D61微分方程及其求解ppt课件

1、高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 ( )( )xmf xePx 型型( )( )cosxlf xeP xx ( )sinnP xx 型型一、一、高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期( )ypyqyf x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为yY *y 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,的待

2、定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法*y给出特解给出特解(p,q为常数为常数) 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解的叠加原理解的叠加原理高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期( )xeQx (2)( )p Q x 2()( )pq Q x ( )xmePx 一、一、 ( )( )xmf xePx 型型 为实数为实数 ,( )mPx设特解为设特解为*( ) ,xyeQ x 其中其中 为待定多项式为待定多项式 , ( )Q x*(

3、)( )xyeQ xQx 2*( )2( )( )xyeQ xQxQx 代入原方程代入原方程 , 得得 ( )Qx (2)( )p Q x 2() ( )pq Q x ( )mPx 为为 m 次多项式次多项式 .高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期(2) 假设假设 是特征方程的单是特征方程的单根根 , 20,pq20,p (3) 假设假设 是特征方程的重是特征方程的重根根 , 20,pq20,p 2*( )xmyx Qx e ( )Qx (2)( )p Qx ( )mPx 2()( )pq Q x即即即即(1) 假设假设 不是特征方程的不是特征方程

4、的根根, 20,pq 即即*( ).xmyQx e ( )( ),mQ xQx 可设可设可设可设( )( ),mQ xxQx *( ).xmyxQx e 可设可设2( )( ),mQ xx Qx 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期012k 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程 (k是重根次数是重根次数).*( )kxmyx Qx e 综上讨论综上讨论 不是根不是根 是单根是单根 是重根是重根( )( )xmf xePx 型型特解形式设为特解形式设为高等数学高等数学 土木土木103、104 2010

5、2011学年第二学期学年第二学期例例1.2331yyyx 求求方方程程的一个特解的一个特解.解解: 此题此题而特征方程为而特征方程为223 0rr 不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为01*,yb xb 代入方程代入方程 :01033231b xbbx 比较系数比较系数, 得得033b01231bb 0111,3bb 于是所求特解为于是所求特解为1*3yx 0 0, 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期例例2. 256xyyyxe 求求方方程程的通解的通解. 解解: 此题此题特征方程为特征方程为2560rr 其根为其根为对应

6、齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为2312xxYC eC e 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为201*()xyx b xb e 122,3rr代入方程得代入方程得01022b xbbx 2, 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期例例2. 256xyyyxe 求求方方程程的通解的通解. 解解:比较系数比较系数, 得得021b0120bb011,12bb 因此特解为因此特解为21*(1)2xyxxe 所求通解为所求通解为2312xxyC eC e 221()2xxx e代入方程得代入方程得01022b xbbx 高等数学高等数学 土木土木103、

7、104 20102011学年第二学期学年第二学期( )( )cosxmf xe P xx 二二、或或()( )( )ixmF xePx ( )ypyqyF x 令令的特解的特解 y*(一般为复根一般为复根)( )( )sinxmf xe P xx 型型求求12yyiy 可以证明可以证明1y 2y 与与分别是下列方程的解分别是下列方程的解( )cosxmypyqye Pxx ( )sinxmypyqyePxx 设设( )ypyqyF x 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期01k ()*( )kixmyx Q x e 综上讨论综上讨论(i)不是根不是

8、根()( )( )ixmF xeP x 型型特解形式设为特解形式设为(i) 是根是根高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例3cos2yyxx 求求方方程程的一个特的一个特解解 .有共轭复根有共轭复根210r 特征方程特征方程ri 此题此题 0,2,( )mPxx 2ii 不是特征根不是特征根 2i xyyxe 求求方方程程的特解的特解 令特解令特解 2*()i xyaxb e 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例3cos2yyxx 求求方方程程的一个特的一个特解解 .将特解将特解2*()i

9、 xyaxb e 代入原方程得代入原方程得22( 334)i xi xa xbai exe31a340bai 13a 49bi 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期例例3cos2yyxx 求求方方程程的一个特的一个特解解 .114cos2sin239yxxx 于是求得一个特解于是求得一个特解214*()39i xyxi e 14()(cos2sin2 )39xixix 1414(cos2sin2 )(sin2cos2 )3939xxxixxx 原方程得一个特解原方程得一个特解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年

