整式的运算技巧

1、整式的运算技巧整式的运算整式的加减一、整式的有关概念1 .单项式(1)概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：2可以看成1 x,所以2是单项式；而2表示2与x的商，所以2不是单项式， 222x2凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.1 C(2)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例如：-x2y的21 .一 一一系数是-；2 r的系数是2 .2注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1或1 时，“1”通常省略不写，但符号不能省略.如：xy,a2b3c等； 是数字，不 是字母.(3)次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：计算

2、单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为 1的情况.如2xy3z2 的次数为1 3 2 6,而不是5;切勿加上系数上的指数，如25xy2的次数是3, 而不是8;2 x3y2的次数是5,而不是6.2 .多项式(1)概念：几个单项式的和叫做多项式.其含义是：必须由单项式组成； 体现和的运算法则.(2)项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2x2 3y 1共含有有三项，分别是2x2, 3y, 1,所以2x2 3y 1是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1,而不是1.(3)次数：多项式中，次数最高项的次数

3、，就是这个多项式的次数注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的 次数是各项次数之和.例如：多项式2x2y2 3x4y 5xy2中，2x2y2的次数是4,3x4y的次数是5, 5xy2的次数是3,故此多项式的次数是5,而不是4 5 3 12.3 .整式：单项式和多项式统称做整式.4 .降幕排列与开幕排列(1)降幕排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起 来叫做把这个多项式按这个字母的降幕排列.（ 2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：降（升）幕排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降

4、（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列.例如：多项式xy2 x4 y4 3x2y3 2x3y 按 x 的开幕排列为：y4 xy2 3x2y3 2x3y x4 ;按 y的降幂排列为：y4 3x2y3 xy2 2x3y x4 .二、整式的加减1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项 .注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关.例如：2a2b3与3b3a2是同 类项；而2a2b3与5a3b2却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2合并同类项（ 1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.

5、注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如2a 3b 5ab显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.（ 2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能 将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律； 两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3去括号与填括号（ 1）去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：去括号

6、的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利 用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变.例如：a bc a b c;a bc abc；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（ 2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号 .注意：添括号是添上括号和括号前面的“ + ”或，它不是原来多 项式的某一项的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如： a b c a b c ;a b

7、 c a b c .4整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（ 1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.类型一：用字母表示数量关系。1 .填空题：(1)香蕉每千克售价 3元，m千克售价元。(2)温度由5 c上升tC后是；C0每台电脑售价x元，降价10%后每台售价为 元。(4)某人完成一项工程需要a天,此人的工作效率为思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。举一反三：变式某校学生给“希望小学”邮寄每册2元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5%,则共需邮费元。类型二：整式

8、的概念02.指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。x+1; (2)a=2; (3)兀；(4)S=ttR2; (5)总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。举一反三：变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。1_ x5x2y,a a b,x + y25,工,29, 2ax+9b 5, 600xz, 2 axy,1xyz- 1,7 + 1。分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母 和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。类型三：同类项V 3.若2 与&q

9、uot;了是同类项，那么a,b的值分别是()(A) a=2, b= 1 o(B) a=2, b=1。(C) a= 2, b= 1 o ( D) a= 2, b=1。思路点拨：解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a1 = b,且2a+b=3,解得 a=2, b= 1,故选Ao举一反三:变式在下面的语句中，正确的有()2L1Yx一3 a2b3与2 a3b2是同类项 1X2 x2yz与一zx2y是同类项； 一1与5 是同类项；字母相同的项是同类项。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2 J解析：中一；a2b

10、3与5a3b2所含的字母都是a, b,但a的次数分别是2,3, b 的次数分别是3,2,所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以1x2yz与zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同 类项，正确，根据可知不正确。故选Bo类型四：整式的加减C4.化简mn (m+n)的结果是()(A) 0o (B) 2m。(C) -2n0 (D) 2m2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是”号，把括号和它前面 的“”号去掉，括号里各项都改变符号。解析： 原式二m一nmn=-2n,故选(C)。举一反三：变式 计算：2xy+3xy=。分析：按合并同类项的法则进行计算,把系数相

