2, y2)贝“ X1x222y12y1 y2 22.2y21 ， X2 12 2两式相减，得,、/、1y1y2 c(x1X2)(x1x2) 二(y1y2)(y1y2 )0kAB22x1 x2故直线 AB: y 1 2(x 1)y 1 2(x 1)由 2 y2 消去y ,得2x2 4x 3 0x 122一 一一(4) 4 2 38 0这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线1。评述：本

20、题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一 般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。22例3、已知椭圆y- 75 252.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹11的一条弦的斜率为3,它与直线x 的交点恰为这条弦的中点2M ,求点M的坐标。1解：设弦端点 P(x1，y1)、Q(x2,y2),弦 PQ 的中点 M(x0,y0),则 -2 y175x x2 2x01 , y y 2 y0222x11y2x2两式相减得25(y125' 7525y2)(y

21、1 y2) 75(x1x2)(x1x2) 0即 2y0(y1y2)3(xx2)0y1y23xX22 y0X232y0点M的坐标为2)22例4、已知椭圆 1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 75 25解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦 PQ 的中点 M(x, y),则x1 x2 2x,y1y22y2 y175222x1_y2_ 旦25' 7525两式相减得25(y1y2)(y1 y2) 75(x1x2)(x1x2) 0即 y(y1 y2) 3x(xi x2)0,即yi y2XiX23xyyi y2X1x23xy3,即 x y 0x由亡75y 0x2 J 得 P( 12

22、55.3F5. 35 3) Q(22点M在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为5,30(25.3、 x T)2例1已知椭圆y221 ,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程解 设弦的两个端点分别为 P x1, y1 , Q x2, y2 , PQ的中点为M x, y .则. y； 1,(D x2- y22 1,(2)22> o /曰 x； x2222% x2 y1 y212 得： 小 y 0, y1 y20.22x1 x2y1y2又 x x2 2x, y1 y2 2y, 2, x 4y 0.x x2Q弦中点轨迹在已知椭圆内,2x 1的相交弦所求弦中点的轨迹方程为 x 4y 0（在已知椭圆内）

23、直线l : ax y a 50 （ a是参数）与抛物线 f : y是AB ,则弦AB的中点轨迹方程是解设A x11ylB x2,y2 , AB 中点 M x, y ,则 x x2 2x.k. _k_AB MNQ l : a x 1 y 50, l过定点 N 1, 5 ,22又 y1X 1 , (1) y2x21, (2)12 得：y1 y22x112x21x1 x2 x1 x2 2 ,yy2x1x22.于是 y5 2x 2 ,即 y 2x2 7 .x 1Q弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为 y 2x2/y2)(y1y2) a (x1x2)(x1x2)0即 b2(y1y2)a2(x

24、x2)0Y1y2 7 (在已知抛物线内).3 .求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,J50)的椭圆被直线l : y 3x 2截得的弦的中点的,1横坐标为1,求椭圆的方程。222解：设椭圆的方程为冬冬1,则a2 b2 50 一一 a b设弦端点PJiyJ、Q(x2,y2),弦PQ的中点M),则1C C 1x02,yo3x022xl x2 2x01，yi y2 2y012又经a1,2 y2_ 2 a2 x22两式相减得b2(y1x1 x2b2联立解得a2 75, b2 2522y x所求椭圆的方程是 1 75 25例3已知 ABC的三个顶点都在抛物线 y232x上，

25、其中A 2,8 ,且 ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.,则A G、M三点共解 由已知抛物线方程得 G 8,0 .设BC的中点为M x0,y0线，且AGXo解得V。2 GM11uuurG分AM所成比为2 ,于M 11, 4 .2 2Xo1 28 2yo设 B x,yi,CX2,y2 ,则yiy28.一 2_ _又 y132X1,(i)2y232X2,(2)12 得：y12y232XiX2BCyy2X1X232yy2324.8BC所在直线方程为y11，即 4x y 400.2 X 例4已知椭圆-2 a2y的一条准线方程是x1 ,有一条倾斜角为一的4直线交椭圆于A、B两点,AB的中

