线性代数-向量空间

1、第四章向量的线性相关性1 1 n n 维向量一个含有 0, 1 的数集P,如果对于P中任意两个数的四那么运算结果仍在这 个数集中(除数不为 0),那么称该数集P为一数域。容易验证整数集不是数域；有理数集Q、实数集 R、复数集 C 均为数域，以后分别称之为有理数域、实数域和复数域。对于任一数域P ,有Q P C o定义 1:数域 P 中 n n 个数构成的有序数组(a1,a2,L ,an)称为数域 P上的 n n 维向量，向量常用希腊字母，等表小。其中ai称为向量的第 i 个分量。假设 n n 维向量(a,a2,L ,an)和(b,b2,L ,bn)的对应分量相等，即aib(i 1,2,L n)

2、,称向量 与 相等，记为 。向量(ai,a2,L ,an)也称为 n n维行向量。n n 维行向量可视为 1 n矩阵来定义加法与数乘。矩阵中关于加法与数乘的性 质也适合向量的加法与数乘。向量有时为了方便也写成列的形式a2a，a? ,L ,an。M称为 n n 维列向量。作为列向量时可视为 n 1 矩阵来定义加法与数乘。数域 P上全体 n n 维向量的集合对于线性运算称为数域 P上的 n n 维向量空间, 记为Pn。泛线性相关性一、线性表示定义 2:设1,2,L,s是一组 n n 维向量，k1,k2,L ,ks是一组数，称向量k1k2 2Lks s为向量组1,2,L ,s的一个线性组合。如果某一

3、向量可表示成k1 1k2 2L ks s,那么称向量 可由1,2,L ,s线性表示。例如向量组11, 2,1 ,22, 3,1 ,30, 1,1 ,有3212,称3可由1,2线性表示。注意：线性方程组 AX B 的增广矩阵可写成分块矩阵形式 (1,2,L ,s| )。其中 A(1,2,L ,s) ,i(i 1,2,L ,s)为 A 的第 i 列元 素构成的列向量。定理 1:1: n n 维向量 可由向量组1,2,L,s线性表示的充要条件是线性方程组1,2,L ,si有解(这里每个i及 均为 n 维列向量)。证明：记i(a1i,a2i,L ,ani) (i 1,2,L,s),bn)。假设k1 1

4、k2 2Lks s,即(k,k2,L ,ks)满足ank1ai2k2L aksbLLLLLLL亦即 k1,k2,L ,ks是线性方程组1,2,L ,si 的解反之亦然。例1:设1(1,0,0),2(1,1,0) ,3(1,1,1)；1(2,3,4),2(a,b,c)。I可1,2能否由1,2,3线性表小？假设能线性表小，求出具体的表达式111M 2100M1解：因为1,2,311011M3010M1001M4001M4所以11243从题中可以看出，上述两个线性方程组的系数矩阵完全相同，解这两个线性方程组均需要把它们通过初等行变换化为简化阶梯形。而在进行初等行变换时， 不同列的元素之间没有影响。因

5、此，上述两个方程组的增广矩阵可合并为(1,2,3|1,2),通过初等行变换把系数矩阵化为简化阶梯形，就可同时求出这两个线性方程组的解。一般地，对系数矩阵相同的假设十个线性方程组AX Bi(i 1,2,L ,s),可以通过“扩充增广矩阵(A|B!,L ,Bs)的初等行变换来求解。amkan2k2Lansksbn1,2,3i2111Ma011Mb001Mc100M ab010M bc2(a b)1(b c)2c30 0 1 M c、线性相关性定义 3:设1,2,L ,s是一组 n 维向量，如果存在一组不全为0的数ki,k2,L,ks，使得ki1k2 2Lkss0成立。那么称向量组i,2,L,s线性