11、加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现 5x2y2的错误。答案：5xy。 1V 5.(化简代入求值法)已知x=> , y=三，求代数式(5x2y2xy23xy) (2xy + 5x2y 2xy2)思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。解析：原式=5x2y 2xy2 3xy 2xy 5x2y + 2xy2 = - 5xy当 x=_5, y=_W 时，原式=_ 5x1 5)L 3)3。总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母； 第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是: 当整式中有同类项时，应先

12、合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三：2变式1当x = 0, x=2 , x=-2时，分别求代数式的2x2-x+1的值 解：当 x=0 时，2x2 x+1 =2X020+ 1=1;-m-1+1=2 xi-1+1=1当 x=2 时，2x2 x+1=2X 24 2；当 x = -2 时，2x2 x+1=2X (-2) 2 (-2) +1=2X4+2+1=11。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同, 一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、 指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时, 应将分数或负数添上括号

13、。变式2先化简，再求值。3(2x2y 3xy2) (xy23x2y),其中 x= 2 , y=1。解：3(2x2y 3xy2) (xy2 3x2y) = (6x2y 9xy2) xy2+ 3x2y=6x2y 9xy2 xy2 + 3x2y = 9x2y 10xy2。2nYi二当 x=2, y = 1 时，原式= 9xl* x(1)10x2 x(1)2 = -5= -1-总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y- 10xy2,再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式3求下列各式的值。(1)(2x2-x-1)-(2)2mn + ( 3m) 3

14、(2n mn),其中 m + n = 2, mn = 3。解析：(1) (2x2-x- 1)i夕 i 3J= 2x2x 1-x2 + x+ 飞 +3x233 =4x2 41131 l- 4= 9 4= 5o当x= 2 2时，原式=4X (2) 2mn + ( 3m) 3(2n mn) = 2mn 6m 6n + 3mn=5mn 6(m+ n)当 m + n = 2, mn = 3 时原式=5X(-3)-6X2=-270 类型五：整体思想的应用C6,已知x2+x + 3的值为7,求2x2+2x 3的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求 x2 + x的值，再整体代入求解，体现了数学 中的整体思想。

15、解析：由题意得 x2 + x + 3=7,所以 x2 + x = 4,所以 2(x2 + x) = 8,即 2x2+2x= 8, 所以 2x2+2x3=8 3 = 5。总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有 共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从 宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加 以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题 中经常用到。举一反三：变式1已知x2 + x1 = 0,求代数式x3+2x27的值。分析：此题由已知条件无法求出 x的值，故考虑整体代入。解析：: x2

16、 + x1 = 0,x2= 1x, .x3 + 2x2 7 = x(1 -x) + 2(1-x)-7 = x-x2+2-2x-7-x2-x-5 (-x2-x+1) -6 = 6o变式2当x=1时，代数式px3+qx+1的值为2003,则当x= 1时，代数式 px3+qx + 1 的值为()A、- 2001 B、-2002 C、-2003 D、2001分析：这是一道求值的选择题，显然 p, q的值都不知道，仔细观察题目，不难 发现所求的值与已知值之间的关系。解析：当 x=1 时，px3+qx+1 = p + q+1=2003,而当 x=1 时，px3+qx + 1 =p q + 1,可以把 p

17、+ q 看做一个整体，由 p + q + 1=2003得 p + q = 2002, 于是p q = (p + q) = 2002,所以原式=2002+ 1 = 2001。故选 A。变式3已知A = 3x32x+1, B = 3x22x+1, C = 2x2+ 1,则下列代数式中化 简结果为3x37x22的是()A、A+B+2c B、A + B 2c C、A B 2c D、AB+2c 分析：将 A , B, C的式子分别代入 A, B, C, D四个选项中检验，如：A B 2c=3x3 2x + 1-(3x2-2x+ 1)-2(2x2+ 1) = 3x3 2x+ 1 3x2+2x 14x22=