26、点为2 4求椭圆方程.乂2。2 ,则X1X21y22 X1 -2 a2 v_ b21,（1）2y21, b12得:2X12X2 2 a2y2b2yy2X1X2b22aX1X2y1y2bj a2又a-c由（3）,必y2X1X2(4),c,2b22a(4)可得a21 2 3b2b2b2(3)所求椭圆方程为2X122y141.4 .圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例6、已知椭圆x_ 匕 1,试确定的m取值范围，使得对于直线 y 4x m,椭圆上总 43有不同的两点关于该直线对称。解:设Pi(xi，yi), P2(x2,y2)为椭圆上关于直线 y 4x的对称两点，P(x, y)为弦P1P212的中

27、点，则 3x12 4y12 12, 3x22 4y22两式相减得，3(x12 x22) 4(y12 y22) 0即3(xi x2)(x1x2)4(yiy2)(yi12y1 y2xX22x, y1 y2 2y,xi x25.y 3x它与直线联立yy2即(3m)这就是弦RF2中点P轨迹方程。4xm的交点必须在椭圆内3x4x/日x,得ym则必须满足3m2.13132 1313求直线的斜率2x例5已知椭圆252y9上不同xi, yi,B9- a 一4,- ,C x2, y2 与焦点54,0的距离成等差数列.(1)求证:xix28 ；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴求直线BT的斜率(1)证略.(2)解

28、Q x1x28,设线段AC的中点为D 4,y。.又A、C在椭圆上,2 x1251,(1)2 X225212 得：:252 x22y296.必 V2x1x2直线DT3625 yiV2252 y025 y0的斜率kDT确定参数的范围例6若抛物线25 y°36直线DT的方程为25y0 y。366425,64即T ,025直线BT的斜率9 0k -L4 6425C : y2x上存在不同的两点关于直线l : y3对称，求实数m的取值范围.解当m 0时，显然满足.当m 0时，设抛物线C上关于直线l : y m x 3对称的两点分别为22P x，yix2, (2)Q x2,y2 ,且 PQ 的中点

29、为 M x0,y0，则 y1 x1，(i)y?2212 得：yiy2X x2,yiy2i iPQ二一，xix2yiy22 y0又kPQy0Q中点M x0,y0在直线l : y m x 3上,V。m x0 3 ,于是 x02Q中点在抛物线y x区域内2M yx0,即,解得 Ji0 m JT0.22综上可知，所求实数 m的取值范围是向',Ji0 .7.证明定值问题22例7已知AB是椭圆与 4 1ab 0不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的 a b中点，O为椭圆的中心.求证：直线 AB和直线OP的斜率之积是定值证明 设 A x1， , B x2, y2 且 x1x2,i212 yii,2 X

30、2 (i)32 a2 y2 b2-(2)2得:2Xi2 x2-2a2Vi2 y2V2xi x2b22axi x2ViV2b2yiy2XiX2b22axi x2%y2又p *y2xix2b2 aikOP段(定值).a8.其它。看上去不是中点弦问题,但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y2 2 px( p 0)上一定点P ( x。，y。)( y。 线于 A( xi,yi), B ( x2,y2).(i)求该抛物线上纵坐标为 £的点到其焦点F的距离；0),作两条直线分别交抛物(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求yiy2y。的值，并证明直线 AB的斜率是非零常数.解(i)略(2):

31、设 A (yi2,yi) ,B(y 22,y 2),则kAE=-y|y2yi2 yiV2yikPA=y。22y iyoyi,kpB yoy2y。2y22V。y2yo4i22由题意，kAB=-k AC,yi yoy2y0，则yiy22 y0则：kAB= -为定值。2yo例i。、抛物线方程y2p(x i) (p 0),直线 xy t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(i)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OAL OR求p关于t的函数f(t)的表达式。(i)证明：抛物线的准线为 i： x由直线x+y=t与x轴的交点(,。)在准线右边，得 t i卫，而4tp 4 。

32、2p)x(t2p) 0x y t0由2消去y得x2(2ty2 p(x 1)2, . 2、(2t p) 4(t p) p(4t p 4) 0故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(xi, yi)，点 B(x2, y2)x1x2 2tp, x1x2t2pQOA OBkoAkoB1则 x1x2 y1y2 0又丫也(t xi)(t x2)2xy1y2 t(t 2)p0p f(t)t229又p 0, 4t p 40得函数f (t)的定义域是(2,0) (0,【同步练习】221、已知：F1, F2是双曲线x- y 1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点Aa b2B,若AB m, AB桎的周长

