四川省乐山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析

1、乐山市高中2021届期末教学质量检测理科数学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部 分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷草稿纸上答题无效满分150 分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共60分）注意事项1. 选择题必须用2万铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2. 第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 命题"Vxe/?, X2 x ”的否定是（）A.

2、 Vx 住 R , X2 X B. VXe 7? , 2 =X C. 3 圧 R , Xi XO D.% w R，o = XO【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“ Vxe/?, X2 ”为全称命题故其否泄为：3x0 ?, x = XO故选：D【点睛】本题考査命题的否定，全称命题与特称命题的否沱关系，属于基础题.2. 下列命题中正确的是（）A. 若一个平而中有无数条直线与另一个平而平行，则这两个平面平行B. 垂直于同一平面的两个平面平行C. 存在两条异而直线同时平行于同一平而D. 三点确泄一个平而【答案】C【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对题

3、目中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于乩如果一个平而内有无数条直线有另一个平而平行，则这两个平而也可能相交, 故月错误：对于万，垂直于同一平而的两平而平行或相交，故万错误：对于G当两条直线同时平行于同一平而时，这两条宜线可以平行、异而、相交，故存在两条异而直线平行于同一个平而，故Q正确：对于Q，不共线的三点才能确左一个平面，故Q错误；故选：C.【点睛】本题考査了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考査逻辑思维能力和推理判断能力，属于基础题.3. “4 = CHo 且 =0” 是 “ Af+Byy + Cb + Dx + Ey+F = 0 表示圆的方程”的（）条件A.充分非必要B.必要非充

4、分C.充要D.既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判左方法, 即可求解.【详解】由方程Ax2 +BxyCy2+ Dx+Ey +F = 0表示圆时，满足A = C0,B = 0且D2 +E2-4AF>0>所以“q = CHo且B = 0”是"A + Bvy + cb + D + Ey + F = 0表示圆的方程”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判左，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题4. 已知平面Q内有一点M(I平而Q的一个法向量为 = (6,-3,6),则

5、下列点尸中， 在平而Q内的是()A. P(2,3,3)B. P(2,0,1)C. ,4,0)D. P(3,-3,4)【答案】A【解析】【分析】可设出平而内内一点坐标P(X,y,z),求出与平而&平行的向P = (-1,v + 1,z-2),利用数量积为0可得到X , V, Z的关系式，代入各选项的数据可得结果.【详解】解：设平面Q内一点P(X,y,z),贝IhMP = (X - l,y + l,z - 2),. « = (6,-3,6)是平面Q的法向量，丄 , H M" = 6(x-l) 3(y + l) + 6(z-2) = 6x-3y + 6z-21 >由

6、 n MP = Q得6x-3y + 6z-21=0/. 2x-y + 2z = 7把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.故选：A.【点睛】本题考査空间向量点的坐标的槪念，法向量的概念，向量数量积的概念.2 25. 椭圆+ = 1的左、右焦点分别为人、F2,点P在椭圆上，如果PFI的中点在)'轴上,123那么IP可是IP巧I的()A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍【答案】A【解析】【分析】 先求椭圆的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段P片的中点在y轴上，求得点P的坐标,进而计算PFlf PF29即可求得结果72【详解】椭圆+ =1左焦点是FL右焦点是F123片为(一3,0),厲

7、为(3,0)，设P的坐标为(,y),线段PFl的中点为(x-3 y2T因为段P林的中点在y轴上，所以亍 =0,任取一个P为P = J(3÷3)2÷= 3, PF2 = 2a-PF = -P用=7PEI,即IP可是I啓|的7倍.故选：A.【点睛】本题重点考查椭圆的几何性质，考査距离公式的运用，椭圆左义的应用，属于中档题.6如图，球。内切于圆柱O1O2t记圆柱QO2的侧而积为SL球0的表而积为二，则()D. Sl = S2C. S = 2S2【答案】D【解析】【分析】 设球的半径为R,可得圆柱的底面半径为R,髙为2R,由此求出球的表而积与圆柱的侧而积 得答案.【详解】设球的半径

