北邮版概率论答案(7)

1、习题七1 .设总体 X 服从二项分布b(n，p) ，n 已知，X1，X2，Xn 为来自X的样本，求参数p 的矩法估计.【解】 E(X) np,E(X) A1 X, 因此 np=X所以 p 的矩估计量2 .设总体 X的密度函数f(x, )2 (x), 0 x0,其他 .X1 ， X2，Xn为其样本，试求参数 的矩法估计.22x2 x3E(X) 2 0 x( x)dx 223 0 3 ,令E(X)=A1= X ,因此 =X所以 的矩估计量为3X .3.设总体 X的密度函数为f( x， ) ， X1， X2，Xn 为其样本，求 的极大似然估计1) f( x， 2) f( x， e x, x 0,0,

2、 x 0.x 1, 0x 1,0, 其他 .n( 1 ) 似然函数L f ( xi , )i1nnxienxii1i1ng ln L n lnxii1dg d ln L n nxi 0 知d di1?nxi所以 的极大似然估计量为i1(2) 似然函数Ldln Ldn1gxi,0xi1 ,i=1,2, ,n.i1nln L n ln ( 1)lnxii1nn lnxi0知i1nnnnlnxiln xi所以 的极大似然估计量为i1i1ln xii14.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10 人的收益率数据，结果如下：序号12345678910收益率求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的

3、矩估计值x 0.094 s 0.101893 n 9E?Xx 0.094.2 E(X2)n2D(X) E(X)2,E(X2) A2xi 知 ?2 E(X?)2 A2,即有i1n?A2 E(X?)21 10 Xi2 10(X)20.9 0.1018910 i10.0966所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为和.5.随机变量X 服从0， 上的均匀分布，今得X 的样本观测值：,，求 的矩法估计和极大似然估计，它们是否为 的无偏估计.【解】(1) E(X) ,令 E(X) X ，则2? 2X 且 E( ?) 2E(X) 2E(X),所以 的矩估计值为? 2x 2 0.6 1.2

4、且 ? 2X 是一个无偏估计(2) 似然函数L 8 f(xi , )1 8 ,i=1,2,8.i1显然 L=L( ) ( >0)，那么maxxi 时，L=L( )最大,1i8 i所以的极大似然估计值?=.9E( ?)=E(maxxi ) ,所以?= maxxi 不是 的无偏计 .1i8 i1i8 in16.设X1，X2，Xn是取自总体X的样本，E(X)= ，D(X)=2，?2=k (Xi 1 Xi)2 ,i1k 为何值时?2 为 2的无偏估计令YiXi 1 Xi , i=1,2, ,n-1,则E(Yi) E(Xi 1) E(Xi)0,D(Yi) 2 2n1于是E ?2 Ek( Yi2)k

5、(n 1)EY12 2 2(n 1)k,i1那么当 E( ?2)2 ,即 2 2(n 1)k2时 ,12(n 1)7.设X1， X2是从正态总体?2X131N( ，1X 3X2;2）中抽取的样本1 X13 X2;?34142312X12X2;试证?1, ?2, ?3都是 的无偏估计量，并求出每一估计量的方差212121 1) 1) E( ?1) E X1 X2E(X1)E(X2)33333313E( ?2) 1 E(X1) 3 E(X2),4411E(?3) 12E(X1) 21 E(X2),所以?1 , ?2 , ?3均是 的无偏估计量.222142 2) D( ?1)2 D(X1)1 D(

6、X2) 4X 2339D(?2)D(X1)34 D(X2)52821 D(?3) 12D(X1)D(X2)28.某车间生产的螺钉，其直径得其长度（单位mm）如下：XN(，2） ，由过去的经验知道 2=,今随机抽取6 枚，测试求 的置信概率为的置信区间.n=6, 2=, =,x 14.95,ua u0.25 1.96,2 的置信度为的置信区间为x u /2(14.95n0.1 1.96) (14.754,15.146).9.总体XN（ , 2）， 2已知，问需抽取容量且置信区间的长度不大于Ln 多大的样本，才能使 的置信概率为1- ，由 2 已知可知 的置信度为1- 的置信区间为x u /2 n

7、 ,2n gu /2 ,2那么由gu /2 L,得n224 2(u /2)2L2sxta/2(n 1)n76.618.14202.093(68.11,85.089)10. 设某种砖头的抗压强度XN（ ， 2） ， 今随机抽取20 块砖头， 测得数据如下（ kg· cm-2） ：64694992559741848899846610098727487844881（ 1） 求 的置信概率为的置信区间.（ 2） 求 2 的置信概率为的置信区间.x 76.6, s 18.14,1 0.95 0.05, n 20,t /2(n 1) t0.025(19) 2.093, 2222/2(n 1)02

8、.025(19) 32.852, 02.975(19) 8.907(n 1)s2 (n 1)s22/2(n 1), 12 /2(n 1)(190.33,702.01)19219218.142,18.14232.8528.90711. 设总体 Xf(x)=(0,1)x ,0 x 1; 其中其他 .X1,X2, ,Xn是 X的一个样本，求 的矩估计量及极大似然估计量【解】(1)11E(X) xf (x)dx (1)x 1dx又1X E(X)12 ,故? 2X 11X所以 的矩估计量(2) 似然函数nL L( )f (xi)i1? 2X 1.1Xn(1)n xi 0 xi 1 (i 1,2,L ,n

