上海交通大学大学物理课件 5 动量和角动量

1、1第第 4 章章 动量和角动量动量和角动量第第 4 章章 动量和角动量动量和角动量4.1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律4.2 质心质心 质心运动定理质心运动定理4.3 碰撞问题碰撞问题4.6 质点的角动量质点的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4.4 火箭飞行基本原理火箭飞行基本原理4.7 质点系的角动量与角动量守恒定律质点系的角动量与角动量守恒定律4.5相对论能量和动量相对论能量和动量3一、动量与冲量一、动量与冲量vmp单位：单位：kgms-1 冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。 冲量冲量（impulse of force) ：作用力

2、与作用时间的乘积：作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：21d)(ttttFI单位：单位：Ns牛顿第二定律：牛顿第二定律：amtvmFtvmFtm ddd)(d0dd动量：动量：4.1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律4二、质点动量定理二、质点动量定理由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：tptvmFddd)(dtFpdd如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 则：则： tt 0pp000dvmvmpptFItto质点动量定理：质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点

3、动量的增量。量等于质点动量的增量。动量定理的微分式：动量定理的微分式：5说明说明000dvmvmpptFItt (1) 冲量冲量 的方向是所有元冲量的方向是所有元冲量 的合的合矢量的方向矢量的方向。动量定理动量定理反映了力在时间上的累积作反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。用对质点产生的效果。ItFd逆风行舟的分析：逆风行舟的分析：6(2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。或以原理。或以分量形式分量形式进行计算。进行计算。ttzzzzttyyyyxxttxxmvmvtFImvmvtFImvmvtFI000000ddd7(3)

4、 冲击、冲击、 碰撞问题中碰撞问题中估算估算平均冲力平均冲力。tttFtttIF0d10(4) 适用于适用于惯性系惯性系。在非惯性系中，需要添加惯性力的冲。在非惯性系中，需要添加惯性力的冲量后才成立量后才成立。F(t)FtF00ttpp8Example. Suppose a ping-pong ball and a bowling ball are rolling toward you. Both have the same momentum, and you exert the same force to stop each. How do the time intervals to sto

5、p them compare? 1. It takes less time to stop the ping-pong ball. 2. Both take the same time. 3. It takes more time to stop the ping-pong ball. Answer: 2. 9Example. Suppose a ping-pong ball and a bowling ball are rolling toward you. Both have the same momentum, and you exert the same force to stop e

6、ach. How do the distances needed to stop them compare? It takes a shorter distance to stop the ping-pong ball. Both take the same distance. 3. takes a longer distance to stop the ping-pong ball. Answer: 3. 10解：解：0440d mvmvtF4)(mvtmgFtgmFv)(4(1) 根据动量定理：根据动量定理：30047t(s)F(N)例例4-1 m=10 千克木箱，在水平拉力作用下由静止开

7、始千克木箱，在水平拉力作用下由静止开始运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为为 =0.2，求：，求： (1) t=4 秒时刻木箱速度；秒时刻木箱速度；(2) t=7 秒时刻木箱速度；秒时刻木箱速度；(3) t=6 秒时刻木箱速度。秒时刻木箱速度。mF)m/s(44)102 . 01030(11 d )2(4774mvmvtF)74( 1070ttF4747d)1070(mvtmgtmv)m/s( 5 . 24d)5(747ttv)m/s( 44d)5(646ttv30047t(s)F(N)( mgFF(3)12例题例题 质量质量m=0

8、.3t的重锤，从高度的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。hNFgm以重锤为研究对象，分析受力，以重锤为研究对象，分析受力，作受力图。作受力图。解：解： 研究锤对工件的作用过程，研究锤对工件的作用过程，在竖直方向在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。利用动量定理，取竖直向上为正。)(0)(0mvmgFNghm 2/2ghmmgFN)N(1092. 1s,1 . 0) 1 (4NFmgFN)N(109 .

