截长补短法巧解

1、截长补短法截长补短法是几何证明题中十分 重要的方法。通常来证明几条线 段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短 边相同的线段，再证剩下的线段 与另一短边相等。 补短法（1）延长短边。（2 ）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。例:在正方形 ABCD中，DE二DF ,DG丄CE,交CA于G, GH丄AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问 三条粗线DG, GH, CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页）请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关 系？（1）变形c（1）正方形ABCD中，

2、点E在CD上, 点 F 在 BC 上，ZEAF二45。求证：EF二DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上, 点F在BC延长线上，ZEAF二45。请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关 系？正三角形ABC中，E在AB, F在AC 上ZEDF二45。DB二DC, ZBDC二 120。请问现在EF、BE、CF 乂有什么数量关 系？（1）变形d（1）变形b正方形ABCD中，点E在CD上，点F在 BC , ZEAD=15% ZFAB二30。FAD二近求4AEF的面积（1）解：（简单思路）正方形ABCD中，点E在DC延长线上, 点F在CB延长线上，ZEAF二45。延长CD到点G,使得

3、DG二BF,连接AG。 由四边形ABCD是正方形得ZADG 二 ZABF 二 90变形a解：（简单思路）FAD 二 AB又 DG二BF所以 ADG= A ABF (SAS)Z GAD 二 Z FABAG=AF山四边形ABCD是正方形得ZDAB 二 90 二 ZDAF+ZFAB二 ZDAF+ZGAD 二 ZGAF 所以 ZGAE=ZGAF-ZEAF=90 -45 =45 ZGAE=ZFAE=45乂 AG=AFAE 二 AE 所以 EAG= AEAF (SAS)EF二GE二GD+DE二BF+DE山四边形ABCD是正方形得ZADE=ZABG=90AD 二 AB又 DE二BG所以 ADE= AABG

4、(SAS)ZEAD=ZGABAE 二 AG山四边形ABCD是正方形得ZDAB 二 90 = ZDAG+ZGAB二 ZDAG+ZEAD 二 ZGAE 所以 ZGAF=ZGAE-ZEAF=90。-45 =45ZGAF=ZEAF=45O乂 AG=AEAF 二 AF所以 EAF= AGAF (SAS)EF二GF二BF-BG二BF-DE变形b解：（简单思路）EF二 BF-DE在BC上截取BG,使得BG二DF,连接AG。EF二DE-BF在DC上截取DG,使得DG二BF,连接AG。 由四边形ABCD是正方形得ZADG 二 ZABF 二 90AD 二 AB又 DG二BF所以 AADG 三 A ABF （SAS

5、）Z GAD 二 Z FABAG 二 AF山四边形ABCD是正方形得Z DAB 二 90 二 Z DAG+Z GAB二 ZBAF+ZGAB 二 ZGAF 所以 ZGAE=ZGAF-ZEAF二90-45二45ZGAE=ZFAE=45rt乂 AG二AFAE 二 AE所以 EAG= AEAF (SAS)EF 二 EOED-GD 二 DE-BFZ EDB 二 Z GDCDE 二 DG乂 Z DBC 二 120 = Z EDB+ Z EDC二 ZGDC+ZEDC 二 ZEDG 所以 ZGDF=ZEDG-ZEDF二 120-60 二 60ZGDF=ZEDF=60乂 DG二DEDF 二 DF 所以 AGDF

6、三 AEDF (SAS)EF二GF二CG+FC二BE+FC变形c解：（简单思路）变形d解：（简单思路）EF二BE+FC延长AC到点G,使得CG二BE,连接DG。 由 ABC是正三角形得ZABC 二 ZACB 二 60“乂 DB二DC, ZBDC二 120“所以 ZDBC 二 ZDCB 二 30Z DBE 二 Z ABC+ Z DBC 二 60 “ +30 二 90 Z ACD 二 Z ACB+ Z DCB 二 60 +30 二 90 所以上GCD二 180 -乙 ACD二90 ZDBE=ZDCG=90乂 DB二DC, BE二CG所以zXDBE三 ADCG (SAS)延长CD到点G,使得DG=B

7、F,连接AG。 过E作EH丄AG.前面如(1)所证， AADG= A ABF, AEAG= AEAFZGAD二ZFAB=30% SAEAG=S EAF在 RtAADG 中，Z GAD二30, AD二&厶GD二60, AG二2设 EH二x在RtAEGH中和RtAEHA中ZAGD=60o, Z HAEM5 HG二百x, AH二x3AG二2二HG+AH二心+x, EH二x二3-R3S A EAF二S EAG二EH x AG - 2二 3-石.hA-oooo.(2)（第5页题目答案见第6页）（2）加强版B正方形ABCD中，对角线AC与BD交于0,点E在BD上，AE平分ZDACo 求证：AC/2二AD-

8、E0 正方形ABCD中，M在CD上，在DA 延长线上，CM二AN,点E在BD上，NE 平分ZDNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？OOOO.hA-(2)解：(简单思路)DC过E作EG丄AD于G 因为四边形ABCD是正方形ZADC二90, BD 平分 ZADC, AC丄BD所以 ZADB 二 ZADC/2 二 45因为AE平分ZDAC, E0丄AC, EG丄AD 所以 ZEA0 二 ZEAG,Z DGE二 z AOE二 Z AGE二90 “ 乂 AE二AE, 所以 AAE0 三 A AEG (AAS) 所以 AG二AO, E0二EG乂ZADB二45, ZDGE二90 所以ADGE为等腰直角

9、三角形DG二EG=EOAD-DG=AD-E0=AG=A0=AC/2(2)加强版解：(简单思路)MN/2二AD-EF 过E作EG丄AD于G,作EQ丄AB于Q, 过B做BP丄MN于P按照(2)的解法，可求证，AGNEs AFNE (AAS) DGE为等腰直角三角形AG二AD-DG二AD-EF,因为四边形ABCD为正方形，ZABC=ZGAQ=ZBCM=90BD 平分 ZABC, BC二BAZABD二 ZABC/2二45 , 乂 ZEQB二90 EQB为等腰Rt三角形，ZBEQ二43因为 Z GAQ 二 Z EGA 二 Z EQA 二 90 所以四边形AGEQ为矩形，EQ二AG二AD-EF, EQ/AGZQEN二 ZENGXZENG=ZENF,所以 ZQEN二ZENF山 BC二BA, ZBCM二 ZBAN二90 , CM二AN,所以 ABCM 三 A BAN (SAS)BM二BN, ZCBM二ZABNZABC=90 = ZABM+ZCBM二 Z ABM+ Z ABN二 Z MBN, 乂 BM二BN 所以AMBN为等腰Rt三角形， 乂 BP丄斜边MN于P, 所以ANTB为等腰Rt三角形。BP二MN/2, ZPNB二45。ZBNE=ZENF+ZPNBZBEN 二 ZQEN+ZQEB乂 Z QEN二 ZENF, Z PNB二 Z QEB二 4 5