8、为R ,可得圆柱的底面半径为R ,高为2R,则球的表面积S2 = 4R2,圆柱的侧而积S=2rRx2R = 4兀R',S=S故选：D.【点睹】本题主要考查了圆柱及其内切球的表而积的运算，属于基础题.7 已知F是双曲线C：匚丄1 = 1的左焦点，p、Q为C右支上的点,若P0的长等于虚916轴长的2倍，且点A(5,0)在线段PO上，则APQF的周长为()A. 22B. 28C. 38D. 44【答案】D【解析】【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义到两定点的距离之差为定值2解决.求岀 周长即可.【详解】双曲线C才討的左焦点心，。) 点A(SO)是双曲线的右焦点，则b = 4,

9、即虎轴长为2Zj = 8, 双曲线图彖如图:V IPFI-IAPI = 2 = 6 , QF-QA = 2a = 6，而IPq = I6,炮得：PF+QF -IPQ = I2,周长 M =PF + QF + PQ = 12 + 2P = 44,故选：D.【点睛】本题考査三角形周长的计算，根据双曲线的泄义将三角形的两边之差转化为2d,通 过对左义的考查求出周长是解决本题的关键，考查学生的转化能能力.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）dB：A. 6【答案】A【解析】【分析】14C.D. 4由三视图还原原几何体，把原几何体分割为一个长方体与一个三棱柱求，根据柱体的体积公 式即可得结

10、论.【详解】由三视图可得，该几何体分为上下两部分，上而是一个三棱柱，下而是一个长方体, 根据柱体体积公式可得该几何体的体积为：V=l×2×l×2+2×2×1=6,2故选：A.【点睛】本题考査几何体的三视图的有关知识，考查计算能力，能够准确判断几何体的形状 是解题的关键，属于中档题.9.若双曲线 - y2 = 1的右支上一点Pdb)到直线y = x的距离为JT ,则 +的值为( )111 ,、1AA. 一一B. -C. 一一或一D. 2 或一2222 2【答案】B【解析】【分析】P("b)点在双曲线上，则有a2-b2=,即(d + b)

11、(-b) = l,根据点到直线的距离公式能 够求出a-b的值，由此能够得到a的值.【详解】P(Gb)点在双曲线上，则有a2-b2=,即(d+b)(d") = l又P点在右支上，则有a>b,： c-b = 2,(a+b)x2 = l, tz + /?= >故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属 于中档题.10在a1BC中，ZACB = 90。，D是BC的中点，PA丄平而ABC,如果PB、PC与平而人BC成的角分别是30°和60° ,那么PD与平而ABC所成的角为()A. 30oB. 45oC. 60oD

12、. 75°【答案】B【解析】【分析】设PA = 1，由已知求出PB = 2AB = ® AC £，CD冲，从而得到初"由此能求出PD与平而ABC所成角的大小.【详解】设PA = ,在 ABC中，ZACB = 90o, D是Be的中点，PA丄平而ABC，PE、PC与平而ABC成的角分别是30。和60。，/. ZABP = 30o, ZACP = 60o, ZADP 是 PD与平而 ABC 所成角， : PB = 2, AB = 4T = 3 , AC = IxCOt60o = y, AD = yAC2 + CD2 =PA.e. tan ZADP = 1,A

13、DAZADP = 45% PD与平而ABC所成角的大小为45。,【点睛】本题主要考查线面角的大小的求法，解题时要认貞审题，注意空间思维能力的培养, 属于中档题.11如图，过抛物线y2=2px (P> O)的焦点F的直线交抛物线于点q. B,交其准线/于 点C ,若CB = IBF ,且AF = 3,则"的值为()【答案】C【解析】【分析】分别过点A,万作准线的垂线，分别交准线于点E, 设IBFl =",根据抛物线泄义可知 BD = a,进而推断出ZBCD的值，在直角三角形中求得进而根据BD/FG,利用比 例线段的性质可求得P.【详解】如图分别过点儿万作准线的垂线，分别