9、1s,01. 0)2(5NF13例例4-2 质量为质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为带的速率为v ，它与行李间的摩擦系数为，它与行李间的摩擦系数为， 试计算试计算：(1) 行李将在传送带上滑动多长时间行李将在传送带上滑动多长时间? (2) 行李在这段时间内运行李在这段时间内运动多远动多远? (3) 有多少能量被摩擦所耗费有多少能量被摩擦所耗费?0fmvmgttF(1) 以地面为参照系以地面为参照系(2) 由质点动能定理由质点动能定理0212fmvmgxxFA解解:(或：或： )221atxmxOvgvtgvx2214mxOv(3) 被摩擦损耗

10、的能量等于一对摩擦力做的功被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功)(fvtxFA以传送带为参考系：以传送带为参考系：2221)2(mvgvmg15作业作业:P142 4-1，4-2，4-4, 4-6 16三、质点系的动量定理三、质点系的动量定理设设 有有N个质点构成一个系统，个质点构成一个系统，末速度末速度 。第第 i 个质点：个质点：外力外力 ，iF内力内力 ，if初速度初速度 ，0iviv质量质量im由质点动量定理：由质点动量定理：0d0iiiittiivmvmtfF 0d0iiiittiivmvmtfF 0if其中：其中：m21f2fm1ppptFtti 00di17质点系的动量定理：质点

11、系的动量定理：微分式：微分式：tpFidd质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。ppptFtti 00d18四、动量守恒定律四、动量守恒定律系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。iivmp 0iF当当 时，时， 常矢量。常矢量。( (2) )当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）动量守恒。（如：碰撞、打击等） ( (1) )动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的

12、动量可以变化各个质点的动量可以变化, , 通过内力进行传递和交换。通过内力进行传递和交换。说明说明19(3) 各分量守恒具有独立性。分量式：各分量守恒具有独立性。分量式：)0()0()0(时时当当常量常量时时当当常量常量时时当当常量常量iziziziyiyiyixixixFvmpFvmpFvmp(4) 定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。如图所示，水平路面上有一质量m1=5 kg的无动力小车以匀速率v0=2 ms运动。小车由不可伸长的轻绳与另【例4-1】 解 得小车、车厢和物体的共同速度为 smv/2 . 0将小车、车厢和物体看成一个系统，利用动

13、量守恒,有 vmmmvm)(32101因最大静摩擦力不是足够大，绳子绷紧过程的时间很短，所以可认为绳子绷紧时m3仍然静止，即绳子绷紧过程仅使小车和车厢获得共同速度（绳未断）的过程，这个过程动量守恒，故有vmmvm)(2101一质量m2=25 kg的车厢连接，车厢前端有一质量m3=20 kg的物体，物体与车厢间摩擦系数0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间(车与路面间摩擦不计，取g=10m/s2）。m/s312101mmvmv则绳子绷紧时小车和车厢的共同速度为 分析：绳绷紧过程，车、厢同速，物仍

14、静止但加速度不为零绳绷紧后过程，车、厢减速，物加速，最终三者同速20如图所示，水平路面上有一质量m1=5 kg的无动力小车以匀速率v0=2 ms运动。小车由不可伸长的轻绳与另【例4-1】 解 (1) 小车、车厢和物体的共同速度为 smv/2 . 0设绳子绷紧后m3相对车厢发生了位移s，则就此过程运用功能原理，有033vmgtmsgvt1 . 0/得物体相对车厢的位移22123213)(21)(21vmmvmmmgsm一质量m2=25 kg的车厢连接，车厢前端有一质量m3=20 kg的物体，物体与车厢间摩擦系数0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相

15、对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间(车与路面间摩擦不计，取g=10m/s2）。m/s312101mmvmv则绳子绷紧时小车和车厢的共同速度为 ms601(2) 对m3运用动量定理，有从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间为2122例例4-3 已知高已知高H，傾角为，傾角为 的斜面光滑。小车的斜面光滑。小车质量质量 M，从顶端滑至中点时刚好有一钢球从顶端滑至中点时刚好有一钢球 m 从从 h 高度掉入。求小高度掉入。求小车到达底部时的速度车到达底部时的速度V ?解：解：重力可忽略内力，mgMg ,斜面方向动量守恒斜面方向动量守恒!m、M 系统，系统，冲击过程冲击过程HhmM (M+

