华东师大版八年级上册因式分解复习(教师版).docx

1、因式分解复习课(一) 知识储备一、因式分解的概念(1) 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。(反复强调化成乘积的形式，而且要进行到每个因式都不能再分解为止)(2) 因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式(和差形式).整式的积(积的形式)整式乘法二、因式分解常用方法一：提取公因式法1. 一个多项式屮每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式2. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式 后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。3.

2、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：(1) 公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幕的积。(2) 公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式三、因式分解常用方法二：公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。平方差公式：a2 -b2 =( a + b)(a b)(2) 完全平方公式：÷2ab +b2 =(a +b)2 ； a2 2ab +b2 = (a b)2四、因式分解常用方法三：十字相乘法少 +=+=+a)(才 b)亠、1十字交叉法的定义： 一般地，X PX q x2 (a b) X ab ( X可以用

3、十字父叉线表示为:利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。2.十字相乘法的依据：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则。乘法公式中：(X ÷a)( X +b) = X2 ÷(a ÷b)x ÷ab反过来可得：X? +(a +b)x + ab = ( X+a)( X+b)4. 用十字相乘法分解的多项式的特征:(1) 必须是一个二次三项式；a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于一(2) 二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，公式中的X可以表示单项式，也可以表

4、示多项式；(3)对于二次项系数不是的二次三项式ax2+b+c (“、b、C都是整数且a 0 )來说，如果存在四个整 数 a ,a2,c1 ,02,使 aSa2=h9 CI 岂2工,a1c2 + a2cI=b,那么 ax2bx HC= a a x2 (a c + a C )x÷c C - (a x + c )(a x + C )1 2122 1 I 21122，这种方法的特征是"拆两头,凑屮间”,这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂。五、因式分解常用方法四：分组分解法1. 分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。2. 常见的分组方法有：(1)

5、 “2+2”型：分为两组，每组两项，每组先提公因式，再总体提公因式，如X2-Xy -2x÷2b :(2) 1”型：“3”是可用完全平方公式的三项式，整体是平方差公式，如X2 -2xy ÷y2 9 ；(3) “3+2”型：“3”是可用完全平方公式的三项式，“ 2”是可以提取公因式的二项式，总体可以提取公因式，如X2 2xy +÷axay ；(4) “2+2+2 ”或 “3+3” 型，女口 3a2 3ab 2ab - 2b-a 4b , a x2 ÷bx 2÷bx x clx2 +ex；(5) “3+2+1 ”型，如 X2 -12xy + 36y2

6、-6x÷36y ÷ 8 .六、因式分解的一般方法及考虑顺序：1. 基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2. 常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3. 考虑顺序：(1)提公因式法；(2)十字相乘法；(3)公式法；(4)分组分解法；(5)其它常用方法与技巧(二) 双击回眸1.分解因式：1一tn? - n2+mn2 =；3.分解因式：X2 +2x -6y-9y2 =2.分解因式：4x2 -16=4.分解因式：X2 -22x - 75=5.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A. a (a +b) =a2 4*abB.48

7、 = 2 X 2x 2x 2:；3C. 2a2 -3ab=n(2a - 3b)D.a2+ a +1 = a(a÷l)4,1解法导析1. (1 +m -2 )(1 m)2.4( X 2)( +2)3.(x+3y +2)(-x 3y)4.(-25)( X5. 选C, A是整式的乘法，B是分解素因数，D也不是因式分解。(三) 例题经典例1 分解下列各因式:(1) 2-5a2÷50a ；(2) ( X-y)2 -( y-xF ；(3) 2a3 - 8a；(4) 3a3- 12a2÷ 12a；4 9I(5)a1 h2(6) X2 m÷2. y2n25100(7)9

8、- -6ab 一 a2b2(8) a2+ 12ak32b2(9) 5X2 一 15片 2xy *+6 y(10) x2 x + y2- yr 2xy 6解：(1)原式-25a(a 1)(2)原式=(JrX)'(I - yhx)(3)原式 a(a ÷2)(a - 2)(4)原式马a(a耳22 1 2(5)原式(÷b)( a1b)(6)原式=(xn+1 + y11 )( XmH y11)510510(7)原式=-(ab +3)2(8)原式=(a ÷4b)(a +8b)(9)原式=(x3)(5 X -2 y)(10)原式=(x÷y 6)(x +y+ 2

