专题13：立体几何中点到面的距离问题(解析版)

1、专题13：立体几何中点到面的距离问题（解析版）1 .已知四边形力及是梯形（如图甲）、AB/CD, ADLDC, CD = 4,力3 =业？ = 2, E为CD的中点，以AE为折痕把初E折起，使点D到达点P的位置（如图乙），且阳二2甲（1） 求证：平面PAE _L平面ABCE ；（2） 求点人到平面H他的距离.【答案】证明见解析：迹.3【分析】（D连接BEJ熊的中点M,连接PM, BM,可得PM_LAE,期工修，进而可得PM_L平而ABCE, 乂 FMu平面EAE,町得平而P4E _L平而ABCE ；（2） 设点A到平而磁的趴离为，利用等体积画布二忆胸鬻f转化计算即可得解.【详解】（1）连接 B

2、E 因为 AB/CD, AD _L ZT, CD = 4, E 为 CD 的中点、AB 二 AD 二 2八所以四边形ABED是边长为2的正方形、且BE=EC,取熊的中点"，分别连接期砌因为二房二2,所以PM_L然，_LAE,且熊二2万'PM = AM = BM = Q又PB=2,所以PV +临=PB*所以PM ± MB ,又 AE»MB = M .所以 PM _1平 ABCE乂 PMu平而丹庄,所以平而P4E _L平而ABC£；(2)由知，PM，平而ABCE.为正一角形且边长为2,设点A到T; Ifil为石的用I离为d，亿磁二W >则 I

3、X SjBE xPM =lx S1(be . X C4所以卜冷X5气卑BE'd，HL lx _L x2x2x>/2 = -x-Ax22 xd ,解彳 J d 二二奶，3 23 43Jk点A到平而PBE的BE离为还-3试卷第2页总18贞【点睹】本题考查面而垂宜的证明，考查点而间的距离求法，考查逻傅思维能力和计算能力，考 查空间想象能力，属于常考题.2.如图，三棱柱加中，底面ABC为等边三角形，必】_L平面ABC,且M=AC = 2,点E为8c的中点，点F为的中点.B1B(1)求证：平面FBC_L平面AE;(2)求点G到平面FBC的距离.【答案】(1)证明见解析：(2)【分析】(1)

4、由等边三角形的性质可知BC ± AE,由线面垂直的性质见:"可知A列，BC.再结合 线而垂直、而面垂宜的判泄左理即可得证；(2)取AC的中点连接EF,由线而垂直的判定建理可证得BH，面ACC八，即三棱锥BC.FC的高为BH，.易知胶 =AACF,枚郎=CF, BC±EF，以 便求的而积；设点CI到平而FBC的距离为d,由等体积法ya-FBC=B-CsFCA/的值即可.【详解】证明：(1)底而ABC为等边三角形，且E为BC的中点，r.BC±AE.AA ABC, BCu ABC,必I ± BC,又 A4 rAE = A » Me: jfi

5、i AE ,/当而人人£，/.&U面 AAAE ,BCu而FBC,而FBC_L面人人£AlFA(2)解：取AC的中点则连接EFvM ABC. Mu ABC .AA _L BH ,v AA! A AC = 4 AAi. AC u ACC/，.即 1面ACCA，即三棱锥的高为BH二* / AB = AC, ZBAF = ZCAF -90°, AF = AF .MBF 三 MCF, r.BF = CF ,.E 为 3c 的中点，以工 EF,REF = >jA+Af =>/3+T = 2设点G到平而 W的距离为d ,e Vc fbc = Vbyfc 0

6、 d, BC-EF = BH CC(-2，解得"=y/31 3 232故点c,到平而 W的川i离为d 【点睛】本题考查空间中线与而的垂直关系、点到而的距离，熟练运用线而垂直的判定宦理与性质 左理，以及等体枳法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力， 属于中档题.3.三棱锥D-ABC中，四二比二二DA=&ADC = ZABC = 120。,分别为棱歌的中点, a/ =4近.(1)求证：平面ABC _L平面A/DO；(2)求点M到平面如边的距离.【答案】(1)证明见解析：(2) 拽I7【解析】试题分析：利用勾股足理有OD_LOM,利用等腰三角形中点，有ODLA