14、交准线于点E D,设IBFl = ",则由已知得：BC = 2,由定义得：IBq=a ,故ZBCD = 30。，在直角三角形ACE中，V IAEI = 3, IACI = 3+3, /.2AE = AC,.3+3 = 6,从而得“故选：C.【点睹】本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线的左义和基本知识的综合 把握，属于中档题.12. 如图，四边形ABCD和AQPQ均为正方形，它们所在的平而互相垂直，动点M在线段P0 上，E、尸分别为AB. BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为&,则cos。的最大值 为()【答案】C【解析】【分析】首先以AB, AD A0三直

15、线为；V, y, 2轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2,M(0 , y , 2),从而可求出向 EyrAF的坐标，由CoSe=ICOs<丽,乔>1得到 Q2 _ y2 _ yCOSe =丁去,对函数肩.乔匸求导,根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而 求出COSo的最大值.【详解】解：根据已知条件，AB ADt A0三直线两两垂宜，分别以这三直线为, V,Z轴，建立如图所示空间宜角坐标系，设AB = 2,贝9：A(0,0,0),E(1,O,O),F(2,l,0);M 在线段PO上，设M(0,y,2),0y2 .丽= (-l,y,2),丽= (2,1,0)；y ÷

16、 5>5. COS 0 =I cos < Er. AF >1=,"'.设 EX*, n-V)= 5(v"÷55函数g(y) = -2y-5是一次函数，且为减函数，g(0) = -5<0 g(y)Vo在0,2恒成立,.,(y)<0:.在o,2上单调递减;2/ = 0时，/(刃取到最大值二5【点睛】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异而直线所成角的问题，异而直线所 成角的概念及苴范囤，向量夹角的概念及苴范帀，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数 符号和函数单调性的关系.第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1. 考生须用0

17、. 5亳米黑色墨迹签字笔在答题卡上題目所指示的答题区域内作答，作图题可先 用铅笔画线，确认后用0. 5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2. 本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13. 抛物线X= - 8y的准线方程为.【答案】y=2【解析】试题分析：由于抛物线X2= - 2py的准线方程为y吉，则抛物线x：= - Sy的准线方程即可得到. 解：由于抛物线XC= - 2py的准线方程为yg,则有抛物线X= - 8y的准线方程为y二2.故答案为y=2.14. MBC的两个顶点为A(0,0),B(6,0),顶点Q在曲线y = x2+3上运动，则M

18、BC的重心G的轨迹方程为.【答案】y = 3(x-2)2 + l【解析】【分析】可设重心坐标为(,y),顶点C的坐标为(无，儿)，根据已知条件将入、儿用"，$表示，再代入曲线y = + 3的方程，求轨迹方程.【详解】解：设C点坐标为(心，儿)，ABC重心坐标为(,y),依题意有3 =0 + 6 + X() , 3y = O + O+yo,解得=3a-6, )b=3)',因点c(*儿)在y = x'+3上移动，y0 = a + 3 ,所以 3y = (3x-6)2+3,整理得3(-2)2=j-1为所求ABC重心轨迹方程.故答案为：y = 3(x-2)2 + l【点睛】本

19、题考查轨迹方程的求法，解题时要认貞审题，注意三角形重心性质的灵活运用.15. 如图，在正三棱柱ABC-AlBICI中，侧棱垂直于底面，底而是边长为2的正三角形，侧棱长为3,则直线Bd与平面ABC所成的角为【答案】30°【解析】【分析】以3为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平而ABICl所的一个法向量的夹角，求岀则BBl与平而ABC所成的角.【详解】解：以3为坐标原点，以与BC垂直的直线为X轴，BC为)'轴，建立空间直角坐标系，则 A(3, b O), BI(Of Q9 3), CI(Of 2, 3) t Ax = (-3, -1, 3), BICI=(Ot 2, 0),B

20、Bl = (0 , 0, 3).设平而AdG所的一个法向量为2 =(八 儿Z)ABli = 0B1C1i =0_ VTV_y + 3z = 02y = 0IPQ = 2,则该双曲线的离心率为.取 Z = l，则得 n(y3. 0, 1),/ COS < BBIBBrn _ 3 _ 1 "IlnrS2"2/- BBX与平面ABC所成的角的正弦值为丄,2.BBI与平而ABlCi所成的角为£O【点睛】本题考査线面角的讣算，利用了空间向量的方法.要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系.2 216. 如图，已知双曲线C手-君= l(>0,b&

