初等数论练习题

1、初等数论练习题信阳职业技术学院2010 年 12 月精品文档初等数论练习题、填空题1、d(2420)=;(2420)=?2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=?3、模9的绝对最小完全剩余系是 o4、同余方程9x+12m0(mod 37)的解是?5、不定方程18x-23y=100的通解是。6、分母是正整数m的既约真分数的个数为 。7、18100被172除的余数是 o1039、若p是素数，则同余方程x p 1 1(mod p)的解数为。二、计算题1、解同余方程：3x2 11x 20 0 (mod 105)。2、判断同余方程x2m42(mod 107)是否有解？3、求( 127156+

2、34) 28除以111的最小非负余数。三、证明题1、已知p是质数，(a,p) =1,证明：(1)当 a 为奇数时，ap-1+(p-1)a= 0 (mod p)；(2)当 a 为偶数时，ap-1-(p-1) am0 (mod p)。2n2、设a为正奇数，n为正整数，试证am1(mod 2n+2)。k3、设 p 是一个素数，且 1&k&p-1。证明：Cp 1(-1 ) (mod p)。初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=;(r(1000)=o2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是。3、费尔马(Fermat)数是指Fn=22n+1,这种数中最小的合数Fn中的n=。4

3、、同余方程13xm5(mod 31)的解是。5、分母不大于m的既约真分数的个数为 。6、设7 I (80n-1),则最小的正整数n=。7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=。9、若p是质数，n p 1 ,则同余方程x n 1 (mod p)的解数为。二、计算题20041、试求20022003 被19除所得的余数。2、解同余方程 3x14 4x10 6x 18 0 (mod 5)。3、已知a=5,m=21，求使ax 1 (mod m)成立的最小自然数 x。三、证明题1、试证13|(54m+46n+2000)。(提示:可取模13进行计算性证明)。2、证明Wilson定理的逆定理：若n

4、 > 1,并且(n 1)!1 (mod n),则n是素数。3、证明：设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数4、证明：若 2P 1 是奇素数，则(p!)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。5、设p是大于5的质数，证明：p4m1(mod 240)。精品文档初等数论练习题三、单项选择题1、若n>1,(n)=n-1是n为质数的()条件。A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2、设n是正整数，以下各组a, b使b为既约分数的一组数是()。aA.a=n+1,b=2n-1 B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b

5、=3n+1D.a=3n+1,b=5n+23、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数 C是()。A.19B.24C.25D.304、不是同余方程28x三21(mod 35)的解为()。A.x三2(mod 35) B. x 三7(mod 35) C. x 三 17(mod 35) D. x 三29(mod 35)5、设 a 是整数，(1)am0(mod9)(2)a三2010(mod9)(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9,所得的新数被9整除以上各条件中，成为91a的充要条件的共有()。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题1、(T (

6、2010)=;(2010)=o2、数C120的标准分解式中,质因数7的指数是 o3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是4、同余方程24xm6(mod34)的解是。5、整数n>1,且(n-1)!+1m0(mod n),则n为(填：素数或合数)。6、3103被11除所得余数是。6 607 、 一 =o97三、计算题1、判定(i)2x3x23x10 (mod 5)是否有三个解；(ii)x62x54x230 (mod 5)是否有六个解？2、设n是正整数，求c2n,c2n, ,c2n1的最大公约数。3、已知a=18,m=77，求使ax 1 (mod m)成

7、立的最小自然数 X。四、证明题1、若质数p>5,且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。2、设p、q是两个大于3的质数，证明：p2=q2(mod 24)。3、若x,yCR+,(1)证明：xy刁xy;(2)试讨论xy与xy的大小关系。注：我们知道，x y >x+y , x+y < x+y。此题把加法换成乘法又如何呢?4、证明：存在一个有理数其中d< 100，能使(提示:由( 73,100) =1,利用裴蜀恒等式来证明)初等数论练习题四、单项选择题1、若 Fn=A. 22n21是合数，则最小的B. 3n 是()。C. 4D. 52、记号 ba II a 表示 ba | a

8、,但 ba+1 |a.以下各式中错误的一个是)oA. 218 II 20!B. 105 II 50!C. 119 | 100!D.1316 | 200!3、对于任意整数n,最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是()°A. 1B. 4C. 1 或24、设a是整数，下面同余式有可能成立的是()。A. a2 m 2 (mod 4)B. a2 m 5 (mod 7)C. a2 m 5 (mod 11)D. a2 m 6 (mod 13)5、如果amb(mod m), c是任意整数，则下列错误的是()A. ac= bc(mod mc) B. m|a-b C. (a,m)=(b,m) D

