拉普拉斯变换348411090

1、第二章第二章 物理系统的数学模型物理系统的数学模型第一节第一节 控制工程的数学方法控制工程的数学方法 （Laplace变换）变换）一、一、Laplace变换变换Laplace变换是一种函数变换变换是一种函数变换拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换的定义： 设函数设函数 若满足：若满足：（1）当）当 时，时，（2）当）当 时，实函数时，实函数 的积分的积分 存存在在则定义的则定义的 拉普拉斯变换为拉普拉斯变换为并记作，其中算子并记作，其中算子s是一复数是一复数. )(tf0t0)(tf0t)(tf0)(dtetfst)(tf0)()(dtetfsFst)()(tfLsF一、一、Laplace变换变换

2、 称为称为 的像函数；的像函数； 称为称为 的原函数的原函数. 2. Laplace反变换反变换记为：记为： )(sF)(tf)(tf)(sFdsesFjtfjcjcst)(21)()()(1sFLtf一、一、Laplace变换变换2. 常用函数的拉氏变换式常用函数的拉氏变换式 A）阶跃函数阶跃函数 反变换：反变换：B）指数函数指数函数 反变换：反变换：)0( )( 1)(ttEtusEesEdteusUsFstst00)()(asdtedteeeLasstatat10)(0ateasL11)( 11tEsEL一、一、Laplace变换变换C）正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数 根据尢拉公式

3、可将正弦化成指数函数形根据尢拉公式可将正弦化成指数函数形式，即式，即 2200)(21sinsinsdteejdtettLjjsttsLsin2212200)(21coscosssdteeedtettLstjjsttssLcos221一、一、Laplace变换变换D） t的幂函数的幂函数当当n=1时，时，其它见附表其它见附表 10!)(nstnnsndtettLsF21stL一、一、Laplace变换变换3. Laplace变换的主要运算定理变换的主要运算定理A) 叠加定理叠加定理 两个函数之和的拉氏变换等于两个函数两个函数之和的拉氏变换等于两个函数的拉氏变换式之和的拉氏变换式之和.即若即若则

4、则或写成或写成)()()(21tftftf)()()()(2121tfLtfLtftfL)()()(21sFsFsF一、一、Laplace变换变换B) 比例定理比例定理 若若则则 C) 微分定理微分定理若若则则 一般情况下：一般情况下：初始条件初始条件=0时时 )()(),()(111sFtfLtKftf011).()()(sKFdtetKftfLst),()(sFtfL0)0()()()(fssFdtedttdfdttdfLatnkkknnnnnnnnnfssFsfsffsfssFsdttfdL1)1()1()0()2()0(21)()0()( )0()0()()()()()(sFsdttf

5、dLnnn一、一、Laplace变换变换D）延迟定理延迟定理 若若 ，则，则 该定理说明如果时域函数该定理说明如果时域函数 平移，平移，则相当于复域中的像函数乘以则相当于复域中的像函数乘以 。)()(sFtfL)()(sFetfLs)(tfse一、一、Laplace变换变换E）终值定理终值定理 若函数若函数 及其一阶导数都是可拉氏变换及其一阶导数都是可拉氏变换的，则的，则 的终值为的终值为 因此，利用因此，利用 终值定理可以从像函数直终值定理可以从像函数直接求出原函数接求出原函数 在在 时的稳态值。时的稳态值。说明说明 的稳态性质同的稳态性质同 的临域内的临域内的性质一样。的性质一样。)(tf

6、)(tf)(lim)(limssFtfst)(sF)(tft)(tf0)(sssF在一、一、Laplace变换变换F）初值定理初值定理 若函数若函数 及其一阶导数都是可拉氏变及其一阶导数都是可拉氏变换的，则换的，则 的初值为的初值为证明从略。证明从略。)(tf)(tf)(lim)(lim)0(0ssFtffst二、二、Laplace反变换反变换应用举例应用举例:1. F(s)有不相同的极点有不相同的极点式中，式中， 是常值，是常值， 为极点处的为极点处的留数留数。 值可用值可用 乘方程式（乘方程式（1）的两边，并令）的两边，并令 来求出，即来求出，即注意到注意到 nnkkpsapsapsaps

7、asAsBsF2211)()()(kakps)(kas kakpskpskkpssAsBa)()()(tpkkkkeapsaL1二、二、Laplace反变换反变换于是得到的如下形式于是得到的如下形式tpntptpneaeaeatf2121)(二、二、Laplace反变换反变换例：例： 求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：求求于是于是 )2)(1(3)(ssssF21)2)(1(3)(21sasassssF21aa 和1)2()2)(1(3, 2) 1()2)(1(32211ssssssassssatteesLsLsFLtf211122112)()(二、二、Laplace反变换反变换2. F(s)含有共轭复极点含有共轭复极点例例解：解：) 1ss ( s1s) s (F222222866. 0)5 . 0s (5 . 0866. 0)5 . 0s (5 .