18、3x3 7x2- 2。答案：c变式4化简求值。(1)3(a+b-c) + 8(a-b-c)-7(a+b-c)-4(a-b-c),其中 b=2(2)已知 ab=2,求 2(ab)a+b + 9 的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将 a+b-c, a-b c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a, b的值，再 代入求值，显然行不通，应视 a- b为一个“整体”。解析：(1)原式=3(a+ b-c)-7(a+b-c)+8(a- b-c)-4(a-b-c)=4(a+ b c) + 4(ab c)=4a 4b + 4c+ 4a 4b 4c= 8b。因为b

19、 = 2,所以原式=一 8X2=-16。(2)原式=2(a-b)-(a-b) + 9= (ab) + 9因为ab=2,所以原式=2+9=11。类型六：综合应用7,已知多项式3(ax2 + 2x1) (9x2+6x 7)的值与x无关，试求5a22(a23a+ 4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.解析：3(ax2+2x1) (9x2 + 6x7)=3ax2 +6x-3-9x2-6x+7= (3a 9)x2 + 4。因为原式的值与x无关，故3a 9 = 0,所以a = 3。又因为 5a2-2(a2- 3a+ 4) = 5a2-2a2+6a-8 =

20、3a2 + 6a- 8,所以当 a=3 时，原式= 3X32+ 6X 38 = 37。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式1当a(xw0)为何值时，多项式 3(ax2 + 2x1)(9x2+6x7)的值恒等为4。解析：3(ax2+2x1) (9x2 + 6x7)= 3ax2 + 6x 3- 9x2- 6x+ 7= (3a- 9)x2+ 4。因为(3a 9)x2+4= 4,所以(3a9)x2= 0。又因为 xw0,故有 3a9 = 0。即 a=3,所以当a= 3时，多项式3(ax2+2x1)(9x

21、2 + 6x7)的值恒等于4。变式2当a = 3时，多项式3(ax2+2x1)(9x2 + 6x7)的值为多少？解析：3(ax2+2x1) (9x2 + 6x7)=3ax2 + 6x- 3- 9x2- 6x+ 7=(3a 9)x2+4,当a=3时，原式=(3X3 9)x2+4=4。88,已知关于x的多项式(a1)x5+x|b+2| 2x+b是二次三项式，则a =,b =o分析：由题意可知a1=0,即a=1, |b+2|=2,即b= 4或0,但当b=0时， 不符合题意，所以b= 4。答案：1, 4举一反三：变式若关于工小的多项式：网+理小/一 . 2产白卜+用+同，化简后是四次三项式，求m, n

22、的值答案：m=5, n=-1方法技巧篇一整式的加减技巧一、根据系数特征分组合并同类项的合并实际上是系数的加减，因此， 如何根据系数的特征进行分组合并是合并同类 项时的一种技巧.例 1 计算：1 x2 y+2 x y2 - ( x2 y+； x y2 -1 ) + 232(2-2x2y-2xy2) 23分析：先去括号，得，原式= 2x2y+|xy2- x2y- xy2+1+2-|x2y- 3xy2)注意这个多项式共有三类，第一类是x2y,系数分别是1-1和-|,第二类是xy2,系数分别是2 7和-1, 2323第三类是常数项，分别是1和2.各类合并时， 考虑各类系数的特征，易得解法如下是最简便

23、的.解：原式122 v 221 z 23 22 v 2=2 x y+3xy - x y- -xy +1+2- 2x y- ?y=(2 x2y- 3 x2y) +( jxy2- jxy2 ) - X2y- ：X y2+( 1+2)=-x2y+0- x2y+3=-2 x2y+3.评注：按系数特征合并同类项，一般是将系 数为相反数的同类项分为一组，系数能够凑整的 同类项分为一组，系数是同分母的同类项分为一 组.二、按整体进行合并如果多项式出现若干部分相同，则可以把相 同的这部分视为整体进行合并.例 2 计算：9 (1x-1) +7 (1-1x) -.x-1.分析：本题中的(1-2x)可化为-(2x-

