三角函数的图像与性质

1、2021/3/2711.4 1.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1.4.11.4.1正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 2021/3/2722.2.任意给定一个实数任意给定一个实数x,x,对应的正弦值对应的正弦值（sinxsinx）、余弦值）、余弦值(cosx)(cosx)是否存在是否存在? ?惟一惟一? ?问题提出问题提出t57301p21.1.在单位圆中在单位圆中, ,角角的正弦线、余弦线分的正弦线、余弦线分别是什么别是什么? ?P P（x x，y y）O Ox xy yMsin=MPcos=OM2021/3/2734.4.一个函数总具有许多基本性质一个函数总具有

2、许多基本性质, ,要直观、要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性全面了解正、余弦函数的基本特性, ,我们我们应从哪个方面人手应从哪个方面人手? ?3.3.设实数设实数x x对应的角的正弦值为对应的角的正弦值为y,y,则对应则对应关系关系y=sinxy=sinx就是一个函数就是一个函数, ,称为称为正弦函数正弦函数; ;同样同样y= cosxy= cosx也是一个函数，称为也是一个函数，称为余弦函余弦函数数，这两个函数的定义域是什么，这两个函数的定义域是什么? ?2021/3/2742021/3/275知识探究（一）知识探究（一）:正弦函数的图象正弦函数的图象 思考思考1:1:作函数图象最原始的

3、方法是什么作函数图象最原始的方法是什么? ?思考思考2:2:用描点法作正弦函数用描点法作正弦函数y=sinxy=sinx在在0,20,2内的图象内的图象, ,可取哪些点可取哪些点? ?思考思考3:3:如何在直角坐标系中比较精确地如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点描出这些点, ,并画出并画出y=sinxy=sinx在在0,20,2内内的图象的图象? ?2021/3/276xy1-1O222p32psin , 0,2yx x思考思考4:4:观察函数观察函数y=sinxy=sinx在在0,20,2内的图内的图象象, ,其形状、位置、凸向等有何变化规律其形状、位置、凸向等有何变化规律? ?2021

4、/3/277思考思考5:5:在函数在函数y=sinx,x0,2y=sinx,x0,2的图象的图象上，起关键作用的点有哪几个上，起关键作用的点有哪几个? ?x-1O222p32p1y y2021/3/278思考思考6:6:当当x2,4, -2,0,x2,4, -2,0,时，时，y=sinxy=sinx的图象如何的图象如何? ?y-1xO123456-2-3-4-5-6-2021/3/279思考思考7:7:函数函数y=sinx,xRy=sinx,xR的图象叫做的图象叫做正弦正弦曲线曲线, ,正弦曲线的分布有什么特点正弦曲线的分布有什么特点? ?y-1xO123456-2-3-4-5-6-2021/

5、3/2710思考思考8:8:你能画出函数你能画出函数y=|sinx|,y=|sinx|,x0,2x0,2的图象吗的图象吗? ?y yx xO O122-1-12021/3/2711知识探究（二）知识探究（二）:余弦函数的图象余弦函数的图象 思考思考1:1:观察函数观察函数y=xy=x2 2与与y=(xy=(x1)1)2 2 的图的图象象, ,你能发现这两个函数的图象有什么内你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗在联系吗? ? x xy yo o-1-12021/3/2712思考思考2:2:一般地一般地, ,函数函数y=f(xy=f(xa)(aa)(a0)0)的的图象是由函数图象是由函数y=f

6、(x)y=f(x)的图象经过怎样的的图象经过怎样的变换而得到的变换而得到的? ? 向左平移向左平移a a个单位个单位. . 思考思考3:3:设想由正弦函数的图象作出余弦设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象函数的图象, ,那么先要将余弦函数那么先要将余弦函数y=cosxy=cosx转化为正弦函数转化为正弦函数, ,你可以根据哪个公式完你可以根据哪个公式完成这个转化成这个转化? ?2021/3/2713思考思考4 4：由诱导公式可知，由诱导公式可知，y=cosxy=cosx与与 是同一个函数，如何作函是同一个函数，如何作函数数 在在00，22内的图象？内的图象？si n()2yxp=+si n(

