函数奇偶性专题复习

1、函数的奇偶性专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数f ( x) 的定义域内任意一个 x ： f (x)f (x)f ( x) 是偶函数； f (x)f (x)f ( x) 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；可逆性： f (x)f (x)f (x) 是偶函数； f (x)f ( x)f ( x) 是奇函数；等价性： f (x)f ( x)f (x) f ( x)0 ；f ( x)f ( x)f ( x)f (x)0

2、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查f ( x) 是否与f ( x) 、 f ( x)相等，判断步骤如下：定义域是否关于原点对称；数量关系 f ( x)f ( x) 哪个成立；例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性（ 1） f (x)x32x（ ）2x43x2（ ）x 3x22 f ( x)3 f ( x)x1（ 4）f ( x)x2x1,2（5） f (x)x211x2（ ） f ( x) lg x2lg16x2 .例 2：判断函数 f ( x)x2( x0)的奇偶性。x2( x0

3、)第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的6个结论.结论 1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。结论 2两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。结论 3f ( x) 是任意函数，定义域关于原点对称，那么f ( x ) 是偶函数。结论 4函数 f (x)f (x) 是偶函数，函数f ( x)f (x) 是奇函数

4、。1 / 5结论 5已知函数f ( x) 是奇函数，且f (0) 有定义，则f ( 0)0 。结论 6已知 f ( x) 是奇函数或偶函数，方程f ( x)0 有实根，那么方程f ( x)0 的所有实根之和为零；若 f ( x) 是定义在实数集上的奇函数，则方程f ( x)0 有奇数个实根。五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）1.利用定义解题例 1：已知 f ( x) a1为奇函数，则 a_。2x1已知 f (x)x21为偶函数，则 a_。(3x2)(xa)2.利用奇偶性，求函数值例 2：（ 1）已知 f (x)x5ax3bx8 且 f ( 2) 10 ，求 f ( 2)的值3.利用奇偶

5、性比较大小例 3（1）已知奇函数 f(x) 在 R 为减函数，比较 f (5) ， f(1) ， f (3) 的大小。（2）已知函数 yf x是 R 上的偶函数，且 fx 在 0,上是减函数，若 f af2 ，求 a 的取值范围 .*（ ）定义域为R的函数 fx 在 8,上为减函数，且函数 yf x 8 为3偶函数，则 ()A.f 6f 7B.f 6f 9C. f 7f 9D.f 7f 104.利用奇偶性求解析式例 4：（1）已知 f ( x) 为偶函数， 当 0x1时, f (x)1 x,当1x0时 ，求 f ( x)解析式？（2）已知 f ( x) 为奇函数，当 x0 时 , f ( x)

6、 x22x ，当 x0时，求 f ( x) 解析式？5.利用奇偶性讨论函数的单调性3是偶函数，讨论函数f ( x) 的单调区间？例 5：若( )(k2)x2(k3)xf x6.利用奇偶性判断函数的奇偶性例 6：已知 f ( x)ax3bx2cx( a0) 是偶函数，判断g( x)ax3bx2cx 的奇偶性。7.利用奇偶性求参数的值2 / 5例 7：（ 1 ） 定 义 R 上 的 偶 函 数 f ( x)在 (,0)单调递减，若f (2a2a 1)f (3a22a 1) 恒成立，求 a 的范围 .（ 2 ） 定 义 R 上 单 调 递 减 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 对 任 意 t R

7、 ， 若22t ) f (2 t20 恒成立，求 k 的范围 .f ( tk )8.利用图像解题例 8：（1）设奇函数f(x) 的定义域为 -5,5. 若当x0,5 时,f(x) 的图象如右图 ,则不等式 f x0 的解是.（2）若函数 f ( x) 在 (,0) (0,) 上为奇函数，且在 (0,)上单 调递 增 , f ( 2)0,则不等式x f( x) 0的解集为.9.利用性质选图像10 ，则 y 关于 x 的函数的图像形状大例 9：（1）设 a 1，实数 x, y 满足 | x | log ay致是（）奇性题练A yexe x（2）函数yex e x10xB yCyD y的图象大致为1

8、0010xx1x 偶专训1.已知函数 （fx） ax2 bxc（ a0）是偶函数，那么 g（x） ax3 bx2 cx（）A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数2.已知函数f（ x） ax2bx 3ab 是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（）A a1 ，b0Ba 1，b0C a 1， b 0Da3，b033.如果定义在区间 3a,5 上的函数 f ( x) 为奇函数，则 a =若（）x2 2mx3 是偶函数，则 m _4.ym15.若 f (x)2 x2x lg a 为奇函数，则实数 a3 / 56.函数 y ax2bx c 是偶函数的条件是已知f（x） x5ax3bx8，且 f（ 2

9、） 10，那么 f（2）等于（）7.A26B 18C 10D108.已知函数 f ( x)lg 1x .若 f (a)b.则 f ( a)1xAbB bC 1D 1bb9.若函数 f ( x) 是定义在 R上的奇函数，则函数F (x) f (x)f ( x ) 的图象关于（）A.x 轴对称B.y 轴对称C. 原点对称D. 以上均不对10.已知函数 yf ( x) 在 R 是奇函数，且当 x0 时， f (x)x22x ，则 x0 时，f ( x) 的解析式为 _11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不是单调函数的是（）A y x3B yxC y1D y ( 1 )xx212.若函数 f (

10、 x)( x 1)( xa)a（）x为奇函数，则A 1B 0C 1D 213.设函数f ( x), g( x) 的定义域为 R ，且 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A f (x) g(x) 是偶函数B | f (x) | g(x) 是奇函数C f ( x) | g( x) | 是奇函数D | f ( x) g (x) | 是奇函数14.定义在 1，1上 的 函 数 y f ( x) 是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若f (a 2a1) f ( 4a5)0 ，求实数 a 的范围。15设定义在 2， 2上的偶函数 f（x）在区间 0，2上单调递减，若 f（ 1 m） f（ m），求实数 m 的取值范围16. 若 f（ x）是定义在（ ，5 5，）上的奇函数，且 f（x）在5， ）上单调递减，试判断f（ x）在（ ， 5上的单调性，并用定义给予证明17.设函数 yf（ x）（xR 且 x0）对任意非零实数x、y 满足 f（ x·y） f（x）4 / 5f（y），求