24、1 ),-x+1可化为-(次1) -2,因此，先把(2x-1 ) 作为整体进行合并.解：原式=9 (2x-1) -7 (2x-1)-x-1)-2=(9-7-1 ) ( 2x-1 ) -2=(1x-1 ) -2= 1x-3.' 2/2评注：运用整体思想进行整式加减运算时， 常常需要选择合适的“整体”，然后添括号，再进行合并，然后再去括号，再合并同类项 三、逆向合并一般情况下，在合并同类项时大多是将系数 相加减，但有时反过来，视系数为“类”进行合 并可以收到意想不到的效果.例3计算:x23x y2 y 3 xy.-2- 2- - 36-，分析：注意到同分母的几组式子，将它们分 别相加易于计

25、算，于是解：原式二（十”）+ （"宁）=2(x-y ) 1 (x-y ) - V236= 111 (x-y ) =0.2 3 6评注：本题从系数入手，无意中构造出（x-y） 这个整体，然后于运用整体思想得到了巧妙的解 决，真是“无心插柳柳成荫”.由上几例可见，合并同类项与有理数运算一 样，如果能够先观察一下题目特征而不急于动 笔，然后针对题目特征，打破常规解法，灵活运 用一些技巧，则可以起到化繁为简，事半功倍的 效果.方法技巧篇二整式的加减一、直接代入求值法例当X 0、X 2、x 2时，分别求代数式的2x2 x 1的值.二、化简代入求值法例 已知x 1 y 1 , 求代数式53(5x

26、2y 2xy2 3xy) (2xy 5x2y 2xy2) 的值.解法1 :因式分解法解法2:降次法例2代数式3x2 4x 6的值为9,则x2 (x 6的值为 3()A. 7 B 18 C 12 D . 9例3已知x 1 5求x2 4的值. xx解法1:平方法解法2:配方法* 例 4 已知 y ax3 bx 5中，当 x 3时，y 7，则当x 3时， y 的值是 ( )A -3 B -7 C -17 D 7三、说理题解法举例例 1 做游戏，猜数字：让对方任想一个数，让他做如下运算：乘5,再加上6,再乘4, 再加上9,再乘5,把得数告诉你，然后(你 只要从中减去165， 再除以 100)你就可以说

27、出他原来的数用数字验证：比如，某人想的一个数是7,那么，第一步，7X5得35,第二步，35+6 得41,第三步,41 X4得164,第四步，164+9得 173,第五步，173X5得865.他告诉你：865, 于是你就算出(865- 165)+ 100=7.你自己也可举 例，结果总对，你知道其中的奥妙吗？例 2 在数学自习课上，张老师出了一道整式求值题，张老师把所要求值的整式3323323(7a3 6a3b 3a2b) ( 3a3 6a3b 3a2b 10a3 3)写完后，让小刚同学任意说出一组a， b 的值，再计算结果当小刚说完：“a 2010, b 2011 ”后，小莉很快说出了答案“3”

28、同学们都感到其名其妙，觉得不可思议，张老师满意地说： “这个 答案准确无误”.亲爱的同学，为何能小莉快速 得出结果？例3小明和小亮在同时计算这样一道求值题：“当 a 3时，求整式 7a2 5a (4a 1) 4a2 (2a2 a 1)的 值."小亮正确求得结果为7,而小明在计算时， 错把a=-3看成了 a=3,但计算的结果却也正确， 你相信吗？你能说明为什么吗？ 四、探索规律题的解法1 .观察题目中的不变量与变量，不变量照写， 变量用序号来表示(序号为n)例研究下列算式，你会发现什么规律？请你把 找出的规律用含正整数n的公式表示.1 31 422，2 4 19 32,3 5 1164

29、2 ,4 6125 52，2 .将所给的条件进行适当的变形，再找规律例 观察等式：12 22 4 1 , 22 32 12 1 ,32 42 24 1 , 42 52 40 +1 ,，你会发现什么规律？请你把发现的规律用含正整数n的公式表示.3 .借助于图形观察找规律例1柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下 图：第一层有2X3听罐头，第二层有3X4听罐头，第三层有4X5听罐头.根据这堆罐头排列的规律，第 n（n为正整数）层有 听罐头（用含n的式子表例2图是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各 层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层，将图 倒置后与原图拼成图