16、m)gNvmMmvMvmM)(sin23冲击过程后，冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒地球系统机械能守恒：22)(212)()(21VmMgHmMvmM解得：解得：2)sin2(mMghmgHMgHVghvmghmvmm2 212 2212gHvHMgMvMM24u例例4-4 炮车的质量为炮车的质量为M，炮弹的质量为，炮弹的质量为m。若炮车与地面。若炮车与地面有摩擦，摩擦系数为有摩擦，摩擦系数为 , 炮弹相对炮身的速度为炮弹相对炮身的速度为u， 求炮身求炮身相对地面的反冲速度相对地面的反冲速度 v 。解：解：选取炮车和炮弹组成系统选取炮车和炮弹组成系统运用质点系的动量定理：运用质点系的动量

17、定理：0)(d)(0uvmvMtfNgmgMx方向：方向：) 1 ()cos(d0uvmMvtf内、外力分析。内、外力分析。水平的动量守恒吗水平的动量守恒吗 ？y方向：方向：)2(sind)(0mutmgMgNxygMgmNf25) 1 ()cos(d0uvmMvtf)2(sind)(0mutmgMgN)( mgMgN很短，很短，) 3(Nf)2(sind0mutNsin cos )(umumvmMmMmuv)sin(cosugMgmNf26讨论：讨论：1. 若炮车与地面没有摩擦若炮车与地面没有摩擦0mMmuvcos2. 若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹0m

18、Mmuv3. 自锁现象，即自锁现象，即 v=0 时时cotmMmuv)sin(cosEND274.2 质心质心 质心运动定理质心运动定理一、质心一、质心 质心质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。平均意义上代表着质量分布的中心。ccc28质心的位矢：质心的位矢：iiiiimrmrcmxmxiiic分量式：分量式：mmrrddcmymyiiicmzmziiic质量连续分布的物体：质量连续分布的物体：xyzirimcrOc29mmxxddc分量式：分量式：smsddVmdd质量线分布：质量线分布：质量面分布：质量面分布：

19、质量体分布：质量体分布：mmrrddcmmyyddcmmzzddclmldd30例例4-5 求半圆求半圆环环的质心。的质心。llRRxdmmxxdc0dsin1R 质心不一定位于物体内部。质心不一定位于物体内部。解：解：RxyOdlcR2dddRlmll31二、质心运动定理二、质心运动定理iiiiiimvmmtrmtrvddddcciiivmvmciiiiimrmrc为质点系的动量为质点系的动量零动量系零动量系质心坐标系：质心坐标系：由质心位矢公式：由质心位矢公式：0cr0cv0iiivm32ccddamtvmFii由质点系动量定理：由质点系动量定理：c1ddvmtFii0d0iiiiiitt

20、iivmvmtF 质心运动定理：质心运动定理： 质心的运动等同于一个质点的运动，这质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。受的所有外力的矢量和。微分形式：微分形式：0ccvmvm331. 适用于惯性系。适用于惯性系。0, 0caFii质心系是惯性系，质心系是惯性系，质心系是非惯性系。质心系是非惯性系。0, 0caFii2.3. 动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。4. 质点系相对惯性系的运动可分解成：质点系相对惯性系的运动可分解

21、成： 随质心的运动随质心的运动+相对质心的运动。相对质心的运动。222212121iiiiciiiivmvmvm资用能资用能说明说明质点系在实验室系的总动能：质点系在实验室系的总动能：v 34上次课主要内容上次课主要内容 质点动量定理质点动量定理00dvmvmpptFItto 质点系的动量定理质点系的动量定理ppptFtti 00d 动量守恒定律动量守恒定律iivmp 0iF当当 时，时， 常矢量。常矢量。 质心的位矢质心的位矢iiiiimrmrcmmrrddcccddamtvmFii 质心运动定理质心运动定理35例例4-6 三棱体三棱体 C、滑块、滑块 A、B，各面均光滑。各面均光滑。已知已

22、知mC=4mA=16mB , =300， =600。求。求A下降下降 h=10cm时三棱体时三棱体 C 在水平方向的位移。在水平方向的位移。解：解：0)()(xmxxmxxmCBBAA法一）水平方向无外力法一）水平方向无外力, 质心水平位置不变。质心水平位置不变。ABCh tan/ hxA)cm(8 . 3 CBABBAAmmmxmxmxx设三棱体设三棱体 位移为位移为 ： 0cx0 iixm sin/cos hxBx36法二）水平方向无外力法二）水平方向无外力, 系统水平系统水平动量守恒。动量守恒。ABChxvAvB0CCBBAAvmvmvm0)cos()cos(CCBCBACAvmvvmv