6、相关，否那么称它们线性无关。由定理 1可得以下结果：推论1 :向量组1,2,L ,s线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组(1,2,L ,s|0)有非 0 解；向量组1,2,L ,s线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(1,2,L ,s|0)仅有 0 解。考虑到齐次线性方程组常数项为零，对丁方程组的初等行变换常数项仍为 零。故以后齐次线性方程组只用系数矩阵(1,2,L ,s)表示。例 2：当 t 为何值时，向量组1(t,1,1) ,2(1,t,1) ,3(1,1,t)线性相关。(1,2,3)有非零解。即 t 1 或 t 2 时，向量组线性相关。由定义 1 及推论 1容易推出下歹 0 结果：1

7、)向量组中含有 0 向量，那么向量组线性相关2)假设向量组1,2,L ,s线性相关，那么向量组1,2,L ,s,s 1,L ,t线性相关；反之，向量组1,2,L ,s,s 1,L ,t线性无关，那么向量组1,2,L ,s线 性无关。3)向量组1,2,L ,s线性无关，那么将1,2,L ,s添加任意有限个相同个数的分量后所得到的新向量组也线性无关。反之，假设向量组1,2,L ,s线性相关,那么截去1,2,L ,s的假设干个分量后所得到的新向量组一定线性相关。事实上，线性相关和线性无关定义还有以下一个等价的说法。定理 2：向量组1,2,L ,s线性相关当且仅当存在组中某一向量可由其余向量线性表示；

8、向量组1,2,L ,s线性无关当且仅当组中任一向量均不能由其余t 1 1解：当系数矩阵行列式1 t 11 1 t(t 1)2(t 2) 0时，齐次线性方程组4 / i3向量线性表示。证明：这里证定理的前一局部，后一局部读者自行练习。设向量组1,2,L ,s线性相关，贝帝在不全为 0的数 ki,k2,L ,ks(不妨设某一 kj0)，使得 ki ik2 2Lks s0。从而1(ki iL kj i j ikj i j iL ks s)。即j可由其余向量线性表小。 kj反之，设向量j可由其余向量线性表示jki iLkj i j iki j iLkss ,即ijkiiLkj i j iki j iL

9、ks s0所以向量组i,2,L,s线性相关。例 3:1) 设向量组i,2,3线性无关，证明：向量组i2 ,23 ,3i也线性无关。2) 设i,2,3,4为任一向量组，证明：向量组i2 ,23 ,34 ,4 i一定线性相关。证明：i)设有 ki, k2,k3，使得ki(i 2)k2(23)k3(3i)0 ,整理得(ki+k3)i(ki+ k2)2(k2+k3)30。因为i,2,3线性无关，所以(k*) (ki+k2)(k2+k3) 0。解得ki=k2k30。从而i2 ,23 ,3i也线性无关。2)因(i2) ( i)(23) (34) ( i)(4 i)0 ,由定义i 2,23 ,34 ,4i线

10、性相关。陷等价向量组、等价向量组5 / 13设有向量组(I):1,2,L ,s和向量组(II) :1,2,L ,t。如果向量组(II)中每一个向量均可由1,2,L ,s线性表示，称向量组(II)可由向量组线性表示。由定理 1及扩充方程组的概念，可知(II)由(I)线性表示扩充的线性方程组(1,2,L ,s|1,2,L ,t)有解秩(A)=秩(A|B),这里A (1,2,L ,s),B (1,2,L定义 4:如果向量组(I)与(II)可以相互线性表示，称 与(II)等价。(A|B)=秩(B)。例 4:设有两向量组因为 秩(A)=秩(A|B)=秩(B),所以两向量组等价。二、极大线性无关组定义5：

11、一个向量组中如果存在个向量1,2,L ,r,满足:(1)1,2,L ,r线性无关；(2) 向量组中任一向量均可由1,2,L ,r线性表示。称1,2,L ,r为向量组的一个极大线性无关组。易知，(I)与(II)等价扩充线性方程组(A|B)与(B|A)均有解秩(A)=秩4证明上述两向量组等价。证明：(1,2,3,100012202112(1,0,2,1)(1,2,0,1)(2,1,3,0)(2,5, 1,4)2552MMMM11100113(1, 1,3,1)(0,1, 1,3)(0, 1,1,4)1021120121302514MMMM113101130114011410001200212025

