201x-201x九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数（第2课时）3 新人教版

1、实际问题与二次函数实际问题与二次函数(1)(1)目标目标:应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而培应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而培养学生理解实际问题、从数学角度抽象分析问题和运用数学知养学生理解实际问题、从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力。通过实践体会到数学来源于生活又服识解决实际问题的能力。通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。务于生活。n前面我们结合实际问题，讨论了二次前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论

2、一些实际问题。二次函数讨论一些实际问题。 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，元，每星期可卖出每星期可卖出300300件，市场调查反件，市场调查反映：如调整价格，每涨价映：如调整价格，每涨价1 1元，每元，每星期要少卖出星期要少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，元，每星期可多卖出每星期可多卖出2020件，已知商品件，已知商品的进价为每件的进价为每件4040元，如何定价才元，如何定价才能使利润最大？能使利润最大？探究1 （1）设每件涨价）设每件涨价x元，则每星期售元，则每星期售出商品的利润出商品的利润y随之变化。我们先来确定随之变化。我们先来确定y随随x变化的函数式。

3、变化的函数式。涨价涨价x元时元时，每星期，每星期少卖少卖_件，实际卖出件，实际卖出_件，件，销售额为销售额为_.怎样确定x的取值范围 分析：分析：调查价格包括调查价格包括涨价涨价 和降价两种情况。我和降价两种情况。我们先看涨价的情况。们先看涨价的情况。即即y=(300-10 x)(20+x)10 x（300-10 x）（60+x)(300-10 x）(0 x30)即即 y=-10 x +100 x+6000,其中，其中，0 x30.根据上面的函数，填空：根据上面的函数，填空： 当当x_时，时，y最大，也就是说，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价在涨价的情况下，涨价_元，即定元，即定价价_元时

4、，利润最大，最大利润是元时，利润最大，最大利润是_.255656250(2)(2)在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考(1)(1)的讨论自己得出答案。的讨论自己得出答案。由由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？道应如何定价能使利润最大了吗？设每件降价设每件降价x元元y=(300+20 x)(20-x)当当x2.5时，时，y最大为最大为6125涨价涨价5元时，利润最大为元时，利润最大为6250练习：练习：某商人若将进货单价为某商人若将进货单价为8元的商品按每件元的商品按每件10元出售，每天可

5、销售元出售，每天可销售100件。现在他为了增加件。现在他为了增加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元，利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元，其销售量就减少其销售量就减少10件。请你应用已学知识帮他件。请你应用已学知识帮他决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚利润最大？并预算出最大利润。利润最大？并预算出最大利润。本题是确定提高利润的最佳方案问题。本题是确定提高利润的最佳方案问题。解：设这种商品涨了解：设这种商品涨了x元，元，(X为正整数）每天所赚利为正整数）每天所赚利润为润为y元，元，则则y=(2+x)(10010 x)=10 x2+80 x+20

6、0 =10(x4)2+360， 当当x=4时，利润时，利润y最大，此时售价为最大，此时售价为14元，元， 每天所赚利润为每天所赚利润为360元。元。 1）训练对文字信息的分析能力；）训练对文字信息的分析能力； 2）体验将实际问题转化为数学问题）体验将实际问题转化为数学问题的方法：的方法： 即在对实际问题理解的基础上，建即在对实际问题理解的基础上，建立起商品涨价的钱数与所获利润的立起商品涨价的钱数与所获利润的函数关系，再应用二次函数的性质函数关系，再应用二次函数的性质求取利润最大值，提出解决问题的求取利润最大值，提出解决问题的方案。方案。问题问题2：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上某公

7、司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润s（万元）（万元）与销售时间与销售时间t（月）之间的关系（即前（月）之间的关系（即前t个月的利润总和个月的利润总和s与与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-11）由已知图象上的三点坐标求累积）由已知图象上的三点坐标求累积利润利润s（万元）与时间（万元）与时间t（月

8、）之间（月）之间的函数关系式；的函数关系式；2）求截止到几月末公司累）求截止到几月末公司累积利润可达到积利润可达到30万元；万元；3）求第）求第8个月公司所获利润是多少万元？个月公司所获利润是多少万元？ 本题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。本题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-11）由已知图象上的三点坐标求累积利润）由已知图象上的三点坐标求累积利润s（万元）与时（万元）与时 间间t（月）之间的函数关系式；（月）之间的函数关系式；关键点：关键点：1）观察二次函数的部分图像，用哪三点坐标）观察二次函数的部分图像，用哪三点坐标解题更简便？解题更简

9、便？ - 3解：解： 设设s与与t的函数关系式为的函数关系式为 s=at2+bt+c 图像过点图像过点(,),(1, -1.5 ) ,(2, - 2)a+b+c=1.5 4a+2b+c=2 c=0 解得解得a=21b=2c=0 s= t22t，（t 的整数）21212a2设s=a(t-2)012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-12）求截止到几月末公司累积利润可达到）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；万元；1）累积利润）累积利润s（万元）与时（万元）与时 间间t（月）之间的函数关系（月）之间的函数关系 式为式为 s= t22t21解解:把把s=30代入代入 s= t22

