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文档简介
1、习题5. 11 .判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘 ,所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性?由n阶实对称矩阵的性质知,n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵, 数乘 n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵,所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间?2 .全体正实数R+,其加法与数乘定义为a mb =abk a =a其中a,b三R ,k =R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间 答是.设,R .因为;. a ,b? _R = , a = b= ab R ,.三 R, a 三
2、 R = Ba = a '三 R ,所以R ?对定义的加法与数乘运算封闭下面-验证八条线性运算规律(1) aAb=ab=ba =bAa ;(2) a : J b : J c = ab : Fc = ab c =abc =a bc =a: J b: Jc ;(3) R ?中存在零元素 1, - a ? R 有a二1二a 1 =a ;对R冲任-元素a,存在负元素a Rn,使a十a=aa=1 ;(5) 1 a Aa 1 =a ;(7) - . f a 二 aH'=a 'a, =a '二 a" -, a 二a ;(8) 工(a 二 b) i (ab )=ab
3、=a b =a 二 ba - ?b.所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间(9) 体实n阶矩阵,其加法定义为A :.门 B = AB -BA按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.:A 二 B =AB -BA , B 二 A = BA - AB = -(AB -BA)A二B与B二A不一定相等故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则(1 ),全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间? 4 .在P2中,W =A/| A =0, A乏P2>? ,判断W是否是P2诟O勺子空间.答否.例如"2和1' 1U 2 J 131的行列式都为零,
4、 3 r3的行列式不为零,也就是说集合对加法不5圭封闭.“A的线性相关性解设 Xi A 'X2 A2 - X3A3- X,A4=0 ,fax1 a X2 a X3 a X4 =0 即Xi- ax 2|x1 - X2- ax3- xX3=0X4 =0由系数行列式JX1 X2X3ax 4= 0=(a - 3)( a -1) 1111a矢口, a = -3 JeL a = 1时,方程组只有零解,这组向量线性无关;载a =1时,方程组有非零解,这组向量线性相关2 ?在R中,求向量:在基:-1, : -2, : '3, >4下的坐标?MI=P1 0 )|00111 a产. 01*解
5、设二片二2X二匚3 XS42101111 ?)=030-110-11000初等行变换0100Q00100011-09-10 r得:.=-R.故向量:?在基?1,?2 , :,3, :? 4下的坐标为(1,0)-1, 0)?3.在P2 2中求Zi-1*1_7解设+ X2C( 2 +X3Ct3 +X4O(4(Xi-.-0X2 -.-X3 -.-X4 = 2XtX2X3 -.- 0X4 =3则有| Xt-.-X2-.-OX3 -.-0X4=4Xt -.-0X2 -.-0X3 -0X4 - _7 L_得:?4 ?已知1-1=2、a:33:4-7 i初等行变换(10,0? 11> 2 -21: 3
6、 ? 30 : -4 .故向量:在R3的两组基i,"1 11:11:-21:30基1,:-2, : -3, : -4下的坐标为(-7 ,11, -21 , 30),P3 =求由基(I)到基(n)的过渡矩阵;<1、(2)已知向量a在基A,(A,0(3下的坐标为0,求a在基p1a2,P3下的坐标;C1 <1 :已知向量P在基R1,月,良下的坐标为-1求P在基码,0( 2,03下的坐标;求在两组基下坐标互为相反数的向量解(1)C是由基()到基(n)的过渡矩阵,由:1, : 2, : 3 -知基(i)到基(n)的过渡矩阵为1(12 3、234143、广 234、0_10_10_1
