GCT数学部分概念、公式总结

1、代数一、数和代数式内容综述1实数的运算（1）四则运算及其运算律（2）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）（3）绝对值2复数（1）基本概念（虚数单位、复数、实部、虚部、共轭复数、模、辐角、）,，,（2）基本形式（代数形式、三角形式、指数形式）, , （3）复数的运算及其几何意义；，；3代数式（单项式、多项试）（1）几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）；;二、集合、映射和函数（微积分）内容综述1集合（1）概念（集合、空集、全集、表示法）（2）包含关系（子集、真子集、相等、子集的个数），（3）运算（交集、并集、补集、运算律、摩根律）2函数（1）概念（定义、

2、两要素、图形、反函数），（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）函数与的图像关于哪条直线对称？如果函数以为周期，那么函数的周期等于什么？（3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）三、代数方程和简单的超越方程内容综述1一元一次方程、二元一次方程组；2一元二次方程（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系；（3）二次函数的图像，3简单的指数方程和对数方程四、不等式内容综述1不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）性质：基本不等式：，2几种常见不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等五、数列（微积分）、（数学

3、归纳法）内容综述1数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和、数列与数集的区别），2等差数列（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值3等比数列（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：中项公式4数学归纳法六、排列、组合、二项式定理内容综述1加法原理与乘法原理2排列与排列数（1）定义；（2）公式注 阶乘（全排列）3组合与组合数（1）定义；（2）公式；（3）基本性质4二项式定理 七、古典概率问题内容综述1基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件2概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性

4、）；（2）性质：，3几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型）（2）互不相容事件 ，对立事件 （3）相互独立事件 （4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为，那么在此独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为 几何（与三角）一、平面几何图形内容综述1三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、周长、面积）（2）三角形各元素的计算公式（3）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）2四边形（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形注：对角线垂直的四边形面积3圆和扇形（1）圆(周长、面积、圆周角、圆心角)（2）扇形4平面图形的相似关系注 正多边形的内角和、椭圆面积二、空间几何图

5、形内容综述1长方体（正方体）2圆柱体 3圆锥体 4球 三、三角函数内容综述1定义（符号，特殊角的三角函数值）2三角函数的图像和性质（微积分）3常用的三角函数恒等式4反三角函数5正弦定理和余弦定理（1）正弦定理（2）余弦定理四、平面解析几何内容综述（一）平面直线1直线方程（点斜式，斜截式、截距式、一般式）2两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）；平行但不重合：；重合：；垂直：3点到直线的距离 ， 注 直线与圆等平面图形的位置关系（二）圆锥曲线1圆:到一定点距离相等的点的集合2椭圆（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合（2）方程；（3）图像；（4）离心率；（5）准线 3双曲线（1）定义：到

6、两定点距离之差（的绝对值）为一常数的点的集合（2）方程；（3）图像；（4）离心率；（5）渐近线；（6）准线 4抛物线（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合（2）方程；， （3）图像；（4）离心率 ；（5）准线微积分部分第11章函数的极限与连续11.1函数一 函数1定义 设和是两个变量，是给定的数集，如果对于每个数，变量按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。2 表示法3 基本初等函数 二 特性1函数的有界性设函数在区间上有定义，如果，使得对，有，则称在区间上有界，否则，称在区间上无界。2函数的单调性设函数在区

7、间上有定义,如果且时，有（或 ）则称在区间上是单调增（或单调减）的。3函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，（即若，则必有），如果，有成立，则称为偶函数，如果，有成立，则称为奇函数。4函数的周期性设函数的定义域是，如果常数，使得对，有，且恒成立，则称函数是周期函数，使上式成立的最小正数称为的周期。三 函数的运算1 四则运算2 反函数3复合函数与初等函数（1）复合函数设，定义域为；，定义域为，值域为，当时，称为的复合函数，它是由和复合而成的函数，它的定义域为，称为中间变量。（2）初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。11.2数列的极限