9、)i10其他取对数nln L nln( 1) ln xi(0 xi1;1 i n),i1dlnLdln xii10,所以 的极大似然估计量为nnln Xii16x(12. 设总体Xf(x)=30,x), 0 x其他 .X1,X2, ,Xn为总体X的一个样本1 ) 求 的矩估计量2) 求 D( ?).(1) E(X)xf (x)dx 0 6x3 ( x)dx 2令所以 的矩估计量(2)D(?) D(2X)又于是所以EX X , 2? 2X.44D(X) DX,，n2 E(X2)6x3( 3 x)dx322D(X) E(X2) (EX)262322010222104202D(?)5n13. 设某种

10、电子元件的使用寿命X的概率密度函数为2e 2(x ), x;f(x,)=0,x.的极大似然估计其中 ( >0)为未知参数，又设x1,x2, , xn 是总体 X的一组样本观察值，求值.n0;i 1,2,L ,n; 其他 .;i 1,2,L ,n,2 (xi )n i1L L( )2 e i1xi0nln L n ln 2 2(xi), xii1由 dlnL 2n 0知 lnL( ) ,那么当 ? min xi 时 ln L( ?) max ln L( ) 1in0所以 的极大似然估计量? min xi1in14. 设总体 X的概率分布为X0123P22(1-)21-2的矩估其中（0<

11、;< 1）是未知参数，利用总体的如下样本值3， 1，3，0，3，1，2，3，求2计值和极大似然估计值.【解】(1)E(X) 3 4 ,令 E(X) x得 ? 3 x4又x 8 xi 2i180,x 1.所以的矩估计值3x82)似然函数LP(xi , ) 4 6(12)(1 2 )4.i1ln L ln4 6lndln L 62d12ln(1) 4ln(1),86 2824 20,1 2(1)(1 2 )解 6 2824 2 0得由于7137131,122所以 的极大似然估计值为15. 设总体 X的分布函数为71321F( x, ) = x0,其中未知参数 >1, >0，设X1

12、,X2, , Xn为来自总体X的样本（1 ）当 =1 时，求的矩估计量；（2） 当=1 时，求的极大似然估计量；（3） 当=2 时，求的极大似然估计量.【解】 =1 时， f(x, )Fx1(x,1, )1 , x 1; x =2 时 ,1 f(x, ) Fx1(x,2)223x0,(1) E(X)dx 1x令 E(X)X , 于是XX1所以 的矩估计量(2) 似然函数所以 的极大似然估计量(3) 似然函数L L(ln L nlndln L n di1显然 L L( ) ,f (xi ,i11)nln1xi,( xi0,1)xi1,(i 1,2,L ,n);其他 .nlni1xi0,nnlni

13、1f (xi ,xi2n2n3, nxii10,xi,(i1,2,L ,n);其他 .那么当 ? minxi 时 , LL(?)maa0xL( ) ,所以 的极大似然估计量? m1iinnxi .16. 从正态总体XN(，62)中抽取容量为率不小于，问n 至少应取多大n 的样本，如果其样本均值位于区间(，)内的概(z)z12 et2/2dtXN623.4, 6,则ZnP1.4 X5.4n3n31.4 3.46/ nn3n35.4 3.46/ nn 1 0.9530.975则n31.96zzX 3.4 N (0,1),6/ nn 35.17. 设总体 X的概率密度为f(x， )=0,1,2,其他

14、 .其中 是未知参数（0< <1）x1,x2, ,xn中小于 1 的个数 .求：（ 1 ） 的矩估计；（ 2） 的最大似然估计.解 （1） 由于,X1,X2, ,Xn 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值EXxf (x;)dxxdx2(1 - )xdxX ，解得$3 * *2X.L( )f (xi ; )N(1)nN，取对数，得ln L( ) N ln (n N)ln(1 ),两边对求导，得dlnL( ) N n Nd1dlnL( )N令0,得，dn所以 的最大似然估计为$N.n18.设 X1, X2,L , Xn是总体 N(2 ） 的简单随机样本.记1nXXini1,S2

15、1n2n11i1(Xi X)2,T212X 1 S2.n1 ）证明 T 是 2 的无偏估计量；2）当0,1 时，求 D（T）.分析 根据无偏估计的定义求布的定义和性质求解.证（ 1）因为E（T）即可证明（1）.（ 2）可用方差的计算公式或统计量的分212212E(T) E(XS2) EXES2nn212(EX)2 DX ES2n2222nn2所以 T 是 2 的无偏估计量解（2）解法 1 当 0,1 时，有D(T)212D(XS2)n212DX12 DS2n12 D( nX)2 n112n12g(n 11)2D(n 1)S2解法 2 D(T) E(T2) E2(T)E(T) 0E(S2)2 1

16、2422214D(T) E(T2) E(X ) 2E(X )E(S2)12 E(S4)nn422其中 E(X ) D(X ) E2(X )D( nnX)2 D(X) E2(X)2n12g2(1)2E(S4) D(S2)E2(S2)D(T)121(n 1)22(n 1)2D(n 1)S2n1(n1)2n1n12n(n 1)12 D( nX)2 D(X)219. 设总体X的概率密度为其中参数(0< <1)未知，1 )求参数的矩估计量22)判断4X 是否为2的无偏估计量，并说明理由f (x, )X1,X2,L12,12(1)0x 1,其他 .,Xn是来自总体X的简单随机样本，X 是样本均值.22分析 利用矩估