初等几何研究精彩试题(卷)问题详解(李长明版)

1、初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1.。0、OQ相交于A、B,。0的弦BC交。于£,。02的弦BD交。0于F,求证：（1）若/ DBAh CBA则 DF=CE;（2） 若 DF=CE则 / DBAW CBA.证明：(1)连接 AG AE AF、AD在。中，由/ CBA= DBA导 AC=AF 在。Q 中，由/ CBA= DBA导 AE=AD 由A、C、B E四点共圆得/ 1 = /2 由A、D B E四点共圆得/ 3=/4 所以 AC自AAFDDF=CE2 2) 由(1)得/ 1=/2, /3=/4; DF=CE.AC自 AAFD. AD=AE在。Q中，由AD=A卸得/ D

2、BAM CBA3 .在ABC,AC=BC,/ACB=90,D 是 AC上的一点，AE，BD的延长线于 E,又 AE=1BD, 2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点FQ AED BCA 90 ADE BDCCBD CAF又 Q ACF BCA 90 AC BCACF BCD AF BD11又 QAE -BD AE -AF 22又 QABEE BEBE平分 ABF即BD平分 ABC4 .已知在凸五边形ABCDE中，/ BAE=3 ,BC=CD=DE>/ BCD+CDE=180 -2 ,求证:/ BACh CADE DAE.证明：连接BD,得 CB皿等腰三角形且底角是/ CD

3、B=1800 (180o 2 ) +2=./BDE=(180 -2 )- =180o 3.A、B、D E共圆同理A、C D E共圆 / BACW CADE DAE5 .设H为锐角 ABC勺垂心，若AH等于外接圆的半径求证:/ BAC=60证明：过点B作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D. / DBC=90 ,C混直径,贝U / CAD=90由题，可得AHU BC, BH± ACBD/ AH, AD/ BH四边形 ADBF是AH=BD又.AH等于外接圆的半径(R)/.BD=RM CD=2R在 RtABCD ,CD=2BD即/ BCD=30. / BDC=60又./ B

4、ACh BDC. / BACW BDC=605.在ABM，/C=9(J,BE是/ B的平分线，CD是斜边上的高，过BECD之交点O且平行于AB的直线分别交AG BC于F、G,求证AF=CE.证明：如图/ 1 = /3, /1 = /2. ./2=/ 3, /.GB = GO,Z5=Z4=Z6, /.CO =CE,. FG/ AB,：AF/CF=BGCG=GOCG,又 FCS COG/. C(XCF=G0CG=AFCF,CO=AF；CO=CE； AF=CE.6.在ABC，先作角A B的平分线，再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE/ BA,求证：ABC?腰.证:如图所

5、示设AC ED的交点为F.A渥/ A的平分线 / 1 = /2. DE/ AB./ 1=/3 . CE/ AD./3=/ 5, /4=/ 2 / 1 = /2=/3=/4=/5则4 FAD和 FCE是等腰三角形AF=DF,EF=CFAC=DE同理可证BC=DE .AC=BC .ABC是等腰三角形7.三条中线把 ABC分成6个三角形，若这六个三角形的切圆中有4个相等.求证： ABB正三角形.证明：.AOF AAOE COD A COE BOF BOL®积都相等 S>A OfFSa OEC即：1BFX r+ 1 FOX r+ 1 BCX r= 1 CEX r+ - OEK r+ -

6、 OCX r& (BF+FO+BO)X r= (CE+OE+OC/ r. BF+FO+BO=CCE+OE+OC.CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ2DH+2BH=2FK+2CK2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点AB=AC同理:AB=BC 故 ABB正三角形.8.平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的切圆相等证明：该四边形为菱形.C下载可编辑证明：又AOB ABOC、A COD DOA3个三角形的面积相等1 _八1 -ODDCOCr - OBBC OCr22BC OIOGCD OC OD BC OB OCOD OC DC OE OG OB OC

