D15无穷小无穷大ppt课件

1、 第一章 二、二、 无穷大无穷大 一、一、 无穷小无穷小 第五节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 无穷小与无穷大三、三、 无穷小量的比较无穷小量的比较 当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 假设假设0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小 .时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 性质性质 1：无穷小：无穷小+（-）无穷小仍然是无穷小。）无穷小仍然是

2、无穷小。例如：例如：f (x) = sin x + x 0 xx 时 , 函数,0)(xf(或 )x则称函数)(xf为0 xx定义定义1. 假设假设(或 )x那么时的无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 性质性质 2：无穷小乘有界函数仍然是无穷小。：无穷小乘有界函数仍然是无穷小。例如：例如：f (x) = x cos x 说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与

3、函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,证证: :Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Mxf)(二、二、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给若任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总

4、存在机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !（考虑，提示震荡函数。）机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例 . 证明证明11lim1xx证证: 任给正数任给正数 M ,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy假设 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的垂直渐近线 .渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 完毕 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系假设)(xf为无穷大,)(1x

5、f为无穷小 ;假设)(xf为无穷小, 且,0)(xf那么)(1xf为无穷大.那么(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,三、无穷小的比较引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,0limCk定义定义.,0lim假设则称 是比 高阶的无穷小,)(o,lim假设假设假设, 1lim假设,0limC

6、或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例如例如 , 当当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;x20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 证明证明: 当当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba

7、)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理2 . 设设,且lim存在 , 那么lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 完毕 “等价无穷小代换法等价无穷小代换法”例 1：xxxx3sinlim30 xxx3lim031机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例 2：11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 32210limxxxx例例3. 求求解解: 原式 231x221x例例4. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小