9、. a=b+mt,tCZ二、填空题1、d(10010)=; 4(10010)=o2、对于任意一个自然数n,为使自N起的n个相继自然数都是合数，可取N=<3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件。4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模 12的一个简化系，则这组数是<5、同余方程26x+1m33 (mod 74)的解是。6、不定方程5x+9y=86的正整数解是。7、5489三、计算题1、设n的十进制表示是13xy45z ,若792 n,求x, y, z。2、求3406的末二位数 3、求(214928+40)35被73除所得余数四、证明题1、设a

10、i, a2, , am是模m的完全剩余系，证明：(1)当 m 为奇数时，ai+ a2+ + am 三0 (mod m)；(2)当 m 为偶数时，ai+ a2+ + am = m m mod m)。2(m)2、证明：若m>2, ai, a2, , a (m)是模m的任一简化剩余系，则ai 0(mod m).i 13、设m > 0是偶数,ai, a2, , am与bi, b2, , bm都是模m的完全剩余系,证明：ai bi, a2 b2, , am bm不是模m的完全剩余系。4、证明：(i) 2730 I xi3-x;(2) 24 I x(x+2)(25x2-i)；(3) 504 I

11、 x9-x3;(4)设质数p>3,证明：6P I xp-x初等数论练习题五一、单项选择题1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系，若（）通过模mn的完全剩余系A.m、 n 者B是质数，则 my nxB. mwn, 则 my nxC. （m, n） =1,贝U my nxD. （m, n） =1,贝U mx ny2、1X3X5X-X 2003X 2005的标准分解式中11的幕指数是（）。A.100B.101C.99D.1023、n为正整数，若2n-1为质数，则口是（）。A.质数B.合数C.3D.2k（k为正整数）4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是（）。A.33B.34

12、C.35D.365、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是（）。A.100B.10C.40D.4二、填空题1、同余方程ax+bm0（modm）有解的充分必要条件是 。2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指 o3、20112011被3除所得的余数为 o4、设n是大于2的整数，则（-1）（叽。5、单位圆上的有理点的坐标是 o6、若3258X a恰好是一个正整数的平方，则 a的最小值为。7、5897三、计算题1、求 32008 X 72009X 132010 的个位数字2、求满足（mn）= （m）+ （n）的互质的正整数m和n的值3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，内物每三斤1元，现在用100

13、元买这三样东西共100斤，问各买几斤 ?四、证明题1、已知 2011 是质数，则有2011|99 92010个2、设p是4n+1型的质数，证明若a是p的平方剩余，则p-a也是p的平方剩余.3、已知p,q是两个不同的质数，且ap-1=1 (mod q), sq-1 = 1 (mod p), 证明：apq=a (mod pq)。4、证明：若m,n都是正整数，则(mn)= (m,n)(m,n)初等数论练习题六一、填空题1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2, 3, 5,邛都不能整除2011,此时，质数p至少是 02、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是?3、设 3al 40!,而 3a

14、+1|40!,即 3alI 40!,贝U a =?4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是 。5、不定方程x2+y2=z2,2|x, (x,y)=1, x,y,z>0的整数解是且仅是 。6、21x9 (mod 43)的解是。二、计算题1、将2T写成三个既约分数之和，它们的分母分别是 3, 5和7 1052、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数？3、判断不定方程x2+23y=17是否有解？三、证明题1、试证对任何实数x,包有x+x+1=2x。 22、证明：(1)当n为奇数时，3 I (2n+1);(2)当n为偶数时，3| (2n+1)03、证明：(1)当

15、3 1n (n为正整数)时，7 I (2n-1);(2)无论n为任何正整数，7| (2n+1)o4、设 m>0, n>0,且 m为奇数，证明：(2?1, 20+1) =1。初等数论练习题七、单项选择题1、设a和b是正整数，则(巴旦,巴旦)二()。a bA. 1B. aC. bD. (a,b)2、176至545的正整数中，13的倍数的个数是()。A. 27 B. 28C. 29D. 303、200!中末尾相继的0的个数是()。A. 49 B. 50C. 51D. 524、从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是(A. 2的倍数B. 3的倍数5、设n是正整数,21n

16、4A.14n 3下列选项为既约分数的是(n 1 八 2n 1B. C. D.2n 1 5n 2)。n 13n 1、填空题1、314162被163除的余数是 o2、同余方程3x三5(mod13)的解是<3 , 3653、 () 。18474、-冗:o5、为使n-1与3n的最大公因数达到最大的可能值，则整数 n应满足条件三6、如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是 c7、同余方程x3+x2-x-1 =0(mod 3)的解是?三、计算题1、求不定方程x 2y 3z = 41的所有正整数解。2、有一队士兵，若三人一组，则余 1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队