8、1定义 给定数列，如果当无限增大时，其通项无限趋近于某个常数，则称数列以为极限，记作或者。2 单调性 设数列，如果对于，有（），则称数列是单调递增（单调递减）的。3如果，对于有，则称数列是有界的。4 数列极限的性质 （1）若数列是收敛的，则它的极限是唯一的。（2）数列是收敛的，则称数列是有界的。5 数列极限的四则运算设，（1）（2）（3）11.3 函数的极限1 函数极限的定义 （1）设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。（2）设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。（3）设函数在区间上有定义，为常数，

9、如果当无限增大时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。（4）定理 的充分必要条件是且。（5）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数以为极限，记作。（6）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数的左极限为，记作。（7）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数的右极限为，记作。（8）定理 的充分必要条件是且。（9）设，（i）若，则极限点附近有。（ii）极限点附近有，则。2 函数极限的性质 （1）如果存在，则极限值是唯一的。（2）如果，则在极限点附近是有界的。3 函数极限的运算法则（1）四则运算（2）复合函数的运算法则设复合函数在的某

10、邻域内（可除外）有定义，如果（）且，则。4 重要极限*（1）（2） 或11.4 无穷大量与无穷小量一1 定义（1）如果函数当（或）时的极限为零，则称函数当（或）时为无穷小量。（2）如果函数当（或）时无限变大，则称函数当（或）时为无穷大量。记作.2 无穷大量与无穷小量的关系 在自变量的同一变化过程中，如果函数为无穷大量，则为无穷小量，反之，如果函数为无穷小量且，则为无穷大量。3无穷小量与有极限量的关系 ，其中4 无穷小量与有界量之积为无穷小量5无穷小量的比较 设时，(1)若，则称时比高阶无穷小，记作(2) 若是不等于零的常数），则称时与同阶无穷小。 特别地，当时称时与是等价无穷小，记作时，。当时

11、， ，。(3) 若，则称时比低阶无穷小。6等价无穷小替换定理 设时，且，存在，则 。11.5 函数的连续性1 连续的定义(1) 在点连续：设在点的某邻域有定义，如果 或 ，则称在点连续。（2）左连续，右连续（3）在内连续（4）在内连续2 函数的间断点及分类3 连续函数的运算法则(1)设，在连续，则，（），在连续。(2)复合函数的连续性设在连续，在连续，则复合函数在连续。结论：初等函数在其定义区间上是连续的。4连续函数在闭区间上的性质(1)有界性设在上连续，则在上有界。(2)最值存在设在上连续，则在上存在最大值和最小值。(3)介值定理设在上连续，则对与之间的任何数，必存在，使得。(4)零点存在定

12、理设在上连续，则必存在，使得。第12章 一元函数微分学12.1导数的概念一 导数的定义1设函数在某邻域内有定义，当自变量在点取得改变量（）时，相应地函数也有改变量，如果极限 存在，则称函数在可导，并称这个极限值 为函数在点的 导数，记作，2左导数，右导数如果存在，则称此极限值为在处的左导数，记作。如果存在，则称此极限值为在处的右导数，记作。3如果在内每一点可导，则称在内可导。4如果在内可导，且,存在，则称在内可导。二 导数的几何意义 函数在点的导数等于曲线在点（，）处切线的斜率。 切线方程是，法线方程是。三 可导与连续的关系可导必连续，反之不然。四 重要结论1在处可导2 可导偶函数的导数是奇函

13、数；3 可导奇函数的导数是偶函数；4可导周期函数的导数是周期函数。12.2 求导公式和导数运算法则一 求导公式1 2 3 4 5 6 二 四则运算如果，在点都可导，则（1）（2）（3）三 复合函数的导数设由和构成的复合函数，如果在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且12.3 微分一 定义 函数在处的微分设函数在区间上有定义，如果函数的改变量 可表为，其中是不依赖 的常数，而是比的高阶无穷小，则称 在是可微的，叫做在相应于自变量改变量的微分，记作 ，即或。二 微分与导数的关系 函数在点处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时即有。三 微分的几何意义四微分的基本公式和四则运算法则12.4中值

