9-5隐函数求导公式.

1、第九章801801唸幽赦的求导方注一. 一个方程所确定的隐函数 及其导数二、方程组所确定的隐函数组 及其导数第一冲屮讲了隐函数方程（工丿X 0的求导法sin«r+sinp xcos+ 2y例：xsiny1 -cosx= 0=> sin，+ 才 cos 妙'+ 2sin x= 0 => y =-隐函数存在定理1:（ 一元） 设函数尸（xj）在点4兀，必）的某邻域内貝有连续的 偏导数，且! g必）",仔（托,片）工0,则方程/'（工”卩）=0在点（托,必）的某一邻域内恒能确定一个 单值连续口具有连续导数的函数：,F= /（.r）, 它满足条件：必=/

2、（壬），并有:彳= _£tdx F、801对蹩=£作推导：dx F、方程"rj） = O确左丄堤卅J旳数：，= ./（才）,则：/Xr,/（r） = 0两边求导；竺空十竺妙"dx cix dy c/xn 乌+ 尸；么 o => = -dxdx卜、（人连续，歼（心必）工0）I在（心必）的某一邻域内巧.#0丿若/（XJ）的一二阶偏导数连续，则有:F/厂卩几% * -行存+ F凡dyF;F； dxFf； - 2 少迟.+ F、FIf丁丁4例、xsinp + j/2-cos才=0求:妙c/x解： 设= .rsin f+X -cosx卜 = sin 夕+si

3、n上F、=才 cos 7+ 2rdy /； _ sin7+sin 才 1 1c/x F才cos2y隐函数的存在定理可推广到多元函数隐函数存在定理2（二元）设函数川工” z）在点円兀.儿兀）的某一邻域内具冇 连续的偏导数,IL: “讥,必凤）=0, /；（兀儿Z°）H（）, 则方程/（x.必z） = 0在点（扯.必,兀）的某一邻域内恒能 唯 确定个单值连续函数，IL具有连续偏导数 的函数Z=/（*J）,它满足条件：Zo=/（Jo）,ins 口推导: /'(才丿z) = 0确定了z =./(兀p) => A(x,必ZU刃)=0两边利用女尤复合函数的求导法，分别对X、，求导得

4、:"/连续，且点（竝,必,Zo）hO,、 存在点（托，必吕）的某一邻域，使得厂H0,竺®X1728#例、求由方程24Z-2x+ln() = 0j?rW定的z = /氐刃的全微分於解：设：Pxyy.z) - 2xz - Ixyz + ln(xKr)/： - 2z - 2yz+、F = -2.ir + ,/< = 2 才一 2切 + 上'y *" z. dz=l_和dx + (_pdyF.Az .z( - 2xvz) .=c/x:-dvx j2xz-2xyz+)#匕一一-匕一一石一 设厶九-办氐¥= A £ : 解 PC（兀*一龙ET

5、”陀一 1）（才J对称）cxdyzvxz-)-zxzvg-1)'cz _ 右J(z_ 1) _ z_ 1 + ”J 代工 r3/ + 2二 0】厂/(z-l):一 或解法为两边对才求偏导:/ - NT=> e:zx -yz-xyzx = 0同理有：彳=-一（T -XVr10例、设“一 GT = .70丿一尿）解：设：FQc、y、z = xaz Jy 一冋F、=F、=_f' F尸一a+bfdz _1云一 a_bfdy a_ bf、 a bf = a _ bf a _ b_设函数z =珂才丿，）山方程（*+三,p+三）=0 y X所确定，证明:xy-z-xy6x dy证明：设

6、：Gx.y,z) = / (x+ - ,j+ -)v xGx x,y,z)=彳''+ A '(-A-)=右 电"= qCrj,z) =-二岸+£ = W 严 yxGa”z)=丄斤+丄人，=临+血'夕 Xxy函数7关J 才丿对称12I空= ° F尺_ zF； _用斤一旳 xF* yF； r 一_ 心+城)dz_ =° #尺-迅，=2斤-旳石 一坊旳 / _ X W+ M；)dz dz 対 FU心仟-”;) X + 1/ = V = = 1/ ! = dx “ 8y W+W) W+W)_ "斥丿率4"乍-坨

7、&_xFyF：二(z-切)(04丿Q 二 z_& "(S+旳!*例设 +sinc : ein 以其中油方程cos2x+cos2 f+cos2 j= 1<r所确定的二元函数，求包'r r;飪 ' I I I I解詈+疽Z"嗨而 cos2 x+ cos2 y + cos2 z = 1两边对球导dzn 2cos xsin x- 2cos zsin g = 08x dz _ sin2xdx sin2zcu上(匸.sin 2才. = ztr 一xe + j cos jzdx*sin Iz 例、设因数* /（）,方程=卩（）+ J "（/

8、）确定是工 的函数，其中/<“）,<?（"）可微,/V）.0（）连续， 且讥）丰 1,求/U）二+Ar）T- ar oy解：£ = /（"）（二八 J"i亍=/（）, dxdxoyoyfl）又 “ =（p（） +（/）di/. 5zz ,、 = = </>（）=+ oxoxJ = ©（）¥-Xr） oyoy15liana a6dx 1 - 0（）5（2）式代入（1）式得:=A/）-Ax）-dx1一0（）CX+A.r） =/（）_0（）一16I例、设二/才/?）有连续偏导数,7（才）分别由方程：才-” = （）和

9、/-X7 = 0所确定,解：彳二巧+0空+乞竺dx dx dydx Qz dxH - Q =()xen -1 xyr-(Z+X) = 0 dxdz z=>=<ix Hz-l)dx dx 1-切 dy .心一 i) b二仃课堂练习:（1）函数：z =列工，）由力程刃丿+丿z-y匸=0确定，求於（2）设z = z（.r,刃由方程“+#+/ =切辽）所确定，口/可微，求必y（3）设z =.刃上）+丿*（兰）,其”（）,£（）是二阶可微，求吕x yoxoy（4）设 =lii（°+3zj,比中z= zx.）111 方程Fz-”2 = 1 所确定，求?dx（5）设Z（才丿具

