二项式定理十大典型问题及例题0001

1、二项式定理十大典型问题及例 题学科教师辅导讲义年 级：高二辅导科目：数学学员编号:课时数：3学员姓名: 学科教师：教学内容系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依 次是以CC，项的系数是a与6的系数（包括二项 式系数4 .常用的结论：令r = L8=卷(l + x)w -C： + Jx + C2+- + CX+ - + CH(/?e N")令口 = 1,6 =-r,(1 -x)" = -C> + C>2+ C>r + - +5 .性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式 系数相等，即Gc；，二项式系数和：令”底| ,则二项式系

2、数的和为+ C+c* +q+g=2”， 变形式C+小+c;+GT-1。奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令=1,八_1,贝加Y + Q -C + = （i-ir = 0， 从而得到：c：+c+c"，y'+.=c+c：+-TCy*"=1Q=2g奇数项的系数和与偶数项的系数和：a + x）n =+ C>n-lx+C>fl-2x2+ - + Cxn =/ + 弭£ + a2x2 +- + *（x + ”=端口。父+ Crav'i +" + + a2x2 十处金 + 即令工=1, 则为+ / + % +硝+

3、 % = S +】）"令 H 1,则& 一"| +&，_a+*'+% =（.一1）H（2）+得当+旦+%牛旦+（奇数项的系数和）一得,/%+ 4 = 9 +（偶数项的系数和）1 .二项式定理：(a b)n C0an C：an1b C：a" rbr C：b"(n N),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C；(r 0,1,2, ,n).项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项C；anb叫做二项式展开式的通项。用 Tn C：anrbr 表

4、示。3.注意关键点：项数：展开式中总共有(n 1)项。顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。(a切。与8 2y是不 同的。指数：a的指数从n逐项减到0 ,是降塞排列。b的指数从0逐 项减到n,是升塞排列。各项的次数和等于n.二项式系数的最大项：如果二项式的骞指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C：取得最大值。如果二项式的塞指数n是奇数时，则中 n 1 n 1-.间两项的二项式系数 导，导同时取得 最大值。系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别M从而解出来。为AA, ,An1,设第r 1项系数最大，应有：Ar题型一：二项式定理的逆用;例

5、：Cn Cn2 6 C； 62 Cn 6n 1解：(1 6)nCn1用 6 Cn2 62C3 63Cn 6n与已知的有一些差距,c： C6 Cn3 62 C6n 1 1(Cn 6 c2 626C； 6n)6(CCn 6 C： 621Cn 61) 6(1 6)1 6(7n 1)练：C： 3C29C；3n e解：设 Sn C； 3C：9C；3n 1c12 23Sn 3 C；32C；33 C：3n,则C； Cn3 C；32C；33 C：3n 1 (1 3)n 1Sn(1 3)n 134n 13题型二：利用通项公式求必的系数;例：在二项式（右M/）n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系

6、数?解：由条件知Cn 2 45)即 C； 45) n2 n 90 0)解得 n9(舍去)或 n 10)Tr1 C：o(x；)1Or(x3)r C；ox，3,由题意 Uj |r 3,解得 r 6)43则含有x3的项是第7项T6 1Ci6oX3 210x3,系数为210。练：求(x2白9展开式中x9的系数？ 2 x/J. O n rI rr d Q OrI r rrI r d Q O rJ t 4| /4 -r-/ 2 9r / r 18 2r z l r / r 183r/ C C CI r I I Ic用牛. Tr 1 C9 (x )( x)C9 x( ) x C9 (万)'118 3

7、r 9 , r 3故x9的系数为c：( I)321。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式（x2赤）10的展开式中的常数项？5斛：Tr1 C1ro（x2）10 r（f）r C；o（；）rx "令 20 ：r 0 得r 8 所以 T9 C*。8 2 . x 222256练：求二项式（2x-6的展开式中的常数项？2x解:6 2r 0,得r 3,所以r 6 r r 1 rr r 6 r 1 r 6 2rTr1 C6 (2x) ( 1) ()( 1) C6 2 (3) x )T4 ( 1)3C320练：若（x2为的二项展开式中第5项为常数项，则n x解：T5 C4(x2)n 4(1)4