9、)例2.分解下列各因式：(1) _“7 +8a 32(3) a8 .La4 + 丄2 16(5) ( X2 3)2 x(x2 一 3) 2x2(2) 24xy 2z2 ( y -z) - 32XyZ(Z- x-y) +8xyz3 ( Z- x_y)(4) x417x2 + 16(7) 4x2 + 4xy-3y2 ÷2x÷lly 6 解：(1)原式=丄 CU 2+4)( a+2)( a _2)2(3) 原式=("+)2 (a2- )22 2(5) 原式=(x-3)(x÷1)(x2-3÷x)(2)原式=_8xyz(z -X- y)(3 yz

10、7; 4 -Z2 )(4) 原式= (x + 4)(x- 4)( x÷l)( X-1)(6) 原式=(2 x+3)(X- 5)(6) 2X2 -7-15= (2-y÷3)(2x÷3y - 2)(7) 原式=(2 -y)(2 xy) ÷(2 x + l Iy) 6例 3.已知 X2 +y6y2+j+byl = ( + 3yl)(x2y+l),求a、b 的值.策略点击：将右式利用整式的乘法乘开，然后根据各次项的系数相等进行计算。解： x2 ÷ xy -6 y2 ÷ax ÷by -1 ¾2 ÷xy -6y 2

11、÷5 y-1/. a = O, b=5例4.证明：25°-56能被24整除.策略点击：若259 -516能写成24与一个数相乘的形式，则说能被 24整除，利用提公因式法进行计算证明。证明：259 516=518 -516 =516 (2亍 Ir 2516二能被24整除例5.已知a、b、c、d为非负整数，且ac ÷bd ÷ad c = 2003,求a节÷d值.策略点击：利用提取公因式法进行求解，得知 2003是素数，只能写成 1乘以2003,所以可以方便求解。解：a(d ÷c) (d÷c) 2003(a ÷b)(c

12、÷d )=2003 a、b、c、d为非负整数. a 节 甘 ÷d =1 + 2003= 2004例6.因式分解：X4÷X2 +1策略点击：X4 ÷1若添上2x2可配成完全平方公式解:X4+x2 ÷ X4 +2x2 + 1 X2= (x2 + x+l )(x2 -4l)例7.因式分解：X3 4 Ix 20策略点击：把中项 一IlX拆成一 16x x分别与爪，20组成两组，则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)解：X3 -11X+2O=X3 -16 X +5x - 20=x(x2 16) +5(x +4) =X(X + 4)(X- 4l) 5

13、(xf-4) =( x )( x2 -4x )例 8.分解因式：(x2 -3x42)( X2 -3x 祥)一 72策略点击：将X2 -3x看作一个整体，进行因式分解，最后再将X2 -3x代入，注意最后是否因式分解完全。解：原式=(X2-3x)2-4(x2-3x)+2(x2- 3xr 8 72=(X2-3x) 2 - 2( x23x) 一80=(x2-3x- 10)( x2-3x + 8)= (X)(x÷ 2)(x3x÷8)例9.求方程Xy -X -y ÷1 =3的整数解。策略点击：利用因式分解进行计算，3是素数，所以分类讨论的情况不会很多，求解比较方便。解：原方程

14、可化为(X -l)(y -1)=3例 10.若 X2 ÷7xy +my2 -5x ÷43y -24 可以分解成 Xy的两个一次因式的积，试确定ITl的值.X , y为整数，原方程可 化为四个方程组：YLX-II=r F 1=3X T = -3LyT3=I r ITLy4 一 3IyT =-1则X ,y)的解为(2, 4 )、(4,2)、(0, -2)、(2, 0)策略点击：用待定系数法，令 X2 +7xy ÷my2 -5x ÷43y -24 =( x + ay ÷b)( x÷cy +d ),再对比系数求得解：设 X2 ÷7x

15、y + my2 _5x + 43y 24 =( x +ay +b)( x + cy +d )X2 +( a +c) xy +acy2 +(b + d )x ÷(ad +bc) y ÷bd .对比多项式的系数得：b8N- =3或b ,d8 = -(1)当 b = -8, d = 3 时，得 a =9, c = 2 ,当 b =3, d = -8 时，得 a = -2, c = 9 .*. m = L8 .实战演练一、填空题：1. 若 X? 4x h3 =(X -a)( +l),则 a =-3；2. 因式分解：X4 -29x2 + IOO=(X +2)(x-2)(x)(x -5