10、有连续偏导数.已知方程A（-r.） = （）.4Z Z求dz.18WQ+X) o7xp%xa h z w h 专 A h.0黑+a = (x)<竝富Ns 诃遷OH% 十*si沁BWWKUZ ：滋还(DMX.Kn + 乜(5 xs'TIte n.UAIZZ"T)x.blzz=< X 、纠 +>1 A H (计 I) X PNI)>Id z M y 、 (WIAIXeuy (NI)£GI%+r+JAzfxw 烛“谨Np荻題I口、rn!I锻選言 (n H 入 +、+ Jgs.7 m(XK n 直Q)(3)萍 z "<?)+£

11、;(1)-目s/、)人(、)肚 莓x " 弋q赛 竽、(氏)h、(氏)+瓦(心)一dx x h x < 土氏)氏、氏)+罷)XXX卡 H、(!>一 <(氏).氏、(氏)一 + 汽(*) XXX X X X X J、 :卜、氏)當) dz3x 0+3Z ulr-I+I is、+3z +3zdx 萍2x>z)Htzl& l F yxz F,"% bvz hI 絆 2r 9. Q 6話 indr凶):I 2I2R ? q+3z (vr+3h><2 耳)q22Bas（5）设尺才.0具有连续偏导数已知方程Z（T,） = 0,求dzz z解法

12、1利用偏导数公式.设z = /Crj）是由方程 （二寻=0确定的隐函数则 z 2氐=_ 耳屯zF ；乔二斤（-空）+禺（-g） 一 "Z+p禺孟Z少 _ _2 * i Zldy什（一咅）+頁（一1）_工什+尹禺故dz =孰才+孰厂二尸（斤（1才+创刃dx 8y xl yr2解法2微分法.对方程两边求微分:r v/I-）=0哼 7斤 d(-) + / d(Z) = 0zzp rdx-.idzzdy-yz/(一p)+/)( ” )=0S+必,_/iUr+dpd.-一dz =占- (/fd才+丿迪) 朽+2二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个

13、方程确定两个隐函数的情况为例，即<7（七”.v） = 0v- Ww）由/; 67的偏导数组成的行列式7称为只 G的雅可比（Jacobi）行列式.定理3设函数A（x.只.v）. Ci（x. y、. v）满足： 在点尸（才0必0代）的某一邻域内具有连续偏 导数； 尸（"oJo, o ° H） = 0 ° 5",片 o 厂（）=0 ： 丿工（）P 敞,0 P则方程组?（xy. za “） = 0.（y（x./, f） = 0 在点（必丿。） 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件0 = （必，必）, “0 = “心（）的单值连续函數二/心:尹）.”=Kxj）

14、 且有偏导数公式：263/_ 1 6(/； 6)dx J9(x, v)O"二 20 =1 Fy FvBy J 6(” r) /： Fv Gv Gv28!设方程纽/(#*) = ()(7(儿”0 = 0 = （工 H 有隐函数组,）则dv15(A0_1A； Jdx<70(, x)A； F, G"伉氏q定理证明略dv1F. F、仅推导偏导 数公式如下：化人 G“ G、Gu Gv28!a；必（才J）. p（xj）三（） 以広丿为三028!两边对才求导得G+ + a/axaz/-ax这是关于JOX OX的线性方程组在点的某邻域内系数行列式7="H（）,故得28!dx

15、v)dv_ 1"6) dx ./ c(/. x)同样可得3/ = _ 1 认F、G) dyJ 厌” v)30laiDaa)dv矿15( A 6)7a(,7)a30laiDaa)30laiDaa)例、叫蔦鳥求:諾諾 解：两边对工求偏（数30laiDaa)3/ +上一 dxdi/ y U dx+ v+x=0=0di/ dvxy = _dx 7 dxdi/ dv y + x = -v "dx dx30laiDaa)解方程组得：=ox47/ +丿少 5" f + r: J =" = x2 + J，H 0y x30laiDaa)av一 砂 az>= av-a

16、rap-砂加 一ex 求 ”，O 1 一 + 一一一一 V w rr : 一 严 QV上砂加_砂 如 Ma/a/¥ > 同 f :w I 例丨7/ + ”+.J 厂例、设:求:y-u vzdu dv 5zz 5v 5/ dv ex ' oxdz dz解：两边对才求偏导得:=>8dx./ = -：" = -luz-1 丰 0时有唯解加二 z dv= 1Sr 2/zr+T 臥2必+132(!例.设:”=W + y+z 寸du dv ou dv du dv ”= + £dx dx" dy " dy dz dz36OHM36OHM同

17、理:36OHM36OHMdv + z=10¥du 1n=dy 2/q+1dv -2/dy 2比+136OHM36OHMdv=2/V+12/Z+1r 0 dV ,2/ + = 1dz dzd/ dv+ z = -v .dz dz33一沁A. du ou ov dv例?殳 xii-yvQ.求ex cv ox oy 解：方程组两边对才求导，并移项得练习:求字，? cy dv由题设八yxv- vu?T747/+ yv答案：内容小结1 隐函数存在定理2 隐函数求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算:方法2.利用微分形式不变性；方法3.代公式补充例题:厂1； 几 zv、4 0Z ox dx7空二/U+y+Z刃，求 丁，.AxyJiJ + xzjox cz oy36OHM2、设 = 七必习 有连续的一阶偏导数，又函数y=j及z ="）分别由下列两式确定:e