21、gt;0)的左右焦点分别为许、F1, I和=8, P是 双曲线右支上的一点，直线佗P与y轴交于点出AAP斥的内切圆在边PFl上的切点为0若r¥（的【答案】2【解析】【分析】由I Pg 1=2 , APF的内切圆在边PFI ±的切点为Q ,根据切线长泄理，可得PFx-PF11=4,结合I斤& 1=8,即可得出结论.【详解】解：由题意,HPQ=2, APt的内切圆在边P片上的切点为0,根据切线长立理可得AM=AN , FXM = Fl) , PN = PQ ,J AFI I=I AF2 , AM + FM = AN + PN + NF2,FN=PN + NF=PQ +

22、PF".1 PFJ TPF2l= HQ + PQ-PF? = F、M + PQ - PF? = PQ + P® + PQ-PF? = 2PQ = 4 ,|昭1=8,即 2d = 4, 2c = 8二双曲线的离心率是e = - = 2a【点睛】本题考査双曲线的离心率，考査三角形内切圆的性质，考査切线长立理，考查学生的i算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17. 如图，正方体ABCD-AC中，对角线AC和平而BDCx交于点O, AC. BD交于点M ,求证：G、0、M三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证G、

23、0、M三点共线，只须证它们都在平而.CiCA与平而CIBD的交线上，根据立体 几何中的公理可知，只要说明G、0、M三点是平而ACCA与平面GBD的公共点即可.【详解】连接AC，,:ACCBD = M , ：. MEAC,则MW而AlGCA , MW面GBP'又 A1C BDC1 = Ot OeAlCt OeBD则 OW面 A1C1CA , OW而 CIBD ,即G、0、M均在而AGCA内，又在而GBD内则G、0、M必泄在而A1CICA与而GBD的公共交线上，即G、0、M三点共线.【点睛】本题主要考查三点共线的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题.18 已知顶点在原

24、点，焦点在X轴上的抛物线被直线y = 2x + l截得的弦长为皿，求抛物线的方程.【答案】F=-U或于=12厂【解析】【详解】试题分析：本题考査抛物线的标准方程以及抛物线与直线相交的弦长问题，考查基本的计算能力先设岀抛物线方程，由抛物线与直线相交列出方程组，消参得关于X的方程， 得到两根之和、两根之积，将弦长IABl进行转化，把两根之和.两根之积代入，解方程求出 参数P，从而得抛物线方程.3y =2 PX试题解析：设抛物线的方程为y2=2px.则得y = 2x + IP 214x2 -(2-4) + 1 =0,1 +x2 = -,X1X2 =24,IABl = 1 + A2 x1 -x2 =

25、5(x1+x2)2-4x1x2 = 5-4x* = 15则4p =艮'-4p-12 = O,/? = -2,或 6, /. y2 = -4x,或 y2 =12a.考点：1抛物线的标准方程：2弦长公式：3两根之和、两根之积.19. 已知点A(29a)9 圆C:(x-l)2 + y2=5（1）若过点X只能作一条圆Q的切线，求实数&的值及切线方程：（2）设直线2过点月但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线/被圆C截得的弦长 为2 JJ,求实数a的值.【答案】（1） a = 2,切线方程：x + 2y-6 = O或 = -2,切线方程：x 2y 6 = 0： （2） = 1 或

26、= 3【解析】【分析】（1）由切线条数可确泄A在圆上，代入圆的方程可求得d：根据在圆上一点处的切线方程的 结论可直接写得结果：（2）设直线/方程x+y = b（bO）9代入点A坐标得到b = a + 2;利用点到直线距藹公式 求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得【详解】（I）过点A只能作一条圆C的切线4在圆C上1 + /=5,解得：a = ±2 当67 = 2时，4(2,2),则切线方程为：(2-l)(x-l) + 2y = 59 即x + 2y-6 = 0当 a = -2 时，A(2,-2),则切线方程为：(2 l)(x-l)-2y = 5,即 x-2y-6