8、C：x2n12, 令 2n 12 0)得 n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项; 例：求二项式（人版）9展开式中的有理项？11127 r斛：Tr1C；(x2)9r( x3)r(1)rC；xF)令36Z,( 0 r 9)得 r3或 r9)所以当 r 3时，£61 4, T4 ( 1)3cs3x484x4 ,当 r 9 时)2L-L 3T10 ( 1)3C9x3x3o6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例：若(万展开式中偶数项系数和为求n.解：设(3 与)n展开式中各项系数依次设为ao,a1, an, x令X 1,贝U有aoaan0,令x 1,贝有 a。a

9、a283( 1)nan2n,将-得：2(a1a3as)2n,&a3as2n1,有题意得 ,2n 125628 , n 9 o练：若(行。)。的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ,求它的中间项。由汉,0242r13 02r1Qn 19n 1用午*, Cn Cn CnCnCn CnCn2 ,21024,用牛 1 寸 n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7, Ts1 C5(g)6(g)5 462 x4,61T6 1462 x 15题型六：最大系数，最大项;例：已知(1 2x)n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：；

10、C： C： 2C：, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14 ,当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是T,和Ts T,的系数 明）423日,，T5的系数 C；（1）324 70,当 n 14时，展开式中二项式系数最大的项是 T8, T8的系数 C74（2）7273432。练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T* Tni也就是第n 1项。 I 2练：在（xi）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开 2、x式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则51 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等

11、于C；（：）2 7 2练：写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的嘉指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4 C3a4b3的系数最小,T5 C；a3b4系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求g 2x）n的展开式中系数最大的项？解：由C0C：C279,解出 n 12 假设Tr1项最大，v(-2x)12(2)12(14x)12/ 7 I II 1r n1r n1r n ，/ ij 4|, | |i i /、l/12，'/Ar 1ArAr 1Ar 2r , rC12 4_ r rC124C；214

12、r 1C；214r 1 '化简得到9.4r 10.4)又丫 0 r 12)展开式中系数最大的项为-I-丁 /1、1210/01010T11，侣 T11(-) C12 4 x 16896x练：在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr1项最大)I1 C；02rxrAr 1ArAr 1Ar 2C；0 2rC；° 2rC r 10r 1C10 2r 1 r 1C10 2解得2(11；,化简得到 6.3 kr 1 2(10 r)7.3)又,0 r 10) r 7,展开式中系数最大的项为丁8以2%7 15360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2 3x 2)5

13、的展开式中x的一次项的系数？解法：(x23x 2)5(x22) 3x5,Tr1C； (x22)5r (3x)r,当且仅当 r 1 时,Tr1的展开式中才有x的一次项)此时Tr 1 T2 c5(x2 2)43x , 所以x得一次项为C5C：243x 它的系数为C5C：243 240。z 2c c5/八 5/c5小0 5C1 4c 5、小 0 5八1 4cc5c5用牛(x3x 2)(x1) (x2)(C5 xC5xC5 )(C5 XC5x 2C52 )故展开式中含x的项为C；xCQ5 C4x24 240x,故展开式中x 的系数为240.练：求式子(M这2)3的常数项?解：(1x1 2 2)3 (桐

14、卡)、设第r 1项为常数项)则r rl 6r 1r6 r 6 2r41| 八 c -33 3Tr 1C；(1)|x(jxj)r( 1)6C； x ,侍 6 2r 0, r 3,T31(1)3C320 .题型八：两个二项式相乘;例:求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解:/(1 2x)3的展开式的通项是Cm (2x)m Cm 2m xm,(1 x)4的展开式的通项是 C4 ( x)nC41n xn,其中 m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令m n 2,则 m 0且n 2,m 1且n 1, m0,因此(1 2x)3(1 x)4的展开式中x2的系数等于C； 20 C2 ( 1)

