随机过程教学大纲

1、随机过程课程教学大纲一 课程说明1.课程基本情况课程名称：应用随机过程英文名称：Applications Random Process课程编号：2411223开课专业：数学与应用数学专业开课学期：第6学期学分/周学时：3/3课程类型：专业方向选修课2课程性质（本课程在该专业的地位作用）应用随机过程是面向数学与应用数学专业（应用数学方向）三年级学生开设的一门任选课，随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。 3

2、本课程的教学目的和任务通过本课程的学习， 使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。提高学生在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。4本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求先修课程：微积分、概率论。掌握随机过程及其有限维分布、数字特征、几种重要的随机过程等基本概念；掌握马尔可夫过程的定义及性质、马氏链的状态分类、平稳性和遍历性及连续时间马氏链的基本理论；理解平稳过程的概念、相关函数的性质，掌握遍历性定理、相关函数的谱分解、

3、平稳过程的预报.了解维纳过程、了解均方微分、积分等概念和方法；Ito公式；初步领会随机微分方程在金融中的应用.5教学时数及课时分配章（专题）主要内容学时安排第一部分预备知识5第二部分 随机过程的基本概念6第三部分 平稳过程5第四部分Possion过程10第五部分 更新过程4第六部分 Markov链18第七部分 Brown运动与随机积分简介6合计学时54 二 教材及主要参考书 1、张波，商豪. 应用随机过程（第二版）. 中国人民大学出版社，2009 2、张波 编著. 应用随机过程. 中国人民大学出版社, 20013、钱敏平、龚光鲁 著. 应用随机过程. 北京大学出版社, 19984、方兆本、缪柏

4、其 著. 随机过程. 中国科技大学出版社, 19935、王寿仁 编著. 概率论基础和随机过程. 北京科学出版社, 1997三 教学方法和教学手段说明本课程虽然归属理论课，但具有很强的应用性，在教学过程中应注意引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新概念、新方法。采用板书与多媒体结合的教学手段，以课堂讲授为主，学生课堂讨论和练习为辅的教学方式。注重对学生的启发与引导，注意联系已学过课程的有关概念、理论和方法，使学生加快对本课程的基本概念、基本理论和基本方法的理解。为配合理论教学的需要，在习题课中通过合适的例题和适当的讲解，使学生通

5、过做题，加深其对课堂讲授内容的理解，同时培养学生运用随机过程理论解决实际问题的能力。四 成绩考核办法本课程在大学三年级一学期开设，共计54学时（讲授54学时）。考试分为平时作业（含课程设计）、半期考试和期末考试三部分组成，比例按教务处标准执行。评定学期成绩时结合平时出勤情况得出该门课成绩。第一部分   基础知识（理论5学时）一、教学目的通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。二、教学重点概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。三、教学难点概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、

6、条件期望、收敛性、极限定理等。四、讲授要求掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性以及概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。五、讲授要点随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。六、实验及实践要求无第二部分  随机过程的基本概念（理论6学时）一、教学目的通过本章学习，使学生理解随机过程的定义，了解随机过程的例子，理解并掌握随机过程

7、的有限维分布函数族和数字特征，了解随机过程的分类方式及分类，掌握几种典型的随机过程，及其基本性质。二、教学重点随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。三、教学难点随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。四、讲授要求 要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；了解随机过程的分类方式及分类，掌握几种典型的随机过程，及其基本性质；有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。五、讲授要点本章主要内容包括随机过程的基本概念和例子；随机过程的有限维分布函数族和数字特征；随机过程的分类和几种典型随机过程及其性质的介绍。六

8、、实验及实践要求无第三部分   平稳过程（理论5学时）一、教学目的通过本章学习，使学生了解严平稳过程的概念，理解掌握宽平稳过程及其性质，了解平稳增量过程，了解遍历性的基本概念，理解均值和协方差函数遍历，掌握均值和协方程函数遍历性定理；要求学生能判断出某一随机过程是否是平稳过程，并能验证其是否具有遍历性。二、教学重点宽平稳过程的概念及性质。三、教学难点遍历性的理解及遍历性定理。四、讲授要求理解平稳过程的基本定义、严平稳和宽平稳随机过程、高斯过程和滑动平均序列； 遍历性的基本概念，理解均值遍历和协方差函数遍历，掌握均值遍历性定理和协方程函数遍历性定理；协方差函数的基本

