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1、用特征根法求数列的通项公式蒋一波义 1 形如 an =C1anJC2an2 +IH 川+Ckan±HI "HI （1 ）, c” c2 I 11Hle卜都是常数且Ck #0称为常系数线性齐次递推数列定义 2 方程 xk _CiXk±_IIHII -Ckx _Ck =0川川川（2）叫做递推数列的特征方程，它的k个根qi, q2, q3,qk叫做递推数 列（1）的特征根证明：令a1是递推数列任一解，那么a1由它的初始条件 a。=b0,a1 =>,111川0,=by完全确定，待定常数d= d 2,山川，dk ,联立方程 组d d - HI

2、 Hl - d = b k0d1 d 2q2 ,川川，d k = bk ±kdg dzQk =b解出 d1,d2"H ,dk ,方程的系数矩阵是111M1q1q2山qkIIIIIIIIIIIIk _Lk _2Ll Jk _Lq1q2 川 qk因为所有的特征根q1，q2，q3Hqk ,都不同，所以这个行列不为零， 于是方程关于d-d2,惘川，dk有唯一的解，证毕例1已知递推数列满足an+=3anan/n之2.a1=a2=1,求解数列同的通项公式解：a“ +=3a” a“”n22 ）的相应特征方程九2 _3儿+1=0,解出其特征根是所以an ”由初始值氏=a2 =1得求得从而5

3、-255 _5 2 -55评注：本题的解题关键是先求出特征方程的根。再由初始值确 定出C10的值。从而可求出数列an的通项公式,a4 =4 ； (2)例2已知数列m 满足条件：（1）耳=a2 =1 , a3 =2an =an+an垓十an（n >4 ）, 求通项公式a解：特征方程x4x3x1=0,其四个根为i,i,士后 匕后，通项 22由初值条件得'ii - -2 -i(1)(2)331 -中,1i二4(3)(4)由(1)(3) (4)得2 - i3, .2一 n -%2 也21 02 i n 2 i n 1 1 - '51i - ( -i)一 -1 01 0525评注：本题的解题关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出C”C2 Q,C4的值。从而可求出数列a的通项公式参考文献：1范端喜.递推数列的通项.数学通讯J,20

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