7、C,故勿_L平而所以平而4?0_LY面他 (2)利用等体枳法» Vm_as)= Vd_mab,即1 Ssgh = 1Sm,所以 =S4坦a = 3叵试题解析：(1)由题意：OM=O£> = 4,/"=4>/2»勿加二90。，即 OD_LOM.又- -在朋仞中，业？ = 09,0为AC的中点，：Q9_LAC. OMcAC = O,. .OD _L平面 ABC,又 ,如平而/必，：.平而力/_L平而/(2)由(1)知OD_L平而力/勿=4,试卷第5页，总18贞=1BAxBMxsinl200=lx8x4x73 =8。又 T在 R/ABOD 中，OB

8、 = OD = 4 得 BD = 4y/2,AB = AD 二 S.SWbd = 一x 4*72 x ' 64-8 = 8>/7 .lb d2*, Af.ABD =力略蝴心一SwB&h = 5+跖三甥.点”平认岫为宇考点：1立体几何证明线而垂直：2 等体枳法.4.如图所示，在四棱锥S/比9中，底面/纥?是正方形，对角线AC与BD交于点F,侧面SBC是边长为2的等边三角形，E为SB的中点.（1）证明：SQ平面AEC：（2）若侧面SBC JJg面ABCD,求点A到平面BSD的距离.【答案】（1）见解析：（2）兰匕17【分析】（1）利用线线T 行，证明线面丫行，所以可以通过iF

9、 明I缈，ifuM （Z T而 AEC,EFu平而力叱从而证得勿11平而AEC （2）利用换底的方法求几何体的体积，根据线线垂宜，可以得到线而垂直，从而找出几 何体的高，事根据等体积转化，从而求出点A到面比Z）的距离.【详解】（1）连接易证EF为zXBDS的中位线，所以EF DS.乂 ： SDu 平而 AECA EFu 平而 AECA :.SD 平而（2） V平而SBCJJg而/比9,平而SBCc平|以比2?=战 AB_Ll .如？_L【答案】（1）属+1土迈：（2）旦.27【分析】（1） 根据初弘”）得到AABC为直角三角形，再根据直三棱柱疯WC,得到 ABf AA,AC为直角三角形，AA/

10、C是等腰三角形，分别求得各三角 形的而枳即可.（2） 易得一三棱锥C-£的与三棱锥CJ占B的体积相等，又VC：AB = V.-ABC必 1 =+><£>< 1 =£，贝1冬_内砂二匕二一'利川等体枳法求解.【详解】（1） AB2+AC2=BC2a所以 A8c为直角:角形，则 s磁=>ac=t-因为直一棱柱所以 /渊A为直角.角形，1 ”J AB =5/2 4C = 2, 5% - - /Id- AB =-9=0AC甘在等期 AAIBC 边 |、.的向力二 ££，则 S sue = AyB'h =&#

11、39;222所以.三棱锥A - ABC的表而积S二S" +匚+二* + S卿二屁上吾因为三棱锥04四J棱锥C.列码的底而积相等代存恋小耳心）.高也相等（点C到平而 3.4的丽离）：所以三棱锥C -g与三棱锥C 一估B的体积 相等.乂 W8 =匕=-5j BC 必 1 =XX 1 试卷第7贞总18贞听以BC = £ -设d到ifn 4国的趴离为H,则V/ =± S戒H卫，解得Hi【点睛】本题主要考查三棱锥表而积的求法，直棱柱结构特征的应用以及等体积法求点到而的距 离，还考查了空间想象和逻借推理的能力，属于中档题.6.如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形

12、，且AE = BF=AB = 1,将 ADE沿着线段AD折起，同时将ZXBCF沿着线段BC折起.使得E, F两点重合为点P.（1） 求证：平面PA8 _L平面ABCD ；（2） 求点D到平面PBC的距离几【答案】（1）见解析：（2） I2【分析】（1）由底而ABCD为正方形，可得AD,平而由平而忖平面垂血的判足足理即可证 明.（2 ）作PO _L M交脑于。易得_L平而ABCD,可求得Vp-BCD由VP-BCD = 'D-PBC即 可求得点到平面的距离力【详解】（1）证明：-四边形力比？为正方形， _L AB.又 V AD_L AE 唧 AD _L必，且 PACAB = A9:.AD_