9、性质；振幅调制波、频率调制波和平方检波；确定性时间函数的能量、能谱密度、功率谱的基本概念，理解平稳过程功率谱的概念，理解Wiener-Khintchine公式；最小均方误差预报，理解最佳预报的基本含义；平稳序列的预报的基本概念，理解自回归模型的线性最佳预报和滑动平均模型的预报。五、讲授要点本章主要介绍平稳过程的概念及性质，着重讲解宽平稳过程；同时介绍平稳过程的遍历性。六、实验及实践要求无第四部分   Possion过程（理论10学时）一、教学目的通过本章的学习，使学生了解计数过程，理解掌握Possion过程的定义与基本性质，了解泊松过程的实际背景，熟悉它的若干推广

10、及应用。二、教学重点Possion过程理解、应用。三、教学难点Possion过程两个定义的等价性。四、讲授要求理解Poisson过程的基本定义，掌握满足Poisson过程的4个条件；Poisson过程样本路径的阶梯函数服从指数分布，事件到达时间服从分布，理解等待时间的联合密度的计算公式；理解非齐次Poisson过程的基本定义，非齐次Poisson过程满足的条件；复合Poisson过程的基本概念；标值Poisson过程的基本概念；空间Poisson过程的基本定义；理解更新过程的基本定义，掌握更新过程的分布。五、讲授要点本章主要讲解Possion过程的定义及性质，与Possion过程相联系的若干分

11、布， Possion过程的若干推广和应用。六、实验及实践要求无 第五部分   更新过程（理论4学时）一、教学目的通过本章的学习，使学生掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，熟悉更新定理及其应用，了解更新过程的若干推广及应用。二、教学重点更新过程理解及应用。三、教学难点更新定理及应用。四、讲授要求掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，熟悉更新定理及其应用，了解更新过程的若干推广及应用。五、讲授要点本章主要内容包括更新过程定义及若干分布，更新方程、更新定理及更新理论的应用，更新过程的若干推广。六、实验及实践要求无第六部分  

12、  Markov链（理论18学时）一、教学目的本章是本课程的重点，通过教学要使学生掌握离散时间Markov链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，极限分布和平稳分布，熟悉马尔可夫链的应用，了解连续时间的Markov链的定义及应用。二、教学重点Markov链的定义，转移概率及其渐近性质。三、教学难点常返性的判别及性质，的渐近性质与平稳分布。四、讲授要求Markov链的基本定义和一步转移概率的定义，熟练掌握转移概率满足条件和计算；可达、互达与周期的定义，理解非周期不可约的Markov链性质，掌握互达性的等价关系、互达的周期和周期的基本性质；常返和顺过的基本定义，理解零常返的概念，

13、掌握常返的充要条件；Markov链的基本极限定理，理解Markov链的平稳分布，掌握遍历的不可约Markov链及其极限分布之间关系的重要定理；分支过程的基本概念，理解分支过程中群体消亡与生长到无穷的重要定理；连续时间Markov链的基本定义及其转移概率，掌握Markov过程转移概率满足的条件；纯生过程的基本概念，了解Yule过程；生灭过程的基本概念和满足条件；Kolmogorov向后微分方程和向前微分方程的表达式，理解Markov过程的性质。五、讲授要点离散时间Markov链的定义、例子及应用，转移概率及其计算，C-K方程，Markov链状态的分类及性质，常返性的判断，Markov链的极限情况和平稳Markov链的有关性质，连续时间Markov链及性质。六、实验及实践要求无第七部分 Brown运动与随机积分简介（理论6学时）一、教学目的通过本章的学习，使学生了解Brown运动的物理含义，理解Brown运动的基本定义、基本性质及其应用，了解布朗运动的几种变化。了解随机积分的基本定义，Ito微分公式的金融背景，Black-Scholes公式及其在金融中的应用。二、教学重点Brown运动的理解及应用。三、教学难点Brown运动的理解及应用。四、讲授要求了解Brown运动的物理含义，理解Brown运动的基本定义；Brown桥过程的含义，理解Brown运动的基本性质；随机积分、