几何代数：5-5二次型

1、5.5 二次型321321321321323121232221321234331414226433214682234,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf。的矩阵实二次型叫做唯一决定，实二次型由实对称矩阵。于是是实数，这里，齐次多项式的二次实二次型是一个实系数 11ffAAxxfaaxxafTjiijjininjij。则且同阶实对称矩阵，是两个和若命题： , BAxBxxAxxfBATT有一个一一对应关系。阶实对称矩阵之间和个变量的实二次型在 nn标准实二次型次型。实二次型叫做标准实二项的只有平方项而没有交叉合同。还是实对称矩阵这里，在新变量下，则是可逆矩阵。这里，引入新变量由。

2、是实对称矩阵这里，给定实二次型 ACCACyCyfCCyxAAxxfTTTT。合同于则称，使得若存在可逆矩阵，和给定两个实对称矩阵定义： BAACCBCBAT合同是等价关系。命题：)2 , 4 , 3( ) 3, 2 , 4(diagdiag合同于例如，)0 , 1, 1 , 1 ( )0 ,10, 9 , 4(diagdiag合同于再例如，利用正交变换化实二次型为标准型。标准实二次型得，引入新变量由；对角化把用正交矩阵；的矩阵求实二次型 (3) )2( ) 1 (1yyfQyxAQQAQQAQAxxfAfTTT利用可逆变换化实二次型为标准型的负惯性指数。叫做的正惯性指数，叫做唯一决定，由，这

3、里，合同于如下矩阵定理：任一实对称矩阵 )( AprAApArrOEEAprp2222122221 :rpppTyyyyyyfCyxAxxf化成唯一的规范型都可以由可逆变换任一实二次型推论典型例题。试求，的秩为若，：令例题tfxtxxxxxf 2 221323121005 . 0015 . 010tAttA解答：面？是一张什么样的二次曲求参数，的秩为若令：例题166255 (2); (1) 2 .66255 2323121232221323121232221xxxxxxcxxxcfxxxxxxcxxxf30722433351315 ccAcAAxxfT解答：943333510443333513

4、15AE1949 , 4 , 023221yyyyfQyxdiagAQQAQQTT正定二次型和正定矩阵 为正定矩阵。称正定二次型，相应地为，则称若是实对称矩阵，这里，给定实二次型 00 Afx,f(x)AAxxfT负定矩阵。为相应地称负定二次型，为则称，若 00 Afx,f(x)正定矩阵的刻画特征值都是正数。的充要条件是它的实对称矩阵正定：命题1 是可逆矩阵。这里，即，当且仅当它合同于正定实对称矩阵：命题 2 CCCAEAT。，即其顺序主子式都大于零正定当且仅当实对称矩阵：命题 )1( , 0 3 1111,n,raaaaArrrrnn典型例题是否正定？：实二次型例题32312322214683 1 xxxxxxxf。其中都是正的，三个顺序主子式解答： 3 823210303 AAAxxfT?42244 2 323121232221正定什么时候实二次型：例题xxxxxxxxxf) 1 , 2(8444212411:2AAAxxfT解答正定。，足够大时当证明：，给定实对称矩阵：例题 3 tEAtA的最小特征值。是）（的最大特征值；是）（证明：，是实对称的这里，给定实二次型：例题 min 2 max 1 4 11Af(x)Af