7、(2)首先计算得C =于是:?在基,:2, : 3下的坐标为C -(3)!玄在基_: ?,-, 2,二3下的坐标为5 设Y 在基Bl, 02, 03下的坐标为 Y 2据题意有*230 -11 0,z-y1 'T 2严3 J0 '解此方程组可得V 2 = k 4 k k为任意常数.4二丫 二4沙2 3k月=k 0 k为任意常数5 ,已知Px4的两组基(I): f(x)=1 x X 2 - X3, fz(x)=-x - X 2, fa(x) =1 x, f4(x) =12323(n): g' xjux'x x, g2(x)=1 x x, ga(x)=l4x、x,(1
8、) 求由基(i)到基(n)的过渡矩阵;(2) 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).解(1 )设C是由基(I)到基(n )的过渡矩阵,由 g1,g2,g3,gA = f1, f2, f3, f4C:0(1:1-1-1:1:1-1初等行变换 £:0:09 :-1-1'0有(1, x, x,x3)23=(1,X, x , X )-1-1(2)设多项式f(x)在基(I)下的坐标为(X, X2,X3, X4)T .据题意有1-11-1因为|c-E0-11-10-1所以方程组(* )只有零解,则-2-1(C -E)f(x)在基(I-221-11-11-201 =1下的坐标为-2(0,
9、 0, 0, 0)1-1-1T,所以 f(x) = 00、1-2习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间| 3x!, X26X3 4xr 2X5=02xi 2 x3X35X4 ”.3X5=0x 1 -5x2 -6X3 '8 X4 -6 X5 0Rx3同构.证明设线性方程组为 AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换'3-6-4-5初等行变换-6-62-3-5 R(A) =2,线性方程组的解空间的维数是5- R(A) =3实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间R x3同构.习题5.41 .求向量=1,-1,2,3的长度.解制=Ji
10、g, - -132 1 H-2 53 1 =18 , +(_1) 2 +22 +32 =曲.2 .求向量:.=1, -1,0,1与向量一:=2, 0,1,3之间的距离.解d(=.(1 一 2)2? (_1 _0) 2 ? (0 -1)2 - (1 _3) 2 = . 7 .3 .求下列向量之间的夹角(1 ) : ? = 1,0,4,3,-1,2,1,-1(2) ? = 1,2,2,3,1 二 3,1,5,1(3) :? =1,1,1,2, 1 = 3,1 , _1,0解(1) ; :一: =1 (-1)0 24 1 - 3 ( _1) =0, . a,2ji186 18=13 T 11(一 1
11、) +2 汉 0 =3H P| = J9 +1 +1 +0| a| = J +1 +1 +4 =J7 ,1 U. =arccos3.设:,'-,为n维欧氏空间中的向量,证明:d(:?, J乞d(? )d(,')证明因为 |cc - P|2 =|a 一了 十了 - P|2 =(a_Y + Y_p,a_Y+Y_0 )=(:? 一,一)(? 一, 一 J ?()W - -)=(:? 一,一)? 2(- J ? (; : 一小一2 2?一 - 22所以、 v (卜| 勺-| )2,从而 d C- , J - dC- , ) d(,').习题5.51.在R4中,求一个单位向量使它
12、与向量组、乂 i 二 1,1a1, -1 |2 2二尸一叫"1立交.|、乂 3解设向量:.=X1 , X2,X3, X4)与向量、右,用2, ' 乂 3正交,(:,>1)=0则有('.口:? 2)=0(二,:3)=0lX1X2- X3- X4= 0即 X1 -X2- X3 ? x= 0 (* ).X1 -X2? X3- X4= 0齐次线性方程组(*)的一个解为/= X2 = X3=X4 =1 .取=(1,1,1,1),将向量单位化所得向量:1111(-,-,-,-)即为所求.2 2 2 2将R3的一组基广0、112I1V化为标准正父 基(1 )正交化,取E 1,
13、8) R _2L2 52(HK) 11 X1 十 1 X 2 +1 X11 X1 +1 汉 1 +1 X1I1 .(it):_1-0 - (_1) ? (-) 133-0(C) 2(2 )将:2, '-3单位化16276i则 : 2 ,舄为R3的一组基标准正交基.3 ?求齐次线性方程组f X1 -.-X2 X3 - X4 3x5 = 0 X2 - X3X5 = 0的解空间的一组标准正交基分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可?解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11-11-311-1011-1001A