7、)2yxp=+xy yO221y=sinxy=sinx22-1-12021/3/2714思考思考5:5:函数函数y=cosx,x0,2y=cosx,x0,2的图象如的图象如何何? ?其中起关键作用的点有哪几个其中起关键作用的点有哪几个? ?xy yO22122-1-12021/3/2715思考思考6:6:函数函数y=cosx,xRy=cosx,xR的图象叫做的图象叫做余弦余弦曲线曲线, ,怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点布有什么特点? ?xyO1-12222222222222021/3/2716理论迁移理论迁移 例例1 1 用用“五点法五点法”画出下列函

8、数的画出下列函数的简图简图: : (1)(1)y=1+sinxy=1+sinx,x0,2;,x0,2; (2)(2)y=-cosxy=-cosx，x0 x0，2 .2 .2021/3/2717x xsinxsinx1+sinx1+sinx1 10 02p32pp2p0 00 00 01 1-1-11 12 20 01 1x-1O222p32p1y y2y=1+sinxy=1+sinx2021/3/2718x xcosxcosx-cosx-cosx1 10 02p32pp2p1 10 00 01 1-1-1-1-10 00 0-1-1x-1O222p32p1y yy=-cosxy=-cosx20

9、21/3/2719 例例2 2 当当x0 x0，22时，求不等式时，求不等式 的解集的解集. .1cos2x5 0,2 33pppUxy yO22122-1-112y=2021/3/2720小结作业小结作业1.1.正、余弦函数的图象每相隔正、余弦函数的图象每相隔22个单位个单位重复出现重复出现, ,因此因此, ,只要记住它们在只要记住它们在00，22内的图象形态，就可以画出正弦曲线和内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线余弦曲线. .2.2.作与正、余弦函数有关的函数图象作与正、余弦函数有关的函数图象, ,是是解题的基本要求解题的基本要求, ,用用“五点法五点法”作图是常作图是常用的方法用

10、的方法. .2021/3/27213.3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础究函数性质的基础, ,也是解决有关三角也是解决有关三角函数问题的工具函数问题的工具, ,这是一种数形结合的这是一种数形结合的数学思想数学思想. .作业作业:P34:P34练习练习: :2 2 P46 P46习题习题1.4 A1.4 A组组: : 1 12021/3/2722第一课时第一课时 1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 2021/3/2723问题提出问题提出t57301p21.1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什正弦函数和余弦函数

11、的图象分别是什么么? ?二者有何相互联系二者有何相互联系? ?y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx2021/3/2724t57301p22.2.世界上有许多事物都呈现世界上有许多事物都呈现“周而复始周而复始”的变化规律的变化规律, ,如年有四季更替如年有四季更替, ,月有阴晴月有阴晴圆缺圆缺. .这种现象在数学上称为这种现象在数学上称为周期性周期性，在，在函数领域里，周期性是函数的一个重要函数领域里，周期性是函数的一个重要性质性质. .2021/3/27252021/3/2726知识探究（一）知识探

12、究（一）:周期函数的概念周期函数的概念 思考思考1:1:由正弦函数的图象可知由正弦函数的图象可知, , 正弦曲正弦曲线每相隔线每相隔22个单位重复出现个单位重复出现, , 这一规律这一规律的理论依据是什么的理论依据是什么? ?sin(2)sin()xkx kZ.思考2：设设f(x)=sinxf(x)=sinx，则，则 可以怎样表示？其数学意义如何？可以怎样表示？其数学意义如何？ sin(2)sinxkx2021/3/2727思考思考3:3:为了突出函数的这个特性为了突出函数的这个特性, ,我们把我们把函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx称为称为周期函数周期函数, ,2k2k为这为这个函

13、数的周期个函数的周期. .一般地，如何定义周期函一般地，如何定义周期函数数? ? 对于函数对于函数f(x)f(x), ,如果存在一个非零如果存在一个非零常数常数T,T,使得当使得当x x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x+T)=f(x),f(x+T)=f(x), 那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这就叫做这个函数的周期个函数的周期. .2021/3/2728思考思考4:4:周期函数的周期是否惟一周期函数的周期是否惟一? ?正弦函正弦函数的周期有哪些数的周期有哪些? ?思考思考5:5:如果在周期函数如果在周期函