10、第二学期解解例例44sinyyx 求求方方程程的通解的通解 .对应齐次方程对应齐次方程 0yy 特征方程为特征方程为 210r 特征根特征根:12,ri ri 对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：12cossinYCxCx 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例44sinyyx 求求方方程程的通解的通解 .齐次通解：齐次通解：12cossinYCxCx 特征方程特征方程0,1, 是特征方程的根是特征方程的根ii 210r ( )0,mPx 此题此题 故设特解为故设特解为*ixyaxe 4ixyye 考虑方程考虑方程高等数学高等数学 土木土

11、木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期解解例例44sinyyx 求求方方程程的通解的通解 .代入方程整理得代入方程整理得于是求得一个特解于是求得一个特解22 cosyxx 原方程通解为原方程通解为12cossin2 cosyCxCxxx 2ai 224ixixixixa xieaxi eaxee *2ixyixe (2 )(cossin )ixxix 2 sin2 cosxxi xx 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程

12、类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤四个标准类型四个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程, *全微分方程全微分方程 小结小结高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期1. 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解二、高阶微分方程求解( )( )nyf x 逐次积分逐次积分 解法解法:高阶高阶 yf(x)型的微分型的微分方程方程高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期 yf(x y) 型的微分方程型的微分方程 解法解法: 令令化为化为 x,

13、p 的一阶微分方程的一阶微分方程.,py 那么那么,dpydx yf(y y) 型的微分方程型的微分方程 解法解法: 令令化为化为 y, p 的一阶微分方程的一阶微分方程.,py 那么那么,dpypdy 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期二阶线性微分方程的通解的结构二阶线性微分方程的通解的结构 齐次方程的通解的结构齐次方程的通解的结构 如果函数如果函数 y1(x) 与与 y2(x) 是方程是方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 的两个线性无关的解的两个线性无关的解 那么那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解是方程的通解 其中其中C1、

14、C2是任意常是任意常数数高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期2. 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:0yp yq y r xye 和它的导数只差常数和它的导数只差常数代入得代入得2()0r xrprq e 20rprq称为微分方程的特征方程称为微分方程的特征方程,( r 为待定常数为待定常数 )rxe所以令的解为所以令的解为 其根称为特征根其根称为特征根.因为因为r为常数时为常数时,函数函数 (p,q为常数为常数) 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期1212r xr xyC eC

15、e 12rr 实根实根 122prr 112()r xyCC x e 1 2 ,ri 12(cossin)xyeCxCx 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程方法步骤方法步骤写出特征方程写出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三种不同情况依下表写出通解按特征根的三种不同情况依下表写出通解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期3. 二阶线性微分方程的通解的结构二阶线性微分方程的通解的结构 设设 y*(x) 是方程是方程 yP(x)yQ(x)y f(x) 的一个特

16、解的一个特解 Y(x)是方程是方程 yP(x)yQ(x)y0 的通解的通解 那么那么 yY(x)y*(x)是方程是方程 yP(x)yQ(x)yf(x) 的通解的通解 非齐次方程的通解的结构非齐次方程的通解的结构高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期 微分方程微分方程 ypyqyPm(x)ex 的待定特解的待定特解012k *( )kxmyx Qx e 不是根不是根 是单根是单根 是重根是重根特解形式设为特解形式设为高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期01k ()*( )kixmyx Q x e (i)不是

17、根不是根()( )( )ixmF xeP x 型型特解形式设为特解形式设为(i) 是根是根 微分方程微分方程 ypyqyexPm(x)cosx 或或 ypyqyexPm(x)sinx 的待定特解的待定特解整合为整合为( )ypyqyF x 12yiy 高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期那么那么1y 2y 是是( )cosxmypyqye P xx ( )sinxmypyqyePxx ()*( )kixmyx Q x e ()( )( )ixmF xeP x 型型特解形式设为特解形式设为整合为整合为( )ypyqyF x 12yiy 的解的解是是的

18、解的解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期思考题思考题1.微分方程微分方程2xxyyee (0)的特解形式为的特解形式为 sinxex 2.微分方程微分方程cosxyyex 满足条件满足条件y(0)=0的解的解 2019年考研题年考研题 ()();xxAa ee ( )()xxB ax ee ()();xxC x aebe 2( )();xxD x aebe C高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期设设 的特解为的特解为2644xyyy *1y设设 的特解为的特解为xeyyy2844 *2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为思考题思考题3.写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. . 解解高等数学高等数学 土木土木103、104 20102011学年第二学期学年第二学期*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为练习题练习题3.写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. . 解解0442 rr特征根特征根22,1 r*21yaxbxc *222xydx e （重根）（重根）*2y *1*yy 2axbxc 22xdx e 高等数学高等数学 土木土木103、104