14、4可得齐次线性方程组的一个基础解系由施密特正交化方法,取"icp1I02 +目=21/21/2<01/3 1/3,03 =g-± 01 + ±31 /3将I ,',、单位化得单位正交向量组'1/2、1/2J/37 /310<0'32 曲 31 /3'I, ': 2, '3因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解,所以是解空间的一组标准正交基3.设a色,5是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基 人是n阶正交矩阵 证明:,A2,,A r也是Rn中的一组标准正交基.证明 因为SS,,an是
15、n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基,所以a、,a J =?iTa j =(、,匕 1V 2 ,n又因为A是n阶正交矩阵,所以ata=e 则(Aot、,Actj) = (Aot、)T (Aotj) =a、T (AtA) oj =?TOt、(i, j =1,2 ,,n)、=j故A I、,A l 2;, A - n也是Rn中的一组标准正交基.5?设a、,g2,a3是3维欧氏空间V的一组标准正交基,证明=(2 : 1- 2-23-'-3), -2=- (2a:-2-2-3),-3 =C-1 -2>2 2 4) 3也是V的一组标准止父基证明由题知*2(R, A, P3 )1(卷,0 3
16、-1-22幻因为a1/2 a,是一组标准正交基,且3-1-2的行向量组是单位正交向量组-2-121-2都是正交矩阵.从而'-1,A3也是正交矩阵.所以E , A , A是单位正交向量组,构成V的一组标准正交基习题五(A)1 ?当k 满足时,z二1,2,1 ,2 = 2,3, k , 二 3,k,3 为 R3 的一组基.解三个三维向量为 R3的一组基的充要条件是,:.2,门=0,即k=2且k=6.2 ?由向量.?, =1,2,3所生成的子空间的维数为?:-的秩,故答案为1.解向量:.1,2,3所生成的子空间的维数为向量组3 ? R3中的 向量 o = (3,7,1 庄基。=(1,3,5
17、) 0(2=(6,3,2 )氓=(3,1,0 下的坐标为.解根据定义,求解方程组就可得答案?设所求坐标为(xX2, X3),据题意有:-=X/AX为了便于计算,取下列增广矩阵进行运算)=1.0所以(XMM = (33,-82,154).:3 "9:7*:1(1初等行变换0 .0:154 '9:-82:33J4.R3中 的基 :2, ; 3到基冷二-2,1,3 , : ?=-1,0,1>3-2, -5, 1的过渡矩阵为解因为(:1 ,4,) = ( ; 1, 2, ; 3)210<31-2 '-5,所以过渡矩阵为-1.;' -1-2,210-5<
18、;31一1 5.正交矩阵A的行列式为?AA = E 二 A已知5元线性方程组 AX= 0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为解5元线性方程组AX= 0的解集合的极大无关组(基础解系)含5 -3 =2个向量故解空间的维数为2.7.已知 >1 二 2,1,1,1 ,:上二 2,1, a,a、二 3,2,1, a,篇二 4, 3,2,1 不是 R,的基且 a -1,则 a 满足解四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是:g4, 气 悬=0,则aA1或1.故答案为a =1 .八单项选择题().1 ?下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是(A) y,O,Xn XjXn
19、 R:(B) VACiXi,X2A- ,Xn XiX2 - Xn =0, XR;(C) V3 :Xi, X2, ,Xn Xi X2 - - Xn =1, XR(D) V4 =$Xi,0,,0,0 Xi ?R/解(C )选项的集合对向量的加法不封闭故选(C) :12 .在P3 3中,由A= 2生成的子空间的维数为()(A)1(B)2(C) 3(D)4f1解向量组A= 2生成的子空间的维数是向量组A的秩,故选(A)3>3 .已知禺,0(2, 0(3是R 3的基,则下列向量组()是R3的基.(A) : 1 -' : : 2,芯:3,息-:1( B) : ? i?2怎,2、£3