33、为()A 4a B 、4a+m C 、4a+2m D 、4a-m2 、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是( )A y2=-16x B 、y2=-32xC 、y2=16xD 、y2=32x3、已知 ABC的三边AB BG AC的长依次成等差数列，且 AB AC ,点B、C的坐标分另1J为(-1 , 0) , (1 , 0),则顶点A的轨迹方程是(2y-1(x 0)322匕 1(x0且 y 0)4322C 人 L 1(x 0) D434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1 ，0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是( )1X2291X22 9A(x)y(

34、x1)b、(x-)y- (x1)242421 2921 29Cx2(y-)24(x1)D、x2(y2)24(x1)225、已知双曲线 y 1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是9166、抛物线y=2x2截一组余率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2 , 0),则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y 2=1的交点个数只有一个，则 k=2210、设点P是椭圆 y 1上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求 sin /FFE的259最大值。11、已知椭圆

35、的中心在原点，焦点在 x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于 A B两点，且AB中点M为(-2 ,1) , AB 473 , 求直线l的方程和椭圆方程。212、已知直线l和双曲线yy1(a 0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为b2A B、C D=求证：AB CD 。参考答案AF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a , AF2 BF2 AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,选 C2、C 点P至ij F与至iJ x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x,选C3、D. AB AC 2 2,且 AB AC点

36、A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A B、C三点不共线，即yw0,故选d4、A设中心为(x , y),则另一焦点为(2x-12y),则原点到两焦点距离和为4得 1(2x 1)2 (2y)21、2294、 . (x 2) y 4又 c<a,(x 1)2 y2 2，(x-1) 2+y2<4，由，得xw -1 ,选 A5、29左准线为x=-为ed6、y2=2x2235 29293 531 1x -(y 一)2 2yy 2=2(x 12-x 22)9929一,M到左准线距离为 d 4 (-) 则M到左焦点的距离555设弦为 AB, A(x1, y1) , B(x2, y2)AB 中点为(

37、x , y),则 y1=2x12,1- -y1y2- 2(x1x2)，2=2 2x, x - 将 x 1代入 y=2x2得 y 1，轨迹x1x2222、-11方程是x 1(y>1)227、y2=x+2(x>2)设 A(xi, yi) , B(x2, y2), AB中点 M(x, y),则2222y1y2yi2xi,y22x2, yiNz2(x x2), (y y2) 2x X2kABkMP 2y 2 , 即 y =x+2x 2 x 2又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x, . x>28、4 a2 b24,c28,c 2«万，令 x 2

38、J2 代入方程得 8-y 2=4，y2=4, y=±2,弦长为49、右或 1 y=kx+1 代入 x2-y 2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=0. . (1-k 2)x 2-2kx-2=0Jk20一 °r-。一得4k2+8(1-k2)=0, k= 也 1«2=0得卜=±1010、解：a2=25, b2=9, c2=16设 F1、F2 为左、右焦点，则 F1(-4 , 0)F2(4, 0)设 PF1I r/PFzl 2, F1PF2则122r12 r22 2 r1r2 cos(2c)22-得 2r 1r2(1+cos 0 )=4b 2，1+cose上

39、 空2r1r2r1r2n+r2 2Jr1r2 ,一 一 ,2.rn的取大值为a, 八181+cos 0252b2.1+cos。的最小值为2acos 0,0即sin / F1PF2的最大值为1。211、设椭圆方程为x7a2b2arccos工贝U当251(ab 0)一时，sin。取值得最大值1,22由题意：C、2C、 c成等差数列,c4c cc即a22c2,.a2=2(a2-bj,，a2=2b2椭圆方程为2 x 2b"2 y b21 ,设 A(xiyi) ， B(x2,y2)2xi2b"2 yi b72x22b22 y2 b2-得22xix22b22 yib2xm2b2y m

40、I b21. k=1直线AB方程为y-i=x+2即y=x+3 ,代入椭圆方程即3x2+i2x+i8-2b 2=0,ABXiX2x2+2y2-2b 2=0 得 x2+2(x+3) 2-2b 2=0i-i i22i2(i82b2) 2 4 32解得b2=i2,椭圆方程为242i ,直线l方程为x-y+3=0i212、证明:设 A(xiyi), D(X2, y2)AD中点为M（x。，yo）直线l的斜率为k,则2 xi-2 a2 & -2 a2 yi b22 在 b22 y0b1B(xi, yi),C(x2, y2), BC中点为 M (x°, y°),i2xi则zai2