30、的形状，这样我们可 以算出图中所有圆圈的个数为12 3. n.图第1第2 XO第】层第2层* * * 嗝第H层 00 *' O0图如果图中的圆圈共有12层：（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的 方式填上一串连续的正整数 1, 2, 3, 4,， 则最底层最左边这个圆圈中的数是 ;（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的 方式填上一串连续的整数-23,-22,-21,，求图中所有圆圈中各数的绝对值之 和.4 .借助于表格进行观察例用正方形的普通水；泥砖（图中白色小正方力（及I n I LETln n n-l形）和彩色水泥砖（图中"灰色小正方形）按如图的方式铺人行道，像这样,

31、 第n个图形需要彩色水泥砖多少块？五、用字母表示数的思想用字母表示数是代数的一个重要特点， 是整个中学数学最基本的知识，是从算术过渡到代数 的桥梁.用字母表示数能够把数量关系一般地、 简明地表示出来，它是列代数式的基础.深刻理 解用字母表示数的意义，掌握它的方法及规律， 是学好代数的关键.例l如图是某个月份的日历，像 图中那样，用一个十字框在图中任意圈住五个数，如果中间的数用a表示，则圈住 的五个数字的和可用含a的代数式表示为例2如图是2002年6月份的日历，现有一长方形在日历任意框 4个 数：,请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系:例3小红对小丽说：“有一种游戏，其规则是;你任想一个数，

32、把这个数乘 2,加上6.再把结 果乘2,再减去8,再把结果除以2,最后再减 去你所想的数的2倍.你不用告诉我你所想的数 是什么，我就能知道结果."请你说明小红为什 么知道结果？六、观察、比较、归纳、猜想的数学思想例1观察按下列顺序排列的等式：9 0 1 1,91 2 11 ,92 3 21 ,93 4 31 ,94 5 41, 猜想：第n个等式（n为正整数）可以表示成例2衢州市是中国历史文化名 城，衢州市烂柯山是中国围棋文 ”.自产化的重要发样地，如图是用棋子；摆成的“巨”字，那么第4个“巨”字的棋子数 是;按以上规律继续下去，第n个“巨” 字所需要棋子数是.例3观察图中的四个点阵，

33、s表示每个点阵中的.二人；于、点个数，按照图形中的点.电1弋笫I个触个第3个驷个的个数变化规律，猜想第 一 n个点阵中的点的个数$为（）3n 1A. 3n 2C 4n 1 D . 4n 3例4按一定的规律排列的一列数依次为：工 1 工 工.2310152635)按此规律排列下去，这列数中的第 7个数是,用整数n表示第n个数是.七、整体思想所谓整体思想，就是将具有共同特征的某一 项或某一类看成一个整体，加以确定、解决，这 样往往能使问题的解答简洁、明快，在求代数式 的值时，有时问题中的量或字母没有直接给出， 往往考虑使用“整体思想”来解答.(1)整体化简例 已知：a b 3, b c 5 ,求(

34、a b)2 (b c)2 (a c)2 的值.(2)整体变形求解对于某些比较复杂的条件，如果对其进行整 体变形，则可收到事半功倍的效果.例1若a2 a 0,则2a2 2a 2007的值为.例2 当V 4时，求代数式如胃髻T的值.a ba b 3(a b)八、方程思想 例1 若与3a4b6是同类项，求3y3 4x3y 4y3 2x3y的 值.例2若两个单项式2a3b2m与3anbn1的和仍是一个单 项式，贝U m= n=.九、分类讨论思想所谓分类讨论思想，是对事物分情况加以讨 论的思想，它是根据事物的特点按照某一标准不 重复、不遗漏地对事物分别归类，分类讨论思想 既是一种重要的数学思想，也是一种