16、)3. 0.0121x2 y6=( .llxy3 )2；4. 当k =1或7_时，X2 -2(k÷3)x ÷16是一个完全平方式；5. -83 y2 ÷ 4x2 y3 ÷28x2 y2 的公因式为4x2 y2；6. 若 X+ y =4, X2 + y2 = 6 则 Xy=3；7. 方程X 2 +4x = 0 ,的解是_0或-4；8 若 Xm - y n = (x + y 2)( X -y 2)( X2 y 4 ),则 m=_4, n = 8 .9. 因式分解：X2" llxn 12 =(Xn "12)( xn+1):10. 若X， k

17、xT5 = (x+a)(x+b) , a > b是整数，贝IJ a ÷b可能是勺4或宝11 分解因式：228( y)2 二12. 若 a 6a b 4b 130,则 a13. 分解因式：aX24b2 b a %x2 C2(3x2 y)(2 y x)3 , b(X +l)(x l)(a2_+b C)X 14.已知1十15.若 X?二、选择题:+2 +2004 +2005= 0,则 20°6 = _ + 4x 4的值为0,则3x212x 5的值是_71 如果多项式A. 24a2÷ ka + -U是一个完全平方式，则 k的值应是（4B. 4C.2 D.±

18、22.下列多项式屮，能用完全平方公式进行因式分解的有（(2) x2 -2x ÷13) x2 ÷2x(4) x2 -4x A1个B.2C3D.43.如果多项式9x2-30x-m是一个完全平方式，那么的值是（A. 5B.-5C.25D.-254.多项式 36 Xn -48Xn ÷16Xn分解因式正确的是A. 6(xn 1-2xn 十)2 B.4xn (3X-2 XT )2C.4 Xn t(3一 2)2 D. 4xn (3x2-2)25下列因式分解正确的是（A. a4 - 5a + 4 =(a2 -l)(a2-4)B.X2 y2xy 一 35y 千X -7 y)( x4

19、5y)C. 4X2- 2-15 = 4(x+3)( x5)D.(a + b)2- 5(ab)6 = (a -6)(a +b 4I)6.已知二次三项式2X2 +bx + C 分解为 2( X- 3)( x+l),则 b、C 的值为(DB.C. b = -6, C= 4D.b= 一4, C = 一67. 4X4 一 ( y - z)2有一个因式则另一个因式是（AA. 22-y+zB.C. 2x2 + y- zD.2x2+y 三、把下列各式分解因式:1. 4xy2-4x2 y- y32.16a2 - 8a +原式=y(2 - y) 2原式=(4a - I)23. (Xy) 2 12(x 一2 y)

20、+324.ab(c2-d2)-cd (a 2 b2 )原式=(x-2 y-4)( x -2 y - 8)原式=(ac+ bd )(be ad )5.丄m3n_Lm2ii2 + dmm6.(X2+ y2)2 _4 X2 y24416原式-1 mn( ITl _ 1 n) 2原式=(÷ y)2 (X- y)2427. a3 -5a2b 吆4 ab28.x4-18x2 + 81原式=a(a -8b)(a+3b)原式=(X+ 3)2 (X- 3)29. 9X4 -36y 210.(X ÷l)(x + 3)( x÷ 5)( x÷ 7)÷ 15原式=9(

21、X2+2 y)( X2 -2 y)原式=(x+ 2)( x÷ 6)( x2÷ 8x÷10)11.利用因式分解计算：(1) 7.6 )300.3 + 4.3 200.3.1.¾200.317(2)x7+-Llx17583758 37(1)原式=200317(2)原式3712. (Xt)(X + 2)(x +3)(文 4)-24原式=(?+5x)( X2 +5x10)四、简答题:1.已知 X +y P,求 3 +x2 y+xy2 +y3 的值.原式=O ；2.当 a = 一5 时，求(1 _a) 2-4(l _h2 ) ÷4(1 ) 2 的值.3原式=16 ；1 1 13利用因式分解计算：(1 -T)(I- 2 )(1-2),2341()(1-12 ),910解：原式=K-XwX5x4“4- Xft2× 4n 1 1 n4. 已知 2x _ y =L, Xy Z，求 2X4 y3y 4 的值.3解：原式=x'y3(2_y) =X.× S=£ ；33