14、定理1 罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少使得。2 拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少使得成立。（1）如果函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数。（2）如果函数和在区间上的导数相等，则这两个函数在区间上至多相差一个常数。12.5 洛必达法则（型极限） 如果和满足（1）（2）在极限点附近都存在，且（3）存在或无穷大 ，则 12.6 函数的单调性与极值1 函数的单调性的判断法一 函数的增减性的判断如果函数在内可导，则在内单调递增（减）的充分必要条件是，有（）。二 极值 1 定义设函数，若（为某一常数）均有则称为的极大值点，为的极大值；若均

15、有则称为的极小值点，为的极小值。2 取得极值的必要条件设函数在处可导，且在处取得极值，则。3 第一充分条件设函数在点一个邻域内可导，且（或不存在，但在点连续）如果当取左侧邻近值时，当取右侧邻近值时，则函数在点处取得极大值；如果当取左侧邻近值时，当取右侧邻近值时，则函数在点处取得极小值；如果当取左右侧邻近值时，恒为正或恒为负，则函数在点处没有极值。4 第二充分条件 设函数在点有二阶导数，且，则 如果当时, 函数在点处取得极大值； 如果当时, 函数在点处取得极小值。12.8 曲线的凹凸、拐点及渐近线一 曲线的凹凸、拐点1如果曲线在其任一点切线之上（下），则称此曲线是凹（凸）的。凹凸的分界点称为曲线

16、的拐点。2设函数在区间上二阶可导，当时，则曲线在是凹（凸）的。3如果，且在两侧异号，则（,）时曲线的拐点。二 曲线的渐近线1垂直渐近线 当（，）时，有，称是曲线的垂直渐近线。2水平渐近线当（，）时，有，（其中为常数）称是曲线的水平渐近线。 第13章 一元函数的积分学13.1不定积分的概念和简单的计算 一 原函数、不定积分的概念1定义 对于定义在某个区间上的函数,若存在函数，对于该区间上的一切都有成立，则称此为的原函数。若为的一个原函数，则（是任意常数） 是的全体原函数，称之为的不定积分，记作， 即 称为积分变量，为被积函数，为被积表达式。2 设为可积的奇函数，则是偶函数为可积的偶函数，但不一定

17、是奇函数为可积的周期函数，但不一定是周期函数二. 不定积分基本计算公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）三 不定积分的性质（1） （2） (3) (4) (5) (为不等于零的常数) (6)13.2 不定积分的计算方法 1 第一类换元法（凑微分法）设是的原函数，且 可导，则是的原函数，即= =+C （其中）2第二类换元法 设单调可导，且是的原函数，则 是的原函数，即3分部积分法 设有连续的一阶导数,则 即 13.3定积分的概念与性质 一.定积分的概念 设函数在区间上有界，在中任意插入若干分点 把区间分成个小区，各个小区间的长度依次为，在每个小区间上任意取一点作函数

18、值与小区间长度的乘积 ，并作和 ，记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法,只要当时，和总趋向于确定的极限,这时，称极限为函数在区间上的定积分，记作 ， 即= 其中叫作被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。二 定积分的几何意义 在上时，表示由曲线，两条直线 与轴所围的曲边梯形的面积; 在上时，由曲线两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上既取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其它部分位于轴的下方，的几何意义是图中阴影的代数和。补充规定： （1） 当时， （2） 当时， 三 定积分的性质 设为可积函数，则 (1) （2）（是常数） （3） （4） = (5) 如果在上，则 （6）上, 则， （7） (8)设在上，则 (其中是常数) （9）如果函数在区间上连续，则在上至少有一个数，使 成立。另外，记住下面公式，常常会化简定积分的计算。 (1) （）如果函数以为周期连续函数，是常数，则 13.4微积分基本公式 定积分的计算一牛顿莱布尼兹