12、20MMMM1100013001406 / 13由定义可知，任一向量组与它的极大线性无关组等价。对丁向量组1(1,0),2(0,1),3(1,1)。因为1,2线性无关，312,所以1 ,2是一个极大线性无关组；同理可得1,3与2,3均为该向量组的极大线性无关组。此例说明向量组的极大线性无关组不唯一。尽管一个向量组的极大线性无关组不一定唯一，但有以下结果：定理 3:向量组的任意两个极大线性无关组中所含向量的个数相同。证明：设1,2,L ,1与1,2,L ,2是某向量组的两个极大线性无关组，下 证12。因为向量组1,2,L ,1线性无关，齐次线性方程组(1,2,L ,1)仅有零解，记A(1,2,L

13、,1),所以秩(A)=1;同理，记B (1,2,L ,2),那么秩(B)=2。由丁极大线性无关组是等价的， 所以秩(A)=秩(B )。从而12o向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩。定理 4:矩阵的秩=行向量组的秩(也称为矩阵的行秩)=列向量组的秩(也 称为矩阵的列秩)。证明省略。例5 :向量组1(1, 2,2,3) ,2( 2,4, 1,3) ,3( 1,2,0,3),4(0,6, 2,3),5(2,6,3,4)。求该向重组的一个极大线性无关组， 并用它来表示其余向量。解：因为1210212102242 66000 62(4,5)210 23032 21333 34096 3

14、2-1 -161 00121023900021620 1 - 0-39。032211000310 0 0 130 0 0 00所以1,2,4线性无关;7 / 13从而1,2,4是一个极大线性无关组。且有16由例 5 的计算可以看出： 只要把向量组中的向量按列的形式所构成的矩阵用 初等行变换化为简化阶梯形，那么极大线性无关组以及其余向量用极大线性无关组 的线性表示，均可直接从简化阶梯形中得到，读者自已找出其中规律。三、有关秩的一些结果由丁初等变换不改变矩阵的秩，即初等矩阵左右乘矩阵不改变矩阵的秩, 从而可得以下性质 1:性质 1:假设P,Q为可逆矩阵，那么秩A=秩PA=秩AQ =秩PAQ。性质

15、2:秩AB min秩A,秩B。证明：1(aij)ms，B (bjk)sn,记AB M秩1,2,L ,m秩1,2,L ,s,即秩AB秩B。同理可证：秩AB秩A。从而性质 2 得证。性质 3:秩A B秩A+秩B。证明留给读者。4 4 线性方程组解的结构一、解的结构设有线性方程组AX B L 1和对应的齐次线性方程组AX 0 L 2,那么169那么有iai1 1L 弧s,即1,2,L ,m可由1,2,L ,s线性表示。8 / 13它们的解有以下性质：性质4：设Xi,X2是的解，那么对任意数 ki,k2,kiX1k2X2也是的解。证明：因X1,X2是(2)的解，所以AX10 , AX20。从而 A(k

16、iX1k2X2)kiAX1k2AX20。即 kiX1k?X2是(2)的解。此结果可推广到一般情形：设 Xi,L ,Xs是(2)的解，那么对任意数 ki,L ,ks,kiXiLk2Xs也是(2)的解。性质 5:设 Yx 是(i)的解，那么 Y 丫2是(2)的解。性质 6:设Xi是(2)的解，Y 是(i)的解，那么XiY 是(i)的解。仿照性质 4 可验证性质 5 和性质 6。由以上性质可得：假设非齐次线性方程组的某一特解0和它对应的齐次线性方程组的通解 X，那么非齐次线性方程组的通解为 X0。二、根底解系定义 6:设i,2,L ,s是齐次线性方程组 AX 0 的解，且满足：1)i,2,L ,s线

