完整word版抛物线的性质归纳及证明

1、 抛物线的常见性质及证明 概念 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；. 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦 性质及证明)(,的弦两端点为焦点F2px（p0）?)yAxxy,B(2中点为,倾斜角为过抛物线y2211. B'、C'A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A'、C(x,y), 分别过00pppp?x?|BF|AF|?x?; 1.求证：焦半径；焦半径 21?cos121?cos?2p2211?=)=90特别地，当x=x(； 弦长| AB |xxp?； 2121p | AFBF | 2?sin2pS. |AB|最短，称为通径，长为2p；AOB的

2、面积时，弦长OAB ?sin2pp ，| BC |xx| AD |，| BF |证明：根据抛物线的定义，| AF | 2122 p |xx| AB | AF | BF 21 y ，垂足为AA、BB如图2，过A、B引x轴的垂线 11? ， | AF | AF |cosRFA、B，那么| | AD | F，111p | RF | AF ?cos11cos B pRF | ?1 同理，| BF | xO F?coscos11RA1 p2pp)(x，yB C22. AFAB | | BF | ?2sin1coscos1p1112 图 (| y·| OF | y |·SSS| OF

3、| y | 1OAF11OABOBF2222 |) | y|12 | | yy |y，则、y异号，因此，| y| y |yyp2111122122ppppp22222. p1m4p4yy)y |y| Sy(y4m 21OAB12124442?2sin1 2p2112?xxp?yy. 2.求证：； p | | | AFBF；21214 轴时，有当ABx ，pAF?BF? 成立；p?kxy 的方程为：AB代入抛物线方程：.当AB与x轴不垂直时，设焦点弦? 2?22pp?222221x0k?kx?p?k?2px2kx? 化简得：.? 42?2k?x?x. x1）之二根为，x，方程（21 241x?x

4、?p11111121? pp2ppBBAFBFAA?xx ?xxxx?11 12 22112224x?x?px?x?p2y2211? . p22A'ppppA?p?x?x?x?x? 21 212442C'CxOKF?AC'B?A'FB'?Rt3.求证：. B'B 先证明：AMBRt y ，3的延长线于E，如图【证法一】延长AM交BC )，yA(Dx 则11 ECM，ADM M N | | AD | | | AM| EM，| EC O x RF | CE AD| | BC| | | BEBC )，xB(y22 CE | | |AF| |BF| AB

5、2 3 图 ABE为等腰三角形，又M是AE的中点， BMAE，即AMBRt 【证法二】取AB的中点N，连结MN，则 111| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN | 222ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt. yyppp21【证法三】由已知得C(，y)、D(，y)，由此得M(，). 1222222pyy21yp(y) 11y2yyp(yy)pp12121k，同理k BMAM222ypy22pyypy21111xp2· 1 2p222ppppk·k·1 BMAMyyyy2p2121 y .

6、 AE，即AMBRtBM DApp(、D(，y)，由此得M【证法四】由已知得C(，y) 1222 1 2Myyp21 3 ). ，4 22 O x FRyyyypp1221 ) ，MA(x)，MB(x BC 312222)y)(yyypp1212 )(x(MA·MBx4 图 214222)(yy2pp21 )x(xxx 21124242222yyyyy2y22ppp212121 )( 44pp22422p22pyyp210 2222. RtMAMB，故AMB. DMFMFM，则?【证法五】由下面证得DFC90，连结4 AFM，如图，故ADAFADM又4 ，同理1233 y 1 ?90

7、?23×180 2 D)yx，A(? 11. RtAMB Rt接着证明：DFC? O? p ? 0)，F( x R ，| AF |，ADRFAD 【证法一】如图5，由于| |2? ? )，yB(x? ，故可设AFDADFDFR22 C? CFR，同理，设BFCBCF图5 ?而AFDDFRBFCCFR180 y? 90?90?，故2(DFC)180?，即 D1yyp )yD(x，A2111) (，即M，【证法二】取CD的中点M 22 Gyypp22 由前知k，k M CFAM ypppy11 O 22 x RF H DF，同理，kkAMCFBMCFAM )yB(x，22 C. 90?A

8、MBDFC ，)yp，DF【证法三】(py)CF(，21图6 20 pyyCFDF·21 y l. ，故DFC?90CFDF1 | DR2，RC· | |即DRy|【证法四】由于 RF py| 21 | RF| | RF ?，且DRFFRC90 | RC O x F FRC DRF N N1 ，而RFCRCF?90RCFDFR7 图 90RFCDFR? y 90DFC? D1 D)xA(，y11 4. 是抛物线的切线'C、'CAB2ypp1 M) 【证法一】x(yy的直线方程为AM，k 1AMp2yy 11O x RF4 )，xB(y22 C8 图22px联