23、vmABvv )coscos(ACBABACvmmmmmvttACBABAttCCtvmmmmmtvx00d)coscos(d3.8(cm) sin)coscos(hmmmmmCBABA37例例4-7 质量为质量为M的人，手里拿着质量为的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与的物体，此人用与地平线成地平线成 的速度的速度v0 向前跳去，当他到达最高点时，把物体向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度以相对于自己以速度 u 向后抛出，问由于物体的抛出，他跳向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？过的距离与不抛物体时相比可增加多少？人不向后抛出物体，所跳人不向

24、后抛出物体，所跳过的距离：过的距离：解法一解法一 取地面坐标系，用动量守恒定律求解。取地面坐标系，用动量守恒定律求解。人在最高点向后抛出物体的过人在最高点向后抛出物体的过程中，应用动量守恒定律：程中，应用动量守恒定律：gvRcossin220cos)()(0vMmuVmMVmMRR+RxyuVO38抛出物体后人的速度：抛出物体后人的速度： MmmuvVcos0比不抛出物体时速度增加了：比不抛出物体时速度增加了：MmmuV抛出物体后多跳过的距离：抛出物体后多跳过的距离：2TVtVRgvMmmusin039解法二解法二 质心坐标系中应用动量守恒定律。质心坐标系中应用动量守恒定律。uvVMVmv0M

25、mmuV在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体时多跳过的距离比不抛出物体时多跳过的距离:tVRmMRR+RxyuVOgvMmmusin040解法三解法三 应用质心运动定律求解。应用质心运动定律求解。人以相对于自己速度人以相对于自己速度u 抛出抛出物体物体m，下落后，人，下落后，人M与物与物体体m之间的距离：之间的距离：gvuutlsin0cxxRMmMxx联立方程后，可得落地时人离质心距离为：联立方程后，可得落地时人离质心距离为：mMmxMxxmMcENDmMRR+RxyuVOgvR2sin20gMmmuvMmml)(sin

26、041 作业作业: P1434-6, 4-7, 4-8, 4-10, 4-1142一、碰撞过程一、碰撞过程1. 压缩阶段压缩阶段2. 恢复阶段恢复阶段4.3 碰撞问题碰撞问题微观粒子：碰撞微观粒子：碰撞 散射散射 弹性碰撞：弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。前后系统的总机械能守恒。 非弹性碰撞：非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。统有部分机械能损失。 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动

27、。系统有机械能损失。两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。43(1) 弹性碰撞弹性碰撞v2v1v20v102211202101vmvmvmvm动量守恒：动量守恒：动能守恒：动能守恒：2222112202210121212121vmvmvmvm21202102112mmvmvmmv21101201222mmvmvmmv201012vvvv441. 当当m1=m2时，时， 则则:102201vvvv讨论讨论 在一维弹性碰撞中在一维弹性碰撞中, 质量相等的两个质点在碰撞中交质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。换彼此的速度。2. 若若v20=0，且，且 m2m1，则，则:2120210211

28、2mmvmvmmv21101201222mmvmvmmv02101vvv质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。方向，而质量很大的质点几乎保持不动。3. 若若v20=0， 且且m2m1， 则则:1021012vvvv质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。v 45(2) 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量守恒：动量守恒：vmmvmvm)(212

29、0210121202101mmvmvmv机械能损失：机械能损失：)2121()(21220221012210kkvmvmvmmEEE)(2)(212201021mmvvmmEvv20v1046动量守恒：动量守恒：(3) 非弹性碰撞：非弹性碰撞：2211202101vmvmvmvm碰撞定律：碰撞定律： 碰撞后两球的分离速度碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前与碰撞前两球的接近速度两球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由两成正比。比值由两球的质料决定。球的质料决定。201012vvvve恢复系数恢复系数v2v1v20v1047碰后两球的速度：碰后两球的速度：2120102101)(1

30、 (mmvvemvv2120101202)(1 (mmvvemvv机械能损失：机械能损失：2201021212k)()1 (21vvmmmmeE完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞： e =0 v2=v1非弹性碰撞：非弹性碰撞： 0 e 1 弹性碰撞：弹性碰撞： e =1 （v2-v1）= （v10-v20）201012vvvve48例例 一质量为一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k。一质量为一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了