13、LF面如，又ADu平而ABCD.平A48_L平而ABCDx2）过点P作PO,交八 FO如下图所示:试卷第9页，总18页Hl (1) ah Tibi PAB ± TliiiABCD FO，平 I iABCD1 >/3 1 V3Vpgx x =3 2212、乂 丁 ApABCD = V-pBc.1 c,A3 we12即-x -xlxlx/i = 3212所以点到平而阪的距离力二/2【点睛】本题考查了平而与平而垂直的判怎，等体积法求点到平而的距离属于基础题.7.如图所示，在矩形加中、CD=2cB=2GF,将ZiDAE沿AE折起至的位置,使得（2） 若四=2,求点C到平面ME的距离.【

14、答案】（1）证明见解析：（2） JJ.【分析】（1）可证明户4，丫而/熊，从而得到PALBE.（2）利用等积法町求点（7到平而刊E的距离，或舌取AB中-F作FG/BE交AE于G,连接FC,町iiEFG，平而E4E及CF 平而EAE,从而nJ求C到平而用E的距离.【详解】（1）证明：在矩形月瓦7?中，AD，DC.为上比、乂 PA _L PB, PEpPB = P,:.PB,PEu jfii PBEPA _L平而 PBE, :.PA _L EE（2）法一：设点C到平力为后的距离为d. CD = 2CB = 2CE = 4 AE + B巨= Ab + 应 + CE + 艮= 4CB 二 AB:.AE

15、 _L BE，AEPA = A, AE,Q4u 平而刊 E, ,庞_L平面EAE,BEu平面为月，-,平ii'i PAE_L平而45CF.过 P 作 PH 垂直 AE 于点 H,因为平 iftiPAEfl 平而 ABCE = AEA PH A I Iw PAE > PH,平面 ABCE. ：PA=PE,:.H为AE的中点* * CB= 2, AE = BE= 2>/2 * PE = AD = CE= 2 »而PA = 2,所以力，愈，乂 S»ce =/x2x2 = 2, : Vp_ace - - x-J2 x2 = 一y一 乂 S/AE=-x2x2 =

16、2，故 Vc_pae =-xd x2 = Vp_ace =，d =>/2 法二：设点C到平ifilME的距离为.试卷第10页，总18页 AB = CD = 2CB = 2CE = 4 AE + BE = Ab + 庞 + 也 + /=4CB? = APAE_L BE，AECPA = Af平而 PAE,:.跖 _L平而 E4£.取/W中点为F,过F作FG/BE交AE于G,近似FC,： .FG _L平而 E4£.在四边形低E1中，EC/AF, EC = AF ,故四边形仍石为平行四边形，故 AE/CF,而 AEu 平而 E4E, CF(z 平而 QAE,故0%平而PAE，

17、故。到平而胡£等于尸到平而R1E的距离.故 d = FG 二BE = y/2.2【点睛】线线垂直的判/£»111线而垂直得到，也可以由两条线所成的角为兰得到，而线面垂直2又可以由面而垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.点到平面的距离的计算可以 利 用而而垂直或线面垂宜得到点到平而的距离，可以根拯等积法把点到平而的距离归结为一 个容易求得的几何体的体积.8.如下图，在宜角梯形抽中，ZADC = 90 CD/AB, AB = 4,”二二2,点M为线段AB的中点，将AADC沿AC折起，使平面4DC，平面ABC, 得到几何体-/比,如图2所示.求证：试卷第W贞，总18

18、页求点B到平面CQM的距离.【答案】见解析：（口）应.3【解析】试题分析：（I）由余弦定理以及勾股宦理町证明AC，BC,根据而而垂直的性质宦理E得BC _L平而ACDx （II）先求出 次月± x4x2x、E二士g,可得£皿二半'利周弘皿二人十卜2可.得结果,试题解析：（I ）证明：由已知可得：AC=2迥'ZC4B = 45。，由余弦龙理= SAd + BC = AE ：.AC _L BC平旅平面ABC,平而ADC c平而力比二ACBC _L 平而 ACD.（II）由已知，易求_LX4X2XJ7二土£323应物二竽，设点B到平而犷的距离为，乂（求八

19、ADMC二书'V ） _MBC二二点8到平而犷的距离为仝$ -33走进高考9. 2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷n ）如图，在三棱锥尸-4比 中，AB二BC二2岳PA二PB二PC=AC=4,O为AC的中点（1） 证明：POJJP面力比；（2） 若点M在棱BC上,KMC = 2股求点C到平面POM的距离.P【答案】详见解析琴.【解析】分 Ur： （1）连接 OB,欲 11 欣？ _L TMABC,只需 iiFJVJ PO ± 4C,PO ± OB 即可；（2）过点C作CH，Of,垂足为M,只需论证CH啊K I!P为所求.再利用平面几何知识求解即可.详