27、= 0(2)设直线/方程为：x + y = b(bO) .2 + a=b直线/方程:x+y-2 = 0圆C圆心到直线距离=|l + 0_a_2|_ ” + 1|=右.2j5-/=2J'解得：“ =1 或。=一3【点睹】本题考査过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：1. 过圆（X 6） +（y-h） = r求证：AE丄PD； 求证：EF平而PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】上一点（XO,y。）的切线方程为：(Xo-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r2:2. 直线被圆截得的弦

28、长等于27Fy20. 如图，已知四棱锥P-ABCD,底而ABCD是菱形，PA丄平而ABCD, ZABC = 60。,E是BC边的中点，F是QA边上的中点，连接AE. EFD(1) 通过底而ABCD是菱形，ZABC = 60°,可以得到AE丄AD,由PA丄平而ABCD可 得PA丄AE,由线而垂直判泄可得AE丄平PAD进而可得结果：(2) 如图，取AC的中点为O,连接EO, FO，通过EOCD，Fo/PC来证明平面EOF/ 平而PCD，进而可得结论.【详解】(1)证明：TABCQ是菱形，ZABC = 60% ABC为等边三角形， AEl.BC, AE 丄 AD.又t: PA丄平而ABCD

29、,AEU 平而 ABCD,PA丄AE,由 PArIPD = P,/. AE丄平而PAD，而Pr)U平而PAD >AE丄PD(2)如图，取AC的中点为0,连接E0, F0,则EO, FO分别 ABC, PAC的中位线，/. EO/AB ,则 EOCD, FOIIPC,由线而平行判左立理可得：EO/平面PCD, FO平面PCD又 PCQCD = C,则平而EoF平面PCD而EF U平面EOF ,故EF/平面PCD【点睛】本题主要考查了通过线而垂直得到线线垂直，通过构造而面平行来得到线而平行, 属于中档题.21 .已知椭圆C: = +补= l(">b>0)的离心率为弓 椭

30、圆C与)'轴交于"两点，且 IABI = 2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PAPB与直线 = 4分别交于M,W两点.是 否存在点P使得以MN为直径的圆经过点D(2,0)?若存在，求出点P的横坐标；若不存在, 说明理由.2【答案】(I) - + y2=i (2)点尸不存在.4【解析】分析：(1)根据椭圆的几何性质知Ib = 2,即/2 = 1,再由离心率得e = - = ,从而可得 a 2 = 2,得椭圆方程：(2)假设点P存在，并设P(,y0)>写出PA的方程，求出M点坐标，同理得N点坐标，求 岀MN的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过

31、点D得一关于无,凡的等式，把P点坐标代入椭圆 方程后也刚才的等式联立解得x。，注意入的范用，即可知存在不存在.详解：(1>由已知AB = 2,得知2X2,又因为离心率为3,所以.2a 2因为 a2 =2 +?,所以 «=2,r2所以椭圆C的标准方程为匚+ V2 = I.4(2)假设存在.设 PeWO) M(4,m)(4,"由已知可得月(ai) B(Q-1),所以肿的直线方程为严FE,儿十I IBP的直线方程为P =一戈-1所以MW =线段叩的中点作）, 若以;V为直径的圆经过点D (2,0),KlJ(4-2)1+(T-O)J=(I-2所以X（I = 8,而-2,2,矛

32、盾，所以这样的点尸不存在.点睛：解析几何中存在性命题常采用“肯左顺推法”，将不确左性问题明朗化，其步骤为： 假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待左系数法设出，列出关于待左系 数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则不存在.22.如图，梯形ABCD所在的平而与等腰梯形所在的平而互相垂直，AB"CDHEF,AB丄AD. CD = DA = AF = FE = 2, AB = 4.（1）求证：DFll T-MBCE;（2）求二而角C-BF-A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G ,使得AG丄平而BCF '?不需说明理由.【答案】(I)详见解析(2)斗(3)不存在【解析】【分析】(1) 根