10、t 21得得: 30= t22t 21 解得解得: t1=10, t2=6 (舍舍)答：截止到答：截止到10月末公司累积月末公司累积 利润可达到利润可达到30万元万元关键点：关键点： 2）实际问题必须考虑自变量）实际问题必须考虑自变量t的取值范围，并的取值范围，并结合实际决定计算结果中结合实际决定计算结果中t值的取舍；值的取舍； （t 的整数）012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-12）截止到）截止到10月末公司累积利润可达到月末公司累积利润可达到30万元；万元；1）累积利润）累积利润s（万元）与时（万元）与时 间间t（月）之间的函数关系（月）之间的函数关系 式为式为 s=

11、t22t21解解: 把把t = 7代入代入 : s= 7227 =10.5213）求第）求第8个月公司所获利润是多少个月公司所获利润是多少 万元？万元？ 把把t = 8代入代入 : s= 8228=1621关键点：关键点： 3）要认真审题，准确理解题意。体会第）要认真审题，准确理解题意。体会第8个月利润与累计利润的区别和如何求取？（应用二次个月利润与累计利润的区别和如何求取？（应用二次函数的对应关系）函数的对应关系）本题归纳本题归纳:1）训练学生从图像获取信息的能力；）训练学生从图像获取信息的能力；2）复习巩固三点确定二次函数解析式）复习巩固三点确定二次函数解析式的方法；体验生活中两个变量间的

12、对应的方法；体验生活中两个变量间的对应关系，是如何应用数学知识体现的。关系，是如何应用数学知识体现的。如图中如图中,是抛物线形拱桥，当水面在是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面时，拱顶离水面2米，水面宽米，水面宽4米。米。水面下降水面下降4米，水面宽度增加多少？米，水面宽度增加多少？我们知道，二次函数我们知道，二次函数的图像是抛物线，建的图像是抛物线，建立适当的坐标系，就立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线可以求出这条抛物线表示的二次函数。为表示的二次函数。为解题简便，解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为线的对称轴为y轴，如图建立平面直轴，如图建立

13、平面直角坐标系角坐标系可设这一条抛物线表示的二次函数为可设这一条抛物线表示的二次函数为y=ax.有抛物线经过点（有抛物线经过点（2，-2），），可得：可得：-2=a2,2,这条抛物线表示的二次函数为这条抛物线表示的二次函数为当水面下降当水面下降4 4米时米时, ,水面的纵坐标为水面的纵坐标为y=-6.y=-6.请你根据上面的函数表达式求出这时的请你根据上面的函数表达式求出这时的水面宽度。水面宽度。12a 212yx 水面下降水面下降4米米,水面宽度增加水面宽度增加_米米.4)(4 3XY0BCA探究四探究四:公园要建造圆形的喷水池，在水池中央公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一

14、个柱子垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面点恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端A处的喷头向处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离流在离OA距离为距离为1米处达到距水面最大高度米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？ 本题是涉及公园美化的本题是涉及公园美化的应用性问题。应用性问题。X

15、Y0BCA解：如图建立坐标系，设解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为抛物线顶点为B，水流，水流 落落水与水与x轴交于轴交于C点。由题意点。由题意可知可知A（，（，1.25）、）、 B（1，.25）、）、 C（x，0） 关键点：关键点：1）根据题目条件该如何建立直）根据题目条件该如何建立直角坐标系角坐标系 XY0BCA 如图建立坐标系，设如图建立坐标系，设抛物线顶点为抛物线顶点为B. 由题由题意可知意可知 A（0，0）、）、 B（1，1）、）、 C（x， -1.25 ） XY0BCA 如图建立坐标系，如图建立坐标系，设抛物线顶点为设抛物线顶点为B.由题由题意可知意可知 A(-1,-1), O（-1

16、，-1.25）、）、 B（O，0）、）、 C（x， -2.25）XY0BCA解：如图建立坐解：如图建立坐标系，设抛物线标系，设抛物线顶点为顶点为B，水流落，水流落水与水与x轴交于轴交于C点。点。 由题意可知由题意可知A（，（，1.25）、）、B（1，.25）、）、C（x，0） 解：如图建立坐标系，设抛物线顶点解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为为B，水流落水与，水流落水与x轴交于轴交于C点。点。 由题意可知由题意可知A（，（，1.25）、）、 B（1，.25）、）、C（x，0） 0BCAXY设抛物线为设抛物线为y=a(x1)2+2.25 (a0), 点点A坐标代入，得坐标代入，得a= 1当当y

17、= 0，即，即(x 1) 2+2.25=0时，时，水池的半径至少要水池的半径至少要2.5米。米。x= 0.5（舍去），（舍去）， x=2.5x= 0.5（舍去）（舍去）2(1)2.25yx 水流沿抛物线落下，容易联想到水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。题的关键是坐标系的建立。 选择了恰当的位置建立坐标系，就选择了恰当的位置建立坐标系，就会给运算带来方便。会给运算带来方便。以以OA所在直线为所在直线为y轴，过轴，过O点垂点垂直于直于OA的直线为的直线为x轴，点轴，点O为原点可为原点可作为最好选择。作为最好选择。XY0BCA思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面点恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端A处的喷头向处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物