31、L。(1)求子弹的速度；求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为若子弹射入木块的深度为S，求子，求子弹所受的平均阻力。弹所受的平均阻力。 解：解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后系统机械能守恒。（忽略碰撞过程弹簧的压缩）束后系统机械能守恒。（忽略碰撞过程弹簧的压缩）（1）相碰后，压缩前：）相碰后，压缩前： vMmmv）（0压缩了压缩了L时，有：时，有： 222121kLvMm）（）（MmkmLv00mvLvk mMmMmM（）（2）由功能原理：）由功能原理： 222201112222MkLf smvMvmvm +22MkLfms49例例

32、4-8 已知板已知板 M，l；小球；小球 m, v0 , h。弹簧。弹簧 k，桌面光滑，桌面光滑，掉下时与板为弹性碰撞。求掉下时与板为弹性碰撞。求(1) 弹簧最大压缩量，弹簧最大压缩量， (2) 若若只发生一次碰撞，则只发生一次碰撞，则v0 应满足什么条件？应满足什么条件？解：解：ghvvvyx2,0MVvmmvyy22222212121MVvvmvvmyxyx（1）碰撞时（）碰撞时（y方向碰撞）方向碰撞）, 小球速度为：小球速度为：弹性碰撞：弹性碰撞：hlm v0kxy50解得：解得：MmghmV22ghMmmMvy2碰后，板、弹簧、地球系统：碰后，板、弹簧、地球系统：yMgyykykMV2

33、0202212121得：得：kMghMmmVkMy22kMgy 0 其中51(2)小球从桌面下落至板上经历的时间：小球从桌面下落至板上经历的时间：ght/21球要与板发生碰撞，球要与板发生碰撞， 首先首先须满足条件须满足条件 1：ltv10一次碰撞后，小球弹起再落一次碰撞后，小球弹起再落回原碰撞处经历的时间：回原碰撞处经历的时间：gvty/22hlm v0k52得：得：lhgvlhgmMMm 2 230lttv)(210设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量 h， 即假定即假定小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球只与

34、板发生一次碰撞须满足的条件只与板发生一次碰撞须满足的条件2：1021tlvttl53例例4-9 光滑桌面上，光滑桌面上， 质量为质量为m1的小球以速度的小球以速度u 碰在质量碰在质量为为m2的静止小球上，的静止小球上，u 与两球的连心线成与两球的连心线成 角角(称为称为斜碰斜碰)。 设两球表面光滑，设两球表面光滑， 它们相互撞击力的方向沿着两球的连它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线，心线， 已知恢复系数为已知恢复系数为e ，求碰撞后两球的速度。，求碰撞后两球的速度。cos12uvvexcos12211umvmvmxx、y方向动量分别守恒：方向动量分别守恒：sin111umvmy解：解：oyx

35、1m2m1vyv1xv12v设碰后两球速度分别为设碰后两球速度分别为v1、v2 ，方向如图。方向如图。恢复系数：恢复系数：oyx1m2mu54讨论：讨论：两个质量相等的小球发生弹性斜碰：两个质量相等的小球发生弹性斜碰： m1=m2 , e =1 时，时，21211cos)(mmuemmvxsin1uvyjvivvyx111ivv222112cos)1 (mmuemv211, 0vvvx联立三个方程后求解，得：联立三个方程后求解，得：55解：解：(1) A球所受合外力的冲量球所受合外力的冲量例例4-10 光滑球盘上有两只光滑弹性小球光滑球盘上有两只光滑弹性小球A和和B，质量均，质量均为为m，半径

36、为，半径为R，B球静止在盘壁边，球静止在盘壁边，A球以球以 m/s的速度斜射至的速度斜射至(-R，R)处与盘壁和处与盘壁和B球同时碰撞球同时碰撞, 碰撞碰撞后，若后，若A球的速度为球的速度为 ， 求求: (1) A球所受合外力球所受合外力的冲量。的冲量。 (2) A，B 组成的系统所受的合外力的冲量。组成的系统所受的合外力的冲量。 (3) 球与壁之间的恢复系数。球与壁之间的恢复系数。jiv220jvA5 . 10vmvmIAA(2) A，B系统所受合外力的冲量系统所受合外力的冲量jIIAyAB(3) 球与壁之间的恢复系数球与壁之间的恢复系数000yAyvvexyA B)5 . 32(jimjm