35、解题策略， 对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意 义.例 1 若 a 3,b 2,贝 U|a b .例2化简：b 3+4 b .十、数形结合思想在列代数式时，常常能遇到另外一种类型 题：给你提供一定的图形，通过对图形的观察探 索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去 列出相应的代数式.例如图，已知小正方形的边长、圆弧的半径均 为a,计算图中阴影部分的面积.练习题：一、填空题1 .在校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了 一百米决赛，小勇用了 x秒，小刚用了 15秒， 小勇获得了冠军，小勇比小刚快 秒.2 .计算：(2xy y) ( y+xy) =.3 .在代数式(1)ab;(2)；(3)a

36、T；(4)f;(5) ：;(6)b2 2b 1; pq2；(8)空 中单项式有 3 X 23;多项式有;整式有.4 .根据去括号法则，在下面各式中方框里填 午” 或号.(1) a ( b+c) =aDbDc;(2) a (b c d) =ab+c+d.5 .当x= 2时，代数式一x2+2x1的值是6 .把多项式2x2- 3x+x3+2按x的降募排列是7 .有理数a, b, c在数轴上的位置如图测所示, 贝 U | a b | 一 | a c | = 8,已知（a3） 3与I b 1 I互为相反数，那么 a+b=.9 .如图测，用黑白两种颜色的正方形纸片，按 黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案

37、.（1）第4个图案中有白色纸片 张；（2）第n个图案中有白色纸片 张.U U U U U U第1个第2个第3个10 .如果代数式2y2+3y+7的值是8,那么代数 式4y2+6y 9的值为.二、化简下列各题：(1) 5a4+3a2b 10 3a2b+a4 1;(2)2 (2x2+9y) 3 ( 5x2 4y);(3) (a2 ab) + (2abb2) 2 (a2+b2)三、化简求值(1) 2x4x 2y (3x 2y+1),其中x= 3, y=2007；(2) xy 2y2 24xy ( 3y2 x2y)+5( 3y2+2x2y)h其中 x=i)y=-2.5四、某服装厂生产一种西装和领带，

38、西装每套定 价200元，？领带每条定价40元.厂方在开展促 销活动期间，向客户提供两种优惠方案：买一 套西装送一条领带；西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x?条(x>20):(1)若该客户按方案购买，需付款元.(用含x的代数式表示)；？若该客户按 方案购买，需付款元.(用含x的代数式表示)(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方 案购买较为合算？(3)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购 买方案吗？试写出你的购买方法.整式的加减提高测试题姓名班级学号一、填空题(本题20分，每小题4分)：1 .仅当 a=, b=, c =时，等式 a x 2 bx

39、+c =x2+2x+3成立；2 .仅当b=, c =时，5x 9x-159-4x- (11y2x) 10y+2x.解：y 2与23 x by c是同类项；3 .煤矿十月份生产a吨煤，比九月份增产45%煤矿九月份生产煤吨；4 .当3<a <4时，化简| a -3| -| a 6|得的结果是 ，它是一个 数;5 . n张长为acm的纸片，一张接一张的贴成一个长纸条，每张贴合部分的长 度都是bcm,这个纸条的总长应是 cm .二、计算下列各题(本题30分，每小题10分)：1 . 5a a ( 7a ) + ( 3a ) 解：3232 . ( 2x 3x + 6x + 5) ( x 6x

40、+ 9) 解：三 先化简再求代数式的值：1 . 5a 2+ a 2+ (5a 2 2a ) 2 (a 2 3a ),其中 a=；2解：2、a + 3a b 6a b 3a b + 4a b + 6a b 7a b 2a ,其中 a 2, b =1.解：四（本题10分）已知a=5-,且x为小于10的自然数，求正整数a的值.x 2解：五（本题10分）代数式15 （a+ b） 2的最大值是多少？当（a+b） 23取最小值时，a与 b有什么关系？解：六（本题10分）当 a>0, b<0 时，化简 |5 b| +|b 2a| +|1 +a|.整式的乘法(一)寨的乘法运算一、知识点讲角厂1、同