15、2C3 21C4 ( 1)1C； 22 C0 ( 1)0练:求(1 3x)6(1 工三)10展开式中的常数项. x解:1m(1次)6(17)10展开式的通项为C6nx3 C；x xm nC6C104m 3n12x 12其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10，当且仅当 4mm3n,即 n°，或 0,3,或4,6,8,练:时得展开式中的常数项为C0 C00 C； C140 C： Cw 4246.11已知(1 x x )(x =)的展开式中没有吊数项，：N且2 n 8,则nx解:1c(x 之厂展开式的通项为xCn xnr x3r Cn xn 4r，通项分别与前面的三项相乘

16、可得C：n 4r r n 4r 1 r n 4rx ,Cn x ,Cn x2,；展开式中不含常数项,2 n 8n 4r 且 n 4r 1且 n 4r2,即 n 4,8且n3,7且n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和例： 在(x 2006的二项展开式中，含对勺奇次幕的项之和为S,当x 石时,S解：设(x , 2006=a0 a1x1 a2x2 a3x32006 a2006x/1 2006123(x 2)=a0 a1xa2xa3x2006 a2006x得 2(ax a3x3 a5x5 a2005x20052006一. 2006)(x 、2) (x 2)(x5006展开式的奇

17、次曷项之和为S(x)2Kx扬2006 (x正产3 20062130082当x师S诉11（72 .产（&应严 题型十：赋值法；例：设二项式（3次勺的展开式的各项系数的和为P,所有二项 x式系数的和为s,若P S 272，则n等于多少?解：若（33/x1）na0axa2x2anxn 有 Pa。aan, SC；C：2nx令 x 1得 P 4n）又 p s 272，即 4n 2n 272 （2n 17）（2n 16） 0 解得2n 16或2n17（舍去） n 4.n练：若3G2 的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常 x数项为多少？n解：令x 1,则3VX4的展开式中各项系数之和为2n 6

18、4,所以 xn 6）则展开式的常数项为C；（3）3 （尤）3540.练:2009123右(1 2x) a0 axa?xa3xa2009x2009(x R),则彳制 的值为解：令x 1,可得a° a1 ft泳0,称爱a20092 2009a0在令x 0可得a0 1,因而01 |f菖91.练:若(x 2)5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 aR 00,则为a2a3a4a5解：令x0得a032,令x1 得a0a1a2a3a4a51,a a2a3“a§31.题型十一：整除性；例：证明：32n 28n 9(n N*)能被64整除证：32n 28n 9 9n 18n 9 (8

19、1)n 1 8n 9° On 11 Onn1Q2n Q1n 1Cn18Cn18Cn 18Cn 18Cn18n 90 On 11 Onn1O20Qn 11 Q nn 1 Q2Cn 18Cn18C”18 8(n I) I 8n 9 C” 18 Cn 18Cn 1 8由于各项均能被64整除32n 28n 9(n N*)能被64整除1、(x1)11 展开式中x的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f 2f( 1)(2)11/210242、C： 3C； 32c23n C；2、2、4n3、(能专)20的展开式中的有理项是展开式的第 3、3,9,15,21 4、(

20、2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展 开式系数之和，故令x=1,则所求和为355、求(1+x+x2)(1-x) 1睡开式中x4的系数.5、(1 x x2)(1 x)10 (1 x3)(1 x)9，要得到含x4的项)必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项c；(x)，作积，第一个因式中的x3 与(1-x) 9展开式中的项C9(x)作积，故x4的系数是C19 C4 135.6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 1曝开式中x3的系数.6、(1 x) (1x)2(1 x)1。(1 x)1 (1 x)10 = (x 1)11 (x 1),原式中 x3 实为这1 (1 x)x分子中的x则所求系数为c71