7、2DF 2CF 2BH 2CH2DC 2BCDC BC四边形为菱形9.凸四边形被对角线分成4个三角形，皆有相等的切圆，求证：该四边形是菱形证明：连结O、Q,分别作O、Q到AC的垂线，垂足分别为P、在ABC,BO是。O、。的公切线BOLQ O又.。O、。Q半径相同，且都与AC相切O O II ACBOL AC BDXAC;两个相等的切圆。O、 oQ在对顶三角形 AOBW COM 周长 CxAOB=CCOD . AO+BO+AB=CO+DO+CD又 OP=OQ=OM=ON . (AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) 2AB=2CDAB=CD同理AD=BC四边形A

8、BC星平行四边形又：AC BD四边形ABC0菱形10. 在锐角 ABC中,BD,CE是两高，并自B作BF±DE于F,自C作CGL DE于 G,证明:EF=DG.证明：设O,M分别是BC,FG的中点,所以OM/ BF,因为BF± FG,所以OML FG, 又因为/ BECh BDC90所以BCDE9点在以BC为直径的圆上，因为OML DE,所以OMff分ED,所以 FM-EM=MG-MD即 EF=DG.11. AABC+ ,M是BC的中点，1是心,BC与切圆相切与 K.求证：直线IM平分线段AK.证明：作出/ A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,

9、（如图）连接AD交接圆于L,则因接圆和旁切圆以A为中点成位似，则：ILLBC,即 K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化 MI平分AK, M平分DKBD=KC后者利用圆I与圆O两条外公切线相等.EG=FHBD+BK=CD+CK则反推过去，得到IM平分线段AK.12.在4ABC中,M是BC的中点，I是心,AH, BC于H,AH交MI于E,求证:AE与切圆半径相等.AB证明：如图所示作 ABC勺切圆，切点分别交于 BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC KL是直径，又丁乂为BC的中点，1为心，则AL/MI又 AH! BC.AH/ LK又点E点I分别都在AH LK上AE/ LI四边形

10、AEIL为平行四边形AE= LI命题得证.取P点，记Q为PMW AC的交点,求证：/QNMk /MNP证明：利用矩形的中心设O是矩形ABCD勺中心，则。也是MN的中点，延长QNR OC勺延长线于R,如图，则O又是PR的 中点，故NC平分/ PNR.,而NML NG.NMFF分/ PNQ14. 给定以。为顶点的角，以及与此角两边相切于 A B的圆周，过 A作OB的平行线交圆于 C,连2OC交圆于E,直线AE交OB于K,求 证:OK=KB.证明:如图所示，过C作圆的切线交OB延长线于D.OD,OA,CDTB是圆的切线,且 AC/ CD四边形ACD医等腰梯形,/ DOA= D/BOC= ACO/AC

11、O=OAK/ BOC= OAK/ DOA= D.AOK-AODC.CD1.KO1 -OD2AO2; OA=OB.OB=OA=2KOR OK=KB15. 在等腰直角？ ABC勺两直角边CA,CB上取点D E使CD=CEMC D引AE得垂线，并延长它们分别交 AB于K、L,求证:KL=KB.证明：延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.？ ABCM等腰直角三角形AC=BC，/ACBW BCE'=90又. CE=CE' .？ BCE'W? ACE /CAEW CBE' / AECW BEH . ? BHa? ACE/ BHE

12、W ACB=90 DL/ CK/ E'B 及 DC=CE' .KL=LB16. 点M在四边形ABC皿得ABM为平行四边形，试证：若/ CBM= /CDMW/ACDN BCM.证:作 AN/ BC且 AN=BC连接 DN NC. ABM西平行四边形，AN/ BCM AN=BCABCN DMCNfe平行四边形,AD=BM.DN=C MAN=BC.AD卑A BMC./ 1=/ 3, Z2=Z 4, Z6=Z 7,/ 1=/ 2./3=/4A、C、Z D共圆（视角相等）./5=/7 （同弧 AD./5=zP/ACDM BCM17.已知/ ABCW ACD=60 ,且 / ADB=90