41、底数嘉相乘：am? an 推广：an11 an2 an3 ann an1 n2 n3 nn ( ni, n2, n3, ,nn都是正整数)同底数号相乘，底数不变，指数相加。注意底数 可以是多项式或单项式。如：(a b)2g(a b)3 (a b)5注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误)如：K-)工尸=-(F尸等；例 1、计算：(1) x2 X5(2) ( 2)9 ( 2)8 ( 2)3(3 ) am 1 a1 m( 4 )(x y)3 (y x)2 (y x)5变式练习:1、a16可以写成()A. a8+a8B . a8 a 2 C . a8 a 8 D2、已知2x 3,那么2x 3的

42、值是44.a , ao5x3、计算： a ? a3?a5(2) ( x) 5(3) 2x y (3)32x x 3xnm+1(4) (x+y) (x+y)(5)/2/4(n mj) ( m- n) (n mj)2、募的乘方：amn 推广：(a。)3 a"2nnmn都是正整数)品的乘方，底数不变，指数相乘。如:(35)2310mn m n n m a (a ) (a )展的乘方法则可以逆用：即如：46 (42)3(43 )2/ 3 m、2(a )例 2、计算：(D (103) 5(m n)2(n m)35|变式练习：|1、计算(-x5) 7+ (-x7) 5的结果是()A. 2x12B

43、 . 2x35C . 2x70D . 0)3 D . b12= () 22、在下列各式的括号内，应填入 b4的是()A. b12= ()8 B . b12= ()6 C. b12=(3、 计 算： (1)( m)34(2) a42 a23(3) p2( p)4 ( p)35(4)(m3) 4+m0m2+m m3 m83、积的乘方：abn 推广:(ai a2 a3n n n nnam) ai a2 a3am积的乘方，等于各因数乘方的积。3 2 、5一/ 八、53、52、5515 10 52x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z 32x y z注意：正确处理运算中的“符号”，避免以

44、下错误,如：f等;二、典型例题：一(4) 3(x y)23例 3、计算：(1)(ab) 2 (2) (-3x) 2(3)(3a2b3c)3(5)(1)2009( 3)2008、/3|变式练习：|1、如果(ambn) 3=a9b12,那么m, n的值等于(A. m=9 n=4 Bm=3 n=4 C . m=4n=3 D . m=9 n=62、下列运算正确的是()(A) x x2 x2(B)(xy)2 xy2(C)(x2)3 x6(D) x2 x2 x43、 已知 xn=5, yn=3,贝U (xy) 3n=。4、计算：(1)(a)3(2)(2x4)3(3)410423x3y2 3(5) ( 2a

45、2b)2 ( 2a2b2)3(6)_5 _100.125 ? 4(7)( 9)3 ( 3)3 (3)3(8)4 c 4 a ?a3x44、同底数帚的除法法则：am an am n (a 0,m,n都是正整数,且m n)同底数募相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b3练习(1) .计算： a6 a2=, ( a)5 ( a)2=.(2) .计算：(a 1)9 (a 1)8 =(3) .计算：(m n)3 (n m)2=.(4) .下列计算正确的是()A. ( y) 7+( y) 4=y3 ;B. (x+y) 5+ (x+y) =x4+y4;C. (a1) 6+ (

46、a1) 2= (a1) 3 ; D, x5+( x3) =x2(5)计算： a 5 a2 3 a 4的结果，正确的是()A. a7 ;B. a6 ;C. a7 ;D. a6.(6) .若 3x 5, 3y 4,则 32xy 等于()A. 25;B.6 ;C.21;D.20.45、零指数a0 1 (a 0),即任何不等于零的数的零次方等 于1。(二)整式的乘法一、知识点讲解1、单项式单项式(1)系数相乘作为积的系数(2)相同字母的因式，利用同底数塞的乘法， 作为一个因式(3)单独出现的字母，连同它的指数，作为一 个因式注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符 号，再计算绝对值。相同字母相乘，运