17、士兵不超过170人，问这队士兵有几人?3、判断同余方程x 2286(mod 443)是否有解？四、证明题1、设(a, m) = 1, d0是使ad 1 (mod m)成立的最小正整数，则 d0 (m);(ii)对于任意的 i, j, 0 i, j do 1, i j,有 ai aj (mod m)。2 证明：设 a， b， c， m 是正整数， m > 1， (b, m) = 1 ，并且 ba 1 (mod m)， bc 1 (mod m)，记 d = (a, c) ，则bd 1 (mod m)。3 设 p 是素数， p bn 1， n N ，则下面的两个结论中至少有一个成立：(i )

18、p bd 1对于n的某个因数d < n成立；(ii) p 1 ( mod n )。若2|n, p > 2,则(ii)中的mod n可以改为mod 2n。初等数论练习题八、单项选择题1、若 n > 1,则(n 1)!1 （mod n）是n为素数的（A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2、小于545的正整数中，15的倍数的个数是（）。A.34B.35C.36D.373、500!的标准分解式中7的幕指数是（）。A.79B.80C.81D.82D. 1,1, 3,34、以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（）。A.1,9,-3,-1B.1

19、,-1,7,9C.5,7,11,135、设n是正整数，下列选项为既约分数的是（）。A. 3n-B.-C.n-D.n-5n 22n 15n 23n 1二、填空题1、（T （120） =o2、7355的个位数字是3、同余方程3x三5（mod14）的解是 c4、（23）5、72 ;o6、如果一个正整数具有6个正因数，问这个正整数最小是 o7、同余方程x3+x2-x-1 =0（mod 5）的解是三、计算题1、已知563是素数，判定方程x2 429 （mod 563）是否有解2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余3、试求出所有正整数n ,使得1n +2n+ 3n+4n能被5整除四、证明题1、证明：若

20、质数p>2,则2P-1的质因数一定是2pk+1形2、设(m,n) =1,证明：m +n (m) =1 (mod mn)ap bp 、3、设（a,b） =1,a+bw 0,p 为一个奇质数，证明： （a b,）1或p。a b初等数论练习题九、单项选择题1、以下Legendre符号等于-1的30被-1是（）A. B. C. -D.111111112、100至500的正整数中，能被17整除的个数是（）。A. 23B. 24C. 25D. 263、设 3 |500!,但 3 1 | 500!,则 a =（）。A. 245B.246C.247D. 2484、以下数组中，成为模7的完全剩余系的是（A

21、. 14, 4, 0, 5, 15, 18, 19B. 7, 10, 14, 19, 25, 32, 40C. 4, 2, 8, 13, 32, 35, 135 D. 3, 3, 4, 4, 5, 5, 05、设n是正整数，则以下各式中一定成立的是()。A.(n+1,3n+1)=1 B. (2n-1,2n+1) =1 C. (2n,n+1) =1 D. (2n+1,n1) =1 二、填空题1、25736被50除的余数是 o2、同余方程3x三5（mod16）的解是?3、不定方程9x12y=15的通解是,3234、=o415、实数的小数部分记为x,则斗= 46、为使3n与4n+1的最大公因数达到最

22、大的可能值，则整数n应满足条件<7、如果一个正整数具有35个正因数，问这个正整数最小是 o三、计算题1、解不定方程 9x+ 24y- 5z=1000。2、设A = xi, x2, , xm是模m的一个完全系，以x表示x的小数部分，若（a, m） = 1,求axib3、设整数n 2,求： i。即在数列1,2, , n中，与n互素的整数之和。 1 i n求:0(i,n) 14、设m > 1, (a, m) = 1, xi, x2, x (m)是模m的简化剩余系,其中x表示x的小数部分。四、证明题1、证明：设a是有理数，b是使ba为整数的最小正整数，若c和ca都是整数，则b I co (提示：利用带余数除法解决。)2、设p是素数，证明：(i ) 对于一切整数 x, xp 1 1 (x 1) (x 2) (x p 1) (mod p);(ii) (p 1)!1 (mod p)。3、证明：若2|n, p是奇质数，plan-1,则自 1。p4、证明：若p=4m+1是一质数，则(m) 1。pp 125、设 p 是奇质数，p 1 (mod 4),则：(-2)!)1 (mod p)。初等数论练习题十、单项选择题1、设p是大于1的整数，如果所有不大于 而的质数都不能整除p,则p一定是（）A.素数B.合数C.奇数D.偶数2、两个质数