垂直于弦的直径教案设计

1、垂直于弦的直径 教案设计第一课时 ( 一)教学目标 ：(1) 理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程 ； 能初步应用 垂径定理进行计算和证明(2) 进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力(3) 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学 生对数学的热爱 .教学重点、难点： 重点：垂径定理及应用；从感性到理性的学习能力 难点：垂径定理的证明 教学学习活动设计：(一) 实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性第 8 页2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题通过演示实验观察感性理性引出垂径定理

2、(二) 垂径定理及证明： 求证： AE=EB，已知：在O0中，CD是直径，AB是弦，CDAB垂足为E.证明：连结0A OB则OA=OB又 CDAB直线CD是等腰 OAB的对称轴，又是O0 的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合，AE和BE重合，分别和 、重合.因匕， AE=BE， =， =. 从而得到圆的一条 重要性质 .垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为OO 的直径，CDAB AE=EB =,为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：过圆 心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦 所对的劣弧 .

3、 加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避 免学生记混 .（三）应用和训练例1已知在OO中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cmT,求OO的半径.分析：要求OO的半径，连结 OA只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点 0到AB的距离为3cm,所以作OEAB于E,而 AE=EB= AB=4cmt匕时解 Rt AOE即可.解：连结OA作OEAE于E.则 AE=EB.AB=8cm AE=4cm.又 OE=3cm在 Rt AOE中， (cm).OO的半径为5 cm.说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高 h关系： r =

4、h+d; r2 =d2 + (a/2)2例2、已知：在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略) 说明：此题为基础题目， 对各个层次的学生都要求独立完成 练习1:教材P78中练习1, 2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流 .指导学生归纳：构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾 股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方 法; 在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距( 四 ) 小节与反思 教师组织学生进行： 知识： (1) 圆的轴对称性 ;(2) 垂径定理及应用 .方法： (1) 垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、 弦心距等

5、问题的方法，构造直角三角形 ;(2) 在因中解决与弦 有关问题经常作的辅助线弦心距 ；(3) 为了更好理解垂径定 理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分 弦; 平分弦所对的优弧 ; 平分弦所对的劣弧( 五 ) 作业教材 P84 中 11、12、13.第二课时 （ 二 ）教学目标 ：（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、 发现问题，概括问题的能力 . 促进学生创造思维水平的发展 和提高（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系 教学重点、难点： 重点：垂径定理的两个推论；对推论的探究方法 难点：垂径定理的推论 1.学习活动

6、设计：（一）分解定理 （对定理的剖析 ） 1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧 .2、剖析： （ 教师指导 ） （二）新组合，发现新问题： （A 层学生自己组合，小组交流，B 层学生老师引导 ），（包括原定理，一共有 10 种）（三）探究新问题，归纳新结论：（1） 平分弦 （ 不是直径 ）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧 .(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧 .(4) 圆的两条平行线所夹的弧相等(四) 巩固练习： 练习 1、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这句话对吗

7、 ?为什么 ?( 在推论 1(1) 中，为什么要附加不是直径这一条件 .)练习2、填空：在O0中若MNABMN为直径，则 若AC=BC MN为直径，AB不是直径，则则若MNAB AC=BC则 若=,MN为直径，则 ( 此题目的：巩固定理和推论 ) ( 五 ) 应用、反思 例、四等分 .(A 层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完 成) 教材P80中的第3题图，是典型的错误作.此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第 3 题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的 理解 . 培养学生的思维能力 .（六） 小结：

8、知识：垂径定理的两个推论 能力：推论的研究方法；平分弧的作图（七） 作业 ： 第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用 教学目的： 要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计 算问题 .培养学生严谨的逻辑推理能力 ； 提高学生方程思想、分类 讨论思想的应用意识 .通过例 4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育 ；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义 思想 教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用 教学难点 ：如何进行辅助线的添加 教学内容：（一）复习 1. 垂径定理及其推论 1：对于一条直线和一个圆来说，具备F列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：直线过圆心；

9、垂直于弦； 平分弦； 平分弦所对的优 弧；平分弦所对的劣弧.可简记为：知2推3 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 2. 应用垂径定理及其推论计算 （ 这里不管什么层次的学生都要自主研究 ）涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距 d弓形高h关系： r =h+d ； r2 =d2 + (a/2)23. 常添加的辅助线： （ 学生归纳 ） 4. 可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系 ； 同 时为圆中的计算、作图提供依据 作弦心距 ； 作半径 .构造直角三角形（二） 应用例题： （让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳） 例 1、 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是

10、圆 弧形，它的跨度 （ 弧所对的弦的长 ）为 37.4 米，拱高 （弧中点到弦的距离，也叫弓形的高 ）为 7.2 米，求桥拱的半径 （精确到 0.1 米 ).说明：对学生进行爱国主义的教育；应用题的解题思路: 实际问题 （转化，构造直角三角形 ） 数学问题 .例2、已知：O0的半径为5，弦AB/ CD , AB=6 , CD=8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图） 解：分两种情况：当弦AB CD在圆心O的两侧过点O作EFAB于E,连结OA OC又 AB/ CD EFCD.（作辅助线是难点，学生往往作OEABOFAB就得EF=OE+O,错误的结论）由 EF过圆心 O, EFAB AB =6

11、，得 AE=3在Rt OEA中，由勾股定理，得同理可得： OF=3EF=OE+OF=4+3=7.当弦AB CD在圆心O的同侧同（1） 的方法可得： OE=4， OF=3.说明：此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维 和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题 ; 培养 学生作辅助线的方法和能力 例 3、已知：AB是O0 的弦，半径 OC/ AB , AB=24 , OC=15 .求：BC的长.解：（略，过O作OEAE于E ,过B作BFOC于 F ,连结OB.BC=)说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求 线段之间找到关系 .（ 三 ） 应用训练：P8l 中 1 题.在直径为650mm勺圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽 AB=600mm求油的最大深度.学生分析，教师适当点拨 分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高 是半径与圆心 0到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理 来解决 .（四） 小结：1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件2. 应用定理可以证明的问题; 注重构造思想，方程思想、分第9页类思想在解题中的应用（五）作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.探究活动直线MN与O0交于点A B,CD是O0的直径，CEMNF