47、用同底数嘉的乘法法则只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相 乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2y3z?3xy ?二、典型例题：一(1) .下列计算的结果正确的是()A. (-x2) - (-x ) 2=x4B . x2y3 x4y3z=x8y9zC.(-4X103)-( 8X 105)=-3.2 X 109D(-a-b ) 4 (a+b)3=-(a+b) 7(2) .计算(-5ax) (3x2y) 2 的结果是()A. -45ax5y2 B. -15ax5y2 C . -45x 5y2D . 45ax5y2(3)

48、 ( 2xy2) . ( - x2y)=;(-5 a3bc) (3ac2) =.3(-5ab2x) ( - a2bx3y) =； (-3a3bc) 3 -(-2ab2) 2=;10(4) .已知 am=2, an=3,贝U a3m+n=； a2m+3n=.(5) .若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少？2、单项式多项式单项式分别乘以多项式的各项；将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式, 项数与多项式的项数相同积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包 括它前面的符号。在混合运算时，要注意

49、运算顺序，结果有同类 项的要合并同类项。如：2x( 2x 3y) 3y(x y)=?二、典型例题：一(1) (4a - b2) ( - 2b)(3x2y - 2x+1)(-2xy)(2) (3a2b-4ab2-5ab- 1) ? (-2ab2)(3)(-4a3+12a2b-7a3b3) ( 4a2)(4) - 3x? (2x2-x+4)(5)先化简，再求值 3a(2a2-4a+3) - 2a2(3a+4),其中a=-2(6)先化简，再求值：2 (a2b+ab2) - 2 (a2b-1) ab2-2,其中 a=-2, b=2.3、多项式多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个 多项式的每一项，

50、再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按某一字母的降骞或 升塞排列。二、典型例题：一(1) (2x + 3y)( 3x 2y)(2)( x + 2)( x+3) (x + 6)( x1)(3) 5x +2x+1 ) - (2x-3) (x-5)(4)( 3x+2y)( 2x+3y) -(x-3y)( 3x+4y)(5)(x a)(x2 6x b)的展开式中，x2项的系数是(6)要使多项式(X、px + 2) (x" q不含关于x的二次项，则p与q的关系是()A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为1.若(x+a)( x + 2) =x2 5x+b,贝U a =, b =.(8)

51、.若 a2 + a+1=2,则(5a)(6+a)=.(9) .当k=时，多项式x1与2kx的乘积不含一次项.(10)已知 2x2 3x2 ax 6 3x3 x2中不含3次项，试确定a的值.(11) ( 2x1)( 2x+1) 5x( x+ 3y)+4x( 4x2/y),其中 x=1, y= 2.(三)乘法公式一、知识点讲痛一1、平方差公式： a ba b ； 变式：(1) (a b)( b a) ；(2)(a b)(a b) ；(3) (a b)( a b)=；(4)(a b)( a b)=o2、完全平方公式：(a b)2=o公式变形：(1) a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2

52、ab(2 )(ab)2(ab)24ab ;( 3 )22(ab)(ab)4ab(4 )(ab)2(ab)24ab ；( 5 )(ab)2(ab)22(a2b2)二、典型例题：一例 2、计算：(1) (x+2)( x 2)(2)(5 + a)(-5 + a)2(5)1998 2002(6) x 2 x 2 x 4变式练习：1、直接写出结果：(1) (xab)(x+ ab)=;(2) (2 x + 5y)(2 x 5y)=；(3) (-x-y)( -x +y)=; (4) (12 + b2)( b212) =(5)(-2x+3)(3+2x)= ; (6) ( a5-b 2) (a5+b2) =。2、在括号中填上适当的整式：(1) (nn- n) () = n2m2；(2)，一、，、一 2(1 3x) () = 1 9x3、如图，边长为a的正方形中有一个边长为b 的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方 形，如图2,比较图1和图2的阴影部分的面积， 你能得到的公式是 。S 1图24、计算：(1) 2a 5b 2a 5b (3a2 2)(3a2 b).(3)107 97(4)(min+ 2)( n2n2)(5)2a2 5b2 2a2 5b2(6)(a+ b+c)(a+ b c)5