17、，性无关，2)AX 0 的任一解可由i,2,L ,s线性表示。那么称i,L ,s是 AX 0 的一个根底解系例 6:求齐次线性方程组Xi3x5xX2X3X4X5X42X43X402 X2X24X2X32X33 X33X56X5X5000的一个根底解集解：i i ii ii 0ii53 2 ii 30 i226A0 i 22 6000005 4 33 i000009 / 13取 X X3 3= = 1 1 , , X4X50 ,得解1(1, 2,1,0,0)取 X41 ,X3X50,得解2(1, 2,0,1,0)取X51,X3X40 得解2(1, 6,0,0,1)111226(1,2,3)100

18、, 它的秩=3。0100011,2,3线性无关。乂方程组的任-解可表示为：X1X3X4X5111X22X32x46X5226X XX3X3X31X40X50X4X4010X5X5001即(Xb X2,X3, X4, X5)X31X42X53，也即任一解可由1,2,3线性表示。从而 1,2,3是齐次线性方程组的一个根底解系。例 6中的求法就是齐次线性方程组的根底解系的一种常见求法。线性方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。实际上，如果交换 两个未知量在方程中的位置，也不改变方程组的解，这时对应于增广矩阵进行了 对应的一个初等列变换。因此求解过程可对系数矩阵进行列的交换，只不过要调 整相应

19、未知量的次序。具体用下面例子来说明。例 7：用根底解系表示以下方程组的通解：X12 X2X3X40X12 X2X3X40X12 X2X35X4解:解为XiX2X3X4X52X32X46X5(X3, X4, X5为任意数)10 / 1312 111210A12 11000112 150000(X1X4X3X2)1012嘏0M &总0000那么按(Xi,X4,X3, X2)顺序的根底解系为120021001复原成(Xi,X2,X3, X4)顺序的根底解系为:故方程组的通解为 c1 1c22(c1,c2为任意数)注：根底解系可以直接从增广矩阵的简化阶梯形中直接得到，读者不妨自行找出规律。例8

20、:求线性方程组2 为X13X17 为X24X3X3X43X43134X27X3X3x4的通解(用根底解系表小)0解：2143 M 4101 0M 3-1011 M 3012 0M 8A3 110 M 1000 1M 67073 M 3000 0M 011 / 13对应的齐次线性方程组的根底解系为1(1,2,1,0),在通解中取自由未知量12 / 13全为 0,得到齐次线性方程组的一个特解为3, 8,0,6。所以方程组的通解为ki k 为任意数。5 5 基、维数、坐标定义 7： n n 维向量空间 pn的子集 V V , ,如果对任意数 k k , , l l 和 V V 中任意向量 ，有 k

21、l V,称 V 为 n n 维向量空间 Pn的子空间，也称为线性空间。特殊地，n n 维向量空间本身是它自身的子空间，单个 0向量构成的子集也构成子空间。集合 V X | AX 0,A 为 m n 矩阵,乂为 n 维列向量是线性空间，称为齐次线性方程组 AX 0 的解空间。定义 8:如果线性空间 V 中，存在 r 个向量1,2,L ,，满足：11,2,L ,r线性无关；2V 中任一向量可由1,2,L ,r线性表示。那么称1,2,L ,r为 V 的一个基,r 称为 V 的维数，记为 dim V 或维数V。由齐次线性方程组的根底解系和线性空间的基定义可得线性方程组AX 0的任一根底解系均为其解空间

22、的一个基。设1,2,L ,r是线性空间 V 的一个基，对 V 中任一向量，那么有X1 1X2 2L Xr r,且表达式是唯一的。事实上，假设有X11X2 2L Xrr火12 2L、那么X1Y11X2Y22L XrYrr。由1,2,L ,r线性无关，知X Yi0，即 XiYi i 1,2,L ,r。由于表达式唯一，称X,X2,L ,XJ为向量 在基1,2,L ,r下的坐标。定义9：设1,2,L ,r和1,2,L ,r是线性空间 V 的两个基，且L L (3)a2r3式乂可以写成形式矩阵乘法:(1,2,L ,r)(i,2,L ,r)Aa11a21ar 1 ra1r13 / 13称 A (aj)r r为从基1,2, L ,r到基