14、数f(x)f(x)的所有周期的所有周期中存在一个最小的正数中存在一个最小的正数, , 则这个最小正则这个最小正数叫做数叫做f(x)f(x)的的最小正周期最小正周期. .那么那么, , 正弦函正弦函数的最小正周期是多少数的最小正周期是多少? ?为什么为什么? ?2021/3/2729 正、余弦函数是周期函数正、余弦函数是周期函数, ,2k2k（kZ, k0kZ, k0）都是它的周期都是它的周期, ,最小正最小正周期是周期是22思考思考6:6:就周期性而言就周期性而言, ,对正弦函数有什对正弦函数有什么结论么结论? ?对余弦函数呢对余弦函数呢? ?2021/3/2730知识探究（二）知识探究（二）

15、:周期概念的拓展周期概念的拓展 思考思考1:1:函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x0 x0）是否为）是否为周期函数周期函数? ?函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x0 x0）是否）是否为周期函数为周期函数? ?思考思考2:2:函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x x0 0）是否为）是否为周期函数周期函数? ?函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x3kx3k）是否为周期函数是否为周期函数? ?思考思考3:3:函数函数f(x)=sinx,x0,10f(x)=sinx,x0,10是否是否为周期函数为周期函数? ?周期函数的定义域有什么特周期函数的定义域

16、有什么特点点? ? 2021/3/2731思考思考4:4:函数函数y=3sin(2xy=3sin(2x4)4)的最小正周的最小正周期是多少期是多少? ? si n()yAxwj=+(0,0)Aw?思考思考5 5：一般地，函数一般地，函数 的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? 思考思考6:6:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)的周期是的周期是T,T,那么那么函数函数y=f(xy=f(x)的周期是多少的周期是多少? ?2021/3/2732理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx; xRxR（2）y=sin2x，xR R； 2si n()2

17、6xyp=-（3 3） ， xR xR ；（4 4）y=|sinx| xR.y=|sinx| xR. 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x2)2)f(x)=0,f(x)=0,试判断试判断f(x)f(x)是否为周是否为周期函数期函数? ?2021/3/2733 例例3 3 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1),1),且当且当x0,2x0,2时，时，f(x)=xf(x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值. .2021/3/2734小结作业小结作业 1.1.函数的周

18、期性是函数的一个基本性质函数的周期性是函数的一个基本性质, ,判断一个函数是否为周期函数判断一个函数是否为周期函数, ,一般以定一般以定义为依据，即存在非零常数义为依据，即存在非零常数T T，使，使f(xf(xT)=f(x)T)=f(x)恒成立恒成立. .2.2.周期函数的周期与函数的定义域有关周期函数的周期与函数的定义域有关, ,周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期. .3.3.周期函数的周期有许多个周期函数的周期有许多个, ,若若T T为周期为周期函数函数f(x)f(x)的周期的周期, ,则则T T的整数倍也是的整数倍也是f(x)f(x)的周期的周期. .2021/3/

19、27354.4.函数函数 和和 的最小正周期都是的最小正周期都是 ，这，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用以直接应用. .si n()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw?2pw作业作业:P36:P36练习练习: :1,2,3.1,2,3.2021/3/27361.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第二课时第二课时2021/3/2737问题提出问题提出1.1.周期函数是怎样定义的周期函数是怎样定义的? ? 对于函数对于函数f(x)f(x), ,如果存在一个非零如果存在一个非零常数常数T,T,使得当

20、使得当x x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x +T)=f(x),f(x +T)=f(x), 那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这就叫做这个函数的周期个函数的周期. .2021/3/27382.2.正、余弦函数的最小正周期是多少？正、余弦函数的最小正周期是多少？函数函数 和和 的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？sin()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw?3.3.周期性是正、余弦函数所具有的一个周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质基本性质, ,此外此外, ,正、余弦函数还具有哪正、