20、解：（1）因为O为AC的中点.所以OP_LAC.且但2匕连结OB,因为很比mo所以AABC为等峻直角三角形，且203 ± /1G 0B=-AC=2.2由 Op/二PE 知，OPLOB.由 OP_L OB, 0P± AC 知 PO _L Tfln ABC （2）作CH_LQ».垂足为H 又由（1）可寿。工田，所以CH，平而POM,故。/的长为点。到平面A2犷的距离.山也没H-： I； IIoc=_LAC=2江歌 二片流ZACF=450.233试卷第18页，总18页所以OM至 CH：/号包 3OM5所以点C到平而四犷的距离为于.”h点睛：立体几何解答题在高考中难度低于

21、解析几何，属于易得分题，第一问多以线而的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平而的距离线段求解，也可利用等体枳法解决.10. 2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I）如图，三棱柱曲C-H品】C中，侧面胡CC为菱形，M C的中点为0,且月。一平面BBGC（1）证明：$C_月及（2）若力心1夕,2居6（EC=1：求三棱柱九3C-/PC的高.【答案】（1）详见解析；（2）三棱柱ABC-45cl的高为囱7【解试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂宜通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形.故町想到连结，则。为B. CBG的交点，又因为侧血

22、瓯为菱形,对角线相互垂直耳rC_LBq汉人。_L平面啊，所以3CAO,根据浅而垂直的判左任理R" ： BQ±丫而ABO,结合线而垂直的性质：由于ABuT：而ABO,故BIC ± AB ； （2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平而ABC的距 离，即：作OD _L BC,垂足为D.连结AD,作OH ± AD,垂足为H,则由线 面垂直的判宦定 理可得OH，T而ABC,再根据三角形而积相等：OHAD = ODOA,可求11,OH的长度，最后由三棱柱的I9G的高为此距离 的两倍即可确定出高.试题解析：连结笈、，则。为劭比的交点.因为侧并座为菱形

23、，所以4C ± Bq.乂 AO,平面庞”，所以，/0,故QC_L平而ABO.由于A8u平而ABO,故(2)作OD ± BC,尼足为D.连结AD,作OH _L初.垂.H.由于，BC _L OD,故BC，平面AOD，所以OH ± BC,又OH ±业?，所以OH，平而ABC.因为ZCBBj = 60° t所以ACBd为等边：.角形，乂 5C = h町得0X 由于AC±明，所以3=-B1C =22OH A£> = ODO4,且 ADZoLWA1 二上，得 0H 二空,414乂 O为8.C的中点，所以点到平面ABC的距离为至-故

24、:棱柱4国的高为半.考点：1线线，线而垂直的转化2点到而的距离3等而积法的应用11. 2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(全国II卷)如图，四棱锥P - ABCD它底面力即9为矩形，Q4，面为PD的中点.(1)证明：PB平面AEC;(2)设正二/, AD二否,三棱锥产力劭的体积V 二一，求A到平面PBC的距离.【答案】证明见解析(2A到平面嘶的曲为警【详解】试题分析：(1)连结BD、AC相交于O,连结OE,则PB OE,由此能证明PB 平面 ACE. (2)以A为原点，AB为x釉，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出A到平而PBD的距离试题解析：(1)设B

25、D交AC于点O,连结EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以E0/7PB又EOU平而AEC, PBCZ平而AEC所以PB /平而AEC.(2 ) V =LpA AB AD - -AB66XT32L1,可得 AB 二二 12作8交PB于H由题设易知PCJJP面只站，所以PC_L，疸故“如，平面/T,又AH二曲包叵所以虫到平而外C的距离为仝PB 1313法2：等体积法1/TV = -PA - AB - AD = A-AB 66fl IJ7 =可得 £5 二三由题设易知BC _L平面PAB. C ± PB假设/到平而丹C的距离为d,又因为PB=JE十新二逅 所以匕园c =1乂'乂后乂巫乂 = 叵/一同。32212乂因为P 5 =l4Xp血心孕或口 5二Jo= 丫