20、、坛3、L - : : 1(C )冷4士二 2, >2 =3 ,冷 2 川'二 3(D)冷:匕 2 *3, 2 二一 3 >2 ?223: J 5 卷一 5M 01 "t解因(B )选项 中(耳 +2 口 2,2 口 2+3O(3,3Ot3 +?,) =(8,(X2,0(3)2 20(0 33 yq 0又因(八,耳,隅线性无关且2 2 1亡3 0可逆,所以3? 2 >2,2 >2 -3> 3,3 >3笑线性无关.故选(B)4 .R3的基.(A) >1 匕,2>3, >1 匚 3(C) >1 一2,2 -甬1 一 &g
21、t;3(B): ,1(D) > 1已知:“一 一是 R3的基,则下列向量组 ()不是-22, >2 ? 2,3A'3 - 2 : 1一 22,2 -2 显1 一 2(C)n元s,则解因(:._:,)?(2 一: V) 一一门)=0,所以(C )选项中向量组线性相关,故选5 .齐次线性方程组 AX = 0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为().(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r选(B)6 .已知A, B为同阶正交矩阵,则下列()是正交矩阵.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA ( k 为数) 解 A,
22、 B 为同阶正交矩阵 一AB ( AB )=abbtat =aaj =e 故选(C)7.线性空间中,两组基之间的过渡矩阵()(A) 一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆 (D)是正交矩阵选(B)(B)1 ?已知 R,的两组基:'1, ?2, >3, ?4(1)(2)=>14, !: 3 =: , 3:14,"':2 -3- 4 ,|M = :2=?4(1)求由基(n)至u (I)的过渡矩阵;(2 )求在两组基下有相同坐标的向量解(1)设c是由基(|)到基(n)的过渡矩阵,已知xq o o o x(J1,B2, B3, ft,)= (?1,。2,。3,0
23、(4)1 1 0 01110111 J所以由基(n)到基(I)的过渡矩阵为1000-1 1000T1000T1(2)设在两组基下有相同坐标的向量为二,又设_:匚在基(I)和基(n)下的坐标均为(Xi , X2 ,X3, X4),由坐标变换公式可得 Xi、X2=c XiX2,即(E-C) XiX2=01X4齐次线性方程(*)的一个基础解系为(0,0,0,1), 通解为 X "=(0, 0, 0, k)故在基(I)和基(n)下有相同坐标的全体向量为(k - R):-=0、冷-* 0-5 ' k、f4 = k、f42.已知,、花,:-3是RG-1 ,23)的基,向量组岛! : 2
24、, 13满足 -3 .2=>2 4': : 3 , : 2, : 3 _展 3 -1, '2, '3 是 R3 的基;(1)证明求由基;,':2, 3到基 .:一一 2、.:心、的过渡矩阵;求向量:.=-2 : -2-: -3在基'-1, A,下的坐标.解(1 )由题有('-1, A,八3)10I10 '111=( 0(1 , 口 2,3)01 ,1 0口 110I 1bZ0-1-12A3)10=(> 1,>2, >3)R3的基=0,所以,?线性无关故-1 ,是3个线性无关向量,构成-1-1(2 )因为所以从基胃,
25、02,氏到基8,0(2,0(3的过渡矩阵为-1-12所以向量:.在基打,"2 ,13下的坐标为50 )|1° J3.设R4的两组基】、W-3'与1,1且由基 :-1A,2, : '3) :'4 至建:1 ' : 2, : 3,00卜瓦=:1I 22 J 1 J、 Jrq 1 o 0)110 0j 0350 0 12 J求基二,禾I,、£, 4;(2)求向量二冷一二2»:鱼占24在基-,:2, : 3,: 4下的坐标.(1)因为由基冷,:?2,3, -4到基(3) a =a+20(2-0(3 二 qqq)(1, : ,2,3
26、, ;) = (fP, 3 =2 ":2, : 3, : 4的过渡矩阵为C =1,所以广1、2 0 1 0、-1 -1 21 0 0<<1、2 A31, B2, 03)J-5 210 0 "2 10 00 0 12A0 0 2 1 ;-12 0 0002-5A00-13 ;J 300 "10 0 00 0 0 1,003 -7 ;所以-1,、?2 =(2 ) =0( = C(1 中 0(2 十一2 口 4 = (0( 1 ,02 ,0(3 ,04)11V-2 J明,氏,良,氏2 ±5111Ifo I 1 I=(2,-3, -4)127,?”向里 G = 0( 1+0( 2 中 0(3-20(4 在基 P2, P3 JA4下的坐标为fo1121-74.证明 f(x) =1 : x :x2, f2(x) =1 - x 2x f3(x) =1 - 2x - 3x 2 是
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