21、余弦函数还具有哪些性质呢些性质呢? ?我们将对此作进一步探究我们将对此作进一步探究. .2021/3/27392021/3/2740探究（一）探究（一）:正、余弦函数的奇偶性和单调性正、余弦函数的奇偶性和单调性思考思考1:1:观察下列正弦曲线和余弦曲线的观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性对称性, ,你有什么发现你有什么发现? ?y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx2021/3/2741思考思考2:2:上述对称性反映出正、余弦函数上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质分别具有什么性质? ?如何从

22、理论上加以验如何从理论上加以验证证? ?正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数, ,余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数. .2021/3/2742思考思考3:3:观察正弦曲线观察正弦曲线, ,正弦函数在哪些区正弦函数在哪些区间上是增函数间上是增函数? ?在哪些区间上是减函数在哪些区间上是减函数? ?如何将这些单调区间进行整合？如何将这些单调区间进行整合？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数.222kk222kk2021/3/2743思考思考4

23、:4:类似地类似地, ,余弦函数在哪些区间上是余弦函数在哪些区间上是增函数增函数? ?在哪些区间上是减函数在哪些区间上是减函数? ?余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数. .22kk22kkxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx2021/3/2744思考思考5 5：正弦函数在每一个开区间正弦函数在每一个开区间（2k2k， 2k2k） (kZ)(kZ)上都是增函上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？函数？22021/3/2745探究（二）探

24、究（二）:正、余弦函数的最值与对称性正、余弦函数的最值与对称性 思考思考1:1:观察正弦曲线和余弦曲线观察正弦曲线和余弦曲线, ,正、余正、余弦函数是否存在最大值和最小值弦函数是否存在最大值和最小值? ?若存在若存在, ,其最大值和最小值分别为多少其最大值和最小值分别为多少? ?思考思考2:2:当自变量当自变量x x分别取何值时分别取何值时, ,正弦函正弦函数数y=sinxy=sinx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1?1?正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取最大时取最大值值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1 -1 2xk2xk2021/3/2746思考思考3:

25、3:当自变量当自变量x x分别取何值时分别取何值时, ,余弦函余弦函数数y=cosxy=cosx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1?1?余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取最大值时取最大值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1. -1. 2xk(21)xk2021/3/2747思考思考4:4:根据上述结论根据上述结论, ,正、余弦函数的值正、余弦函数的值域是什么域是什么? ?函数函数y=Asinxy=Asinx（A0A0）的）的值域是什么值域是什么? ?思考思考5:5:正弦曲线除了关于原点对称外正弦曲线除了关于原点对称外, ,是是否还关于其它的点和直线对称否还关于其

26、它的点和直线对称? ? 正弦曲线关于点正弦曲线关于点（kk，0 0）和直线和直线 对称对称. .()2xkkZpp=+?-|A|,|A|-|A|,|A|2021/3/2748思考思考6:6:余弦曲线除了关于余弦曲线除了关于y y轴对称外轴对称外, ,是是否还关于其它的点和直线对称否还关于其它的点和直线对称? ?余弦曲线关于点余弦曲线关于点 和直线和直线x=kx=k对称对称. .(,0)2kpp+2021/3/2749理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列函数的最大值和最小值，并求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y

27、=cosxy=cosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.2021/3/2750 例例3 3 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. .1sin()23yx 例例2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与2021/3/2751小结作业小结作业 1. 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值性、奇偶性、单调性、对称性和最值, ,它它们都是结合图象得出来的们都是结合图象得出来的, ,要求

28、熟练掌握要求熟练掌握. .2.2.正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数, ,余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数. .一般地一般地,y=Asinx,y=Asinx是奇函数，是奇函数，y=Acosxy=Acosx（A0A0）是偶函数）是偶函数. .2021/3/2752作业作业:P40-41:P40-41练习练习: :1,2,31,2,3，5 5，6.6.3.3.正、余弦函数有无数个单调区间和无正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点数个最值点, ,简单复合函数的性质应转化简单复合函数的性质应转化为基本函数处理为基本函数处理. . 2021/3/27531.4.3 1.4.3 正切函数的图象与性质正切