37、5 . 375. 025 . 156例例4-11 如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为 m 的小球以入射角的小球以入射角 与一与一粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为 ，恢复系数为恢复系数为 e，求碰撞后小球的速度大小与方向。，求碰撞后小球的速度大小与方向。考虑小球，碰撞过程，忽略重力考虑小球，碰撞过程，忽略重力由动量定理：由动量定理：(1) coscossinsin0000vvvv)cos(cos00mvmvtN00sinsinmvmvtNx：y：解：解：)2(0coscos000vve恢复系数：恢复系数： v0, x 0 y0vv

38、fNEND57Example. If all three collisions in the figure shown here are totally inelastic, which bring(s) the car on the left to a halt? 1. I 2. II 3. III 4. I, II 5. I, III 6. II, III 7. all three Answer: 7. 58Example. If all three collisions in the figure shown are totally inelastic, which cause(s) t

39、he most damage? 1. I 2. II 3. III 4. I, II 5. I, III 6. II, III 7. all three Answer: 3. 59上次课主要内容上次课主要内容 质心的位矢质心的位矢iiiiimrmrcmmrrddcccddamtvmFii 质心运动定理质心运动定理 碰撞过程碰撞过程动量守恒动量守恒恢复系数恢复系数:201012vvvve10 e60一、火箭推力一、火箭推力222ddd)d(mumvmuvv喷气喷气的动量变化：的动量变化：2ddmutF喷气受力：喷气受力：tmuFdd24.4 火箭飞行基本原理火箭飞行基本原理设设 t 时刻，火箭质

40、量为时刻，火箭质量为 m1，速度为，速度为 v (向向上上)，在，在 dt 内，喷出气体内，喷出气体 dm2，喷气相对，喷气相对火箭的速度火箭的速度(称称喷气速度喷气速度)为为 u (向下向下)。由动量定理：由动量定理：tmuFPdd2箭体受到喷气的推力：箭体受到喷气的推力：t+dt2dm21dmm v+dvuzot1mv61二、箭体运动方程二、箭体运动方程对箭体和喷气组成的系统对箭体和喷气组成的系统(设受外力设受外力F)：vmuvvmvvmmtF1221)d(d)d)(d(d21ddmuvmtmutvmFdddd21tmuFpdd2tvmFFPdd1t+dt2dm21dmm v+dvuzot

41、1mv62tvmFFPdd112ddmmtmutvmFdddd11箭体运动方程箭体运动方程可适用于所有质量流动物体的动力学问题。可适用于所有质量流动物体的动力学问题。0 FFP时，加速上升。时，加速上升。 注意：注意：dm1可正可负，当可正可负，当dm1取负时，表明物体质取负时，表明物体质量减小。量减小。63三、火箭的速度公式三、火箭的速度公式只计重力：只计重力：gmF1tmutvmdddd11gtmmuv110ln1101100dddmmvtmmuvtg110lnmmuvgt设设 t=0 时，时，v=0 ，m1=m10 ，任一时刻，任一时刻 t 时为时为 v 和和 m1。6450min110

42、mmmin110maxlnmmuv, ) 1 (umin110)2(mm目前技术：目前技术：u 4000 m/s，m10 /m1 min15 ， v=10.8 km/s 。 提高火箭速度的途径：提高火箭速度的途径：当当 v0 =0，u =2000 m/s 时，要达到第一宇宙速度时，要达到第一宇宙速度 v=v1=7.9 km/s，须有：，须有：讨论讨论110lnmmuv 不计重力：不计重力：齐奥尔科夫斯基公式齐奥尔科夫斯基公式65 如美国发射如美国发射“阿波罗阿波罗”登月飞船的登月飞船的“土星五号土星五号” 运载火箭，运载火箭，N1 16， u1 =2.9 km/s ， N2 = 14， N3=

43、12，u2，3 =4 km/s ，则有：，则有：v =28.5 km/s ，考虑重力和阻力，考虑重力和阻力后仍大于第二宇宙速度，足够完成登月。后仍大于第二宇宙速度，足够完成登月。11ln Nuv ,ln,ln323212NuvvNuvv 最终速度：最终速度：)ln(ln321 NNNuNuvii采用采用多级火箭多级火箭技术：技术：（设（设N1、 N2 、N3 为各级火箭的质量比）为各级火箭的质量比）66END“神州五号神州五号”运载火箭运载火箭长征长征2号号F(CZ-2F)67 作业作业: P144 4-13, 4-14， 4-17， 4-18，4-194-5 相对论的能量和动量相对论的能量和