9、立消去x得与抛物线方程y 2y2yp1222yyy)，整理得y0 yy( 111p22py1220y，(2y) 4可见1122px相切， 故直线AM与抛物线y同理BM也是抛物线的切线，如图8. ?22)yx求导，(2px(2px)，两边对， 【证法二】由抛物线方程yxxp?2| 得2yky·y2px在点A(x，yp2，y)，故抛物线y处的切线的斜率为 y11切xxxyp. 1yy1p又k，kk，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的 AMAM切y1切线. yyp21【证法三】过点A(x，y)的切线方程为yyp(xx)，把M(，)代入 1111222yyy2yyp2px2p

10、212111左边y·px， 1122222pp右边p(x)px，左边右边，可见，过点A的切线经过点M， 1122即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物y . 线的切)1. BA的平分线''5. CA、C'B分别是AAB和B' 如图【证法一】延长AM交BC的延长线于E，9，M N BEADBC，AB，则ADMECM有 Ox R F ，BAMDAMAEBB(x，y) 22 EC. 平分CBABMDABAM即平分，同理的倾斜【证法二】由图9AB可知只须证明直线9 图?即AM角是直线的倾斜角的倍即可，2yyp21?) (M且2. ， 225 yyyy2p121

11、2?. tank AB22yxyxyy212112 p22p2pyy21yp(y) 11y2yyp(yy)p12121?ktan. AM222yp22pyyyp1111xp·2 12 p22p y?2py2py22tanp111? tantan 2 22p?22yytan1pyyyy2121222)(1 y1?，即AM平分DAB，同理BM平分CBA. 26. AC'、A'F、y轴三线共点，BC'、B'F、y轴三线共点 【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G， 1由以上证明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG也是DF边上的中线， 1G是D

12、F的中点. 1设AD与y轴交于点D，DF与y轴相交于点G， 21 y OF，| OF |，DDDD易知，|D111 FOGG故DD21G. 的中点G也是DF| DG | FG， 222O轴三、y），则G重合（设为点GAM、DFG与2H 线共点C. y轴也三线共点CF同理BM、2yp1 ，)y【证法二】AM的直线方程为y(x 1py210 图1y1 ，)轴交于点AM与yG(0令x0得 12ypy11) ，轴交于点G(0与，令x0得DFyy又DF的直线方程为(x) 222py1 轴三线共点，、yDF)轴的相交同一点yG(0，则AM、与、AMDF 2. 是矩形由以上证明还可以得四边形轴也三线共点、同

13、理BMCFyHMHFG6 7. A、O、B'三点共线，B、O、A'三点共线. ypy2y 11 k，【证法一】如图11， OA2yxy111 )x，DyA( 11p2p2y2y2py2py2222 k OC2ypppyy121 O2 x RF 三点共线，、O、Ckk，则AOCOA )B(x，y22 C. 同理D、B三点也共线O、 BC，ADRF【证法二】设AC与x轴交于点O?11 图|CB ?CO? | ? | BF | OF | | RO ， |AB | | AB | | AD | CA AF |F ?| RO? | O |又| AD | AF ，| BC | BF |， |

14、 AF | AF |三点也BO、A三点共线，同理D、O?与O重合，即C、O、F | RO? | O?|，则. 共线|AF | | O?F ，RFBC，与【证法三】设ACx轴交于点O?， |CB AB | | | AFBF |·| | CB |·AF | p1 【见证】| O?F | 2 |1| AB1 | BF| AF | | | AFBF |. 三点也共线O、B、A三点共线，同理D、与O?O重合，则即C、Op ，y)OA(x，【证法四】OC(，y)， 11222y2ypyyypypypp11121110 y·y y·yx 21211p22p22p222

15、 为端点，且都以OOCOA. D三点共线B、O、A、O、C三点共线，同理2两、BBA、，过A0ym【推广】过定点P(，0)的直线与抛物线px2（p）相交于点MO、三点共线，、，则、的垂线，垂足分别为：点分别作直线lxmMNAONB 三点也共线，如下图：7 y yMMAABNPOPOxxNB nm? ；的倾斜角. 则，点m：nA在第一象限，cos 为直线AB8. 若| AF |：| BF | nmADBE作，C，过B，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D【证明】如图14 nt，则| AF |E，设| AF |mt，于 t n)| BC |(m | BC| BF |，| AE | AD | A

16、D | AF |，y Enmn)t (m | AE DA 在RtABE中，cosBAE | ABn(mn)tmnm ?. BAEcos cos? nm xORF2的直线与抛物线相交于F2px的焦点】设经过抛物线【例6y CB 两点A、B， l14 图. 则直线3| | 且AF |：BF |：1，AB的倾斜角的大小为 . 或120?【答案】60为直径的圆与准线以y为直径的圆与轴相切；ABBF为直径的圆与以9. AFy轴相切，以. '为直径的圆与焦点弦'相切 ABAB相切yy yA'A'A'AC'M'MKB'xOF A C'C COFxOFKB'B Bx 的中点，是，设【说明】如图15EAF8 p x 12y1 的坐标为)(，则E，22p x 121| 轴的距离为则点AFEd到 | y22故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理以BF为直径的圆与y轴相切. 【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN准线l于N，则 111| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |