G94多元复合函数求导法ppt课件

1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则 第九章 )(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导数连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt 中间变量是一元函数的情形.称为全导数的导数对此式是dtdztZ若定

2、理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论不一定成立.若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.下列两个例题有助于( , )zf u v1),(ffvufuzuu2),(ffvufvzvv1122),(ffvuf

3、uzuuuu 21122112ffff 均连续时有和当122),(ffvufvuzuvuv 2222),(ffvufvzvvvv 212),(ffvufuvzvuvu 称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设设掌握这方面问题的求导技巧。常用导数符号常用导数符号推广推广:1、 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2、 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(

4、, )(twtvtu3、 中间变量只有一个的情形中间变量只有一个的情形例如: yxuufz,zuyxxududzxzyududzyz注: 由于 ufz 是一元函数,则它对u的导数应该采用一元函数的导数记号( ).dzf udu例例1. 设设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口

5、诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx例例2 2 设设2222,sin ,xyzuezxy,.uuxy解解:xuxezyx2(222yxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyuyezyx2(222yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzfz2yfyzzfz2)

6、sin2yx)cos2yxxu1y1(,)x yfy zyu1f 2()xy2f 1zzu2f 2yzzyyxfu,求,.uuuxyz例例3知 f 可微，例例4)(2xyxfzyzyxz2)(22xyxfxy )1(22xy)(222xyxfxy.2yxzxyz2知)(uf 连续,求解解2()yfxxxy2yxz2) (2xy21f 2222fxy ),(2xyxfz 222( ,)zyyfxyxx.2yxz例例5 5 知知求解解f 具有二阶连续偏导数,2222fxyxyz),(1zyxzyxf例例6. 设设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令令,zy

7、xvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 1f 2fyz),(2zyxzyxfzy那么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf 12f 2fy zy121 f22f 21,ffyxyx例例7 知知二阶连续可导其中gfxygyxyxfZ,),(2.zyx求解解:1fxyz22fyxgx1xyz2 x11fy 221fy2yx21f y gx21gxy 3111fyxf 221fy223fyx gx21gxy 31f 221fy 121fy 主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第七讲二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(y

8、xvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 1. 利用全微分形式不变性再解解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx

9、所以veusindcosvv )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy,sinyxvyxuvezu.,yzxz求.d,arctanzyxyxz求解解 22ddyxyxxyyxyxdyxyxzd211例例2. 知知22)()()(11yxdydxyxyxdydxyxyx的全微分. 例例3. 计算函数计算函数)cot( yxzu 解解: ud2csccotzx yydxxdyx y dz )(csc2yxdyxzdzyxcot例例4. 设设解法解法1 利用公式有利用公式有dz2(cos)xeydxx1(sin

10、)xeydyyxyexzx2cosyyeyzx1sin4lnln2cosyxyezx2cosln4,.xzzzeyx ydzxy求例例4. 设设2cosln4,.xzzzeyx ydzxy求解法解法2 利用微分形式的不变性有利用微分形式的不变性有ddz )4lnln2cos(yxyexdxxyex)2cos(dyyyex)1sin(xyexzx2cosyyeyzx1sin内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对

11、不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d习题习题)0 , 0(, 0),0 , 0(),( ,),(2233）（yxyxyxxyyxyxf(0,0)(0,0).xyyxff0( ,0)(0,0)(0,0)lim0 xxf xffx0(0, )(0,0)(0,0)lim0yyfyffy2225324)(4yxyyxyxfx2224235)(4yxxyyxxfy)0 , 0(),(yx5500(0, )(0,0)(0,0)limlim1xxxyyyfyfyfyy 5500( ,0)(0,0)(0,0)limlim1yyyxxxfxfxfxx )0 , 0()0 , 0(yxxyffB2(1)求下列函数的偏导数证明设 当时，于是：证明： 因而作业作业P82 2; 4; 81）（29; 12(2); 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P82 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuuP82 题7; P131 题11vuyvuxyxz,arctan1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f P131题 11yexuyxufz, ),(例例5zyexz.,yzxz求解法一解法一: 利用微分形式的不变性有利用微分形式的不变性有zye