44、动量 一、相对论的动量和质量一、相对论的动量和质量动量的定义：动量的定义：持续作用持续作用Fv持续增加持续增加随速率增大而增大随速率增大而增大m要求要求 但但 的上限是的上限是vc)(vmm 大量实验证实大量实验证实1901年，年，W.Kaufmann 就已经从放射性镭放出的高就已经从放射性镭放出的高速电子流（射线）实验中发现了电子质量随速度增速电子流（射线）实验中发现了电子质量随速度增大而增大的现象。大而增大的现象。经典力学中经典力学中m被认为是常量被认为是常量与参考系无关与参考系无关2201)(cvmvmvmpv2(v2)v1S系动量守恒：系动量守恒：S系动量守恒：系动量守恒：2001)(

45、0vmmmmvmmmvv0212010)(0vmmmvmmmmvv02122vv( (假设总质量守恒假设总质量守恒) )假想实验：假想实验：两完全相同的小球两完全相同的小球A和和B发生完全非弹性碰发生完全非弹性碰撞撞. 静止质量均为静止质量均为m0. A静止于静止于S系，系，B静止于静止于S系。系。由速度变换式：由速度变换式：2121221cvvvvv代入代入22vv2122121cvvvvv两边除以两边除以v2:21221111cvvvv112122112vvcvvvmmmvv021代入代入1102210mmmcvmmm22101cvmm2201cvmmv=0 时，时， m=m0 为物体的静

46、止质量为物体的静止质量v 损失的动能转换成静能损失的动能转换成静能VMVmvmv即即例、例、一个中性一个中性 介子相对于观察者以速度介子相对于观察者以速度v = kc 运动，运动，以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与 介子原介子原来的方向成相等的角度来的方向成相等的角度 . 试证明（试证明（1）两光子有相等）两光子有相等的能量。（的能量。（2）cos = k.证：证：v 1 1 2 2动量守恒：动量守恒： 0sinsin21cEcEcoscos1212cEcEkvmo能量守恒：能量守恒：21221EEkcmoEEE21cos212cEkvmoEkcmo2

47、122cos222cvEcEkcvcos竖直方向：竖直方向：水平方向：水平方向：92 作业作业: P146 4-20, 4-21， 4-22， 4-23，4-2593一、角动量（动量矩）一、角动量（动量矩）vmrprLsinrmvL 大小：大小：Lrvm O4.6 质点的角动量质点的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律引入质点引入质点关于参考点关于参考点o的的角动量：角动量：,0iipvmp 由于动量由于动量 不能描述转动问题。不能描述转动问题。OmmrrvvrmvLii294分量式：分量式：xyzzxyyzxymvxmvLxmvzmvLzmvymvL 即质点即质点关于关于三个三个坐标轴坐标轴

48、的角动量。的角动量。zyxLLL,vmrprL95tvmFd)(dtvmrFrd)(d合力合力对参考点对参考点O的力矩：的力矩：二、质点角动量定理二、质点角动量定理sinFrFdMvmtrtvmrtvmrtLddd)(dd)(ddd由由tvmrd)(dFr=0Fr dMOFrM96质点的角动量定理：质点的角动量定理：质点对某固定参考点的角动量的变质点对某固定参考点的角动量的变化率等于质点所受合力对同一参考点的力矩。化率等于质点所受合力对同一参考点的力矩。tLMddLtMdd ttLLLLLtM000dd 角动量定理是描述质点转动的动力学方程角动量定理是描述质点转动的动力学方程(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)tttM0d 称合力矩在称合力矩在 时间内的时间内的角冲量角冲量或或冲量矩冲量矩。tt 097三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律各分量具有独立性：各分量具有独立性：tLMdd00ddLLtL ，0M若若则则(恒矢量恒矢量)0 xM1CLx时，时，0yM2CLy时，时，0zM3CLz时，时，98sinmvrL 开普勒第二定律开普勒第二定律面积定律面积定律 在中心力场中，关于力心的角