41、x2 -2- ai2 yibi2V2/0-得2xi2ai2 y0b2成立由、知M M均在直线l : 2x a2y b20上，而M M又在直线l上，若l过原点，则B> C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题若l不过原点且与x轴不垂直，则 M与M 重合. ABCD2i四、弦长公式法若直线l : y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1), B(x2, y2)则弦长 AB . (xi X2)2 (yi y2)2(Xi x2)2 kxi b (kx2 b)2yi k2 x1 x2 25 k J(x1 x2)4x1x2 同理：1Am1 /12-,1AB尸.i k

42、2 1y2 yi I .(y2 yi)4y2%特殊的，在如果直线 AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为xA, xB,判别式为，则|AB| Vi k2 |xAxB| Ui k2 殳,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过|a|程。求直线x y i 0被椭圆x2 4y2 i6所截得白线段 ab的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2i交于A B两点，求AB

43、的弦长例题i：已知直线y x i与双曲线C:x2 L4解：设 A (xi, yi), B(x2, y2)y x i222由 2 得 4x (x i) 4 0 得 3x 2x 5 0 x2 y- i42xi x2-则有3 得,5Ax?-3如一 2 72-24 14 20 8 rAB vi k v(xi x2)4xix2 V2 !2933x22i练习i:已知椭圆方程为 y i与直线方程l : y x 一相交于A B两点，求AB的 22弦长练习2:设抛物线y2 4x截直线y 2x m所得的弦长 AB长为345 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A (x

44、1, y1), B(x2, y2)联立方程y2 x2x 2 得 6x2 y2 14x 3 0352x1 x2则31x1x22AB Ji k2 7(x1 x2)2 4x1x22.113解：设 A (x1，y1)，B(x2, y2)联立方程：y 4x 得 4x2 (4m 4)x m2 0y 2x mx1 x2 1 m贝口2mx1x24ABJ1k2J(x1x2)24x1x2V5j(1m)2m23<5m 4B,求弦长1且AB例题2:已知抛物线y x2 3上存在关于直线x y 0对称相异的两点A、AB分析：A、B两点关于直线x y 0对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为 的中点在已知直线上解

45、：A、B关于l : x y 0对称ki kAB 1ki 1kAB 1设直线 AB 的方程为 y x b , A (x1, y1), B(x2, y2)y x b2联立方程2化简得x2 x b 3 0yx2 3.11.一xi x21 AB中点M( -, b)在直线x22b 1x2 x 2 0x1 x21由1 2x1x22ABv；1 k2 <(x1 x2)2 4x1x2e2J( 1)2 8 3J2/、结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点联立方程消元韦达定理弦长公式作业:(1) 过抛物线y 4x的焦点，作倾斜角为|AB| 16求的值

46、2(2) 已知椭圆方程 y2 1及点B(0,2C、D两点，F2为椭圆的右焦点，求的直线交抛物线于 A, B两点，且2),过左焦点 Fi与B的直线交椭圆于CDF2的面积。例1:已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上行点，求S=Va2分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=J(a 2)2 (b 3)2 设 Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离.j | 2 2 3 1| 3.5Smin55点评：此题也可用代入消兀的方法转化为二次函数的最小值问题后，它是一个一元二次函数)例2:已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求b2 4a 6b 13的最小值。

47、(注：可令根式内为t消元 y的最值。得最值，设最值为 k,则切线：y=kx,即kx-y=0圆(x-3) 2+(y-2) 2=1,由圆心(3, 2)到直线kx-y=0的距离为1得3 -一k 4,y3 瓜 y3 0x min4x max422例3:直线l : ax+y+2=0平分双曲线 -y-1的斜率为169分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点,再求轨迹上的点 M与点P的连线的斜率即-a的范围。241的弦，求a的取值范围.可先求出弦中点的轨迹，设O (0, 0),则工表示直线OP的斜率，由图可知，当直线 OP与圆相切时,22yj一旺0即应比1 0 911692kpD=097有.79 2-7169 2 . 716由图知，当动直线l的斜率kC9 2.7 916，169 9 2.716，16时，l过斜率为1的弦AB解：设A（xi,yi）,B（x 2,y 2）是双曲线上的点，且 AB的斜率为1, AB的中点为M（xo,y 0）22xi yi1则:16922X2 y2116922-得x216即 M(Xo,y 0)在直线 9x-16y=0 上。工/口 169169由但x-16y=0得 C , ,D ,-J7V777 7722区匕1169，点 M的轨迹方程为 9x-16y=0(x<- 16% 7 或 x> 16