29、函数的图象与性质 2021/3/2754问题提出问题提出1.1.正、余弦函数的图象是通过什么方法正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的作出的? ? 2.2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内正、余弦函数的基本性质包括哪些内容容? ?这些性质是怎样得到的这些性质是怎样得到的? ?3.3.三角函数包括正、余弦函数和正切函三角函数包括正、余弦函数和正切函数数, ,我们已经研究了正、余弦函数的图象我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质和性质, , 因此因此, , 进一步研究正切函数的进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然性质与图象就成为学习的必然. . 2021/3/27552021/3/275

30、6知识探究（一）知识探究（一）:正切函数的性质正切函数的性质思考思考1:1:正切函数的定义域是什么正切函数的定义域是什么? ?用区间用区间如何表示如何表示? ?思考思考2:2:根据相关诱导公式根据相关诱导公式, ,你能判断正切你能判断正切函数是周期函数吗函数是周期函数吗? ?其最小正周期为多少其最小正周期为多少? ?正切函数是周期函数正切函数是周期函数,周期是周期是.(2kk 2021/3/2757思考思考3 3：函数函数 的周期为多少？的周期为多少？一般地，函数一般地，函数 的周期是什么？的周期是什么？tan(2)8yxtan()(0)yx 思考思考4:4:根据相关诱导公式根据相关诱导公式,

31、 ,你能判断正切你能判断正切函数具有奇偶性吗函数具有奇偶性吗? ?正切函数是奇函数正切函数是奇函数2021/3/2758思考思考5:5:观察下图中的正切线观察下图中的正切线, ,当角当角x x在在 内增加时内增加时, ,正切函数值发生什正切函数值发生什么变化么变化? ?由此反映出一个什么性质由此反映出一个什么性质? ?(,)22T T1 1OxyA AT T2 2O2021/3/2759思考思考6:6:结合正切函数的周期性结合正切函数的周期性, ,正切函正切函数的单调性如何数的单调性如何? ?正切函数在开区间正切函数在开区间 都是增函数都是增函数 (2kk 思考思考7:7:正切函数在整个定义域

32、内是增函正切函数在整个定义域内是增函数吗数吗? ?正切函数会不会在某一区间内是减正切函数会不会在某一区间内是减函数函数? ?2021/3/2760思考思考8 8：当当x x大于大于 且无限接近且无限接近 时，正时，正切值如何变化？当切值如何变化？当x x小于小于 且无限接近且无限接近 时时, , 正切值又如何变化？由此分析，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么正切函数的值域是什么? ?2222正切函数的值域是正切函数的值域是R.R.T T1 1OxyA AT T2 2O2021/3/2761知识探究（一）知识探究（一）:正切函数的图象正切函数的图象思考思考1 1：类比正弦函数图象的

33、作法，可以类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间利用正切线作正切函数在区间 的图象，具体应如何操作？的图象，具体应如何操作？(,)2 2 Oxy222021/3/2762思考思考2 2：上图中上图中, ,直线直线 和和 与正与正切函数的图象的位置关系如何？图象的切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？凸向有什么特点？2xp=2xp= -思考思考3:3:结合正切函数的周期性结合正切函数的周期性, , 如何画如何画出正切函数在整个定义域内的图象出正切函数在整个定义域内的图象? ? 22yOx222021/3/2763思考思考4:4:正切函数在整个定义域内的图象正切函数在整

34、个定义域内的图象叫做叫做正切曲线正切曲线. .因为正切函数是奇函数因为正切函数是奇函数, ,所以正切曲线关于原点对称所以正切曲线关于原点对称, ,此外，正切此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称曲线是否还关于其它的点和直线对称? ?正切曲线关于点正切曲线关于点 对称对称. . (,0)2kp思考思考5:5:根据正切曲线如何理解正切函数根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质的基本性质? ?一条平行于一条平行于x x轴的直线与相轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少邻两支曲线的交点的距离为多少? ?2021/3/2764理论迁移理论迁移 例例1 1 求函数求函数 的定义域、的定义域、周期和单调区间周期和单调区间. . tan()2yx 例例2 2 试比较试比较tan8 tan8 和和tan( )tan( )的大小的大小. .28 例例3 3 若若 ，求，