13、-1 / BDC求证: ABC是等2腰的.证明：延长CD使彳# BD= DE,并连结AE / AD& 90 1 / BDC 2 2/AD拼 / BDC= 180又/ BDG / AD济 / ADE= 180 /AD± /ADE又 BD= DE,AD= AD.AD唉 A ADE/AB氏 /AE氏 60 ,AB = AE又/AC氏60 .AC出正三角形 .AC= AE .AB= AC .AB泌等腰三角形18.00、OQ半径皆为r, OO平行四边形、过的二顶A B,OO2过顶点R C,M是。0、。02的另一交点，求证AMD勺外接圆半径也是r.证明：设0为MB的终点连接C/延长。0于

14、E则由对称知0为CE的中点: 0平分MB0平分CE .MEB0平行四边形 . ME/ BC/ AD . MEA防是平行四边形.MA自 A AMD .AMD勺外接圆半径也为r19. 在凸五边形 ABCD呼，有/ABCh ADE,/ AECW ADB,求证：/BACW DAE.证明：连接BD,CE设它们相交于F,如图,/AECW ADB. .A,E,D,F四点共圆. / DAEW DFE.又/ ABCW ADEh AFE. .A,B,C,F四点共圆. / BACW BFC.又/ DFEN BFC. / BACW DAE.20. 在锐角 ABC,过各顶点作其外接圆的切线，A、C处的两切线分别交B处的

15、切线于M N,设BD是4ABC勺高（D为垂足），求证:BD平分/ MDN.证明：如上图,m、n分别表示过M N的切线长，再自M作MM LAC于M，作NN LAC于N',则有 / N= / B= / NCN .MAM sANCN .AM /' CN =AM/CN=m/n又 MM / BD/ NND/DN =MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(M' D- AM )/(DN ' -CN'尸AD/DC .ADMh ACDN/. DM/DN=m/iSP DM/m=DN/n.BDf 分/ MDN21.已知:AD、BE CF是4ABC的三条高.求证:DA、EB F

16、C是 DEF的三条角平分线.证明：连结DR FE DEv CFL AB AD XBC. B D H F 共圆./ 1 = /3. ADL BC BE ±ACB、D E、A共圆./2=/ 3/ 2=/ 1.ADO/ EDF同理,CF平分/ EFDBE平分/ FED即证:DA、EB FC是 DEF的三条角平分线22.已知AD是 ABC勺高,P是AD上任意一点，连结BP-CP延长交AGAB于 E、F,证 DA平分/ EDF.证：过E、F两点分别作EH FG,使EHLBC,FGL BC,且交CR BE于I、 J. EHL BC,AD£BC,FGL BC. EH/ ADII FG.E

17、H AD FG . EH EI.= EI AP FJ FG FJv . . EP HDPJ GD .EIPsJFPEI EP人 _ E- EP .EH FGDFJ PJ . / DFJ=/ DEI/ FDBh EDC即 / ADFh ADE即DA平分/ EDF23 .圆三条弦PR、QQ RR、两两相交，PPi与QQ交于B,QQ与RR交 于C,RR与PP交于A,已知:AP=BQ=CR,ARBP=CQ求证:ABC是正三角形.解：设 AP=BQ=CR=m,ABP=CQ则由相交弦定理得 m(c+n)=n(b+m)m(a+n)=n(c+m)m(b+n)=n(a+m)即 ma=ncmb=na mc=nb三

18、式相加得m=n所以a=b=c即AABCM正三角形24 .H为 ABC的垂心,D、E、F分别为BC CA AB的中点，一个以H为 心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求 证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU证明：连结AS AR RH由相交弦定理知：AH- HA'=BH HB'=CH HC'as 2=aR=aK+kR设H的半径为r,在 KRH= ,KR2=r2-HK2AS2=r2+ (AK+KH (AK-HK=r 2+AH- (AK-HK)在 ABC+ ,F、E为AB AC的中点，且AA 'BCAK=KA'AS2=AR=r2+AH- HA'同理:BT2=BU=r2+BH HB'CP 2=C(Q=r2+CH HC'25、在锐角三角形ABC中,AD、BE CF是各边上的高，P、Q分别在线段DF EF上，且/PAQW /DACW向相等.求证:AP平分/ FPQC证明：作出APQ勺外接圆，延长PF交圆于R,分别连结RA、RQ由图可知,AQPR妾于圆 1 ,_ i ,. / PRQ= PAQM DAC=1