【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin(ωx-φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案-理-新人教A版

1、【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学案 -理-新人教A 版学案20函数y = ( 3X +小)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标：1.了解函数y=( 3x+ 6)的物理意义；能画出y=(cox+ 6)的图象，了解 参数A 3 , 6对函数图象变化的影响.2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型，会用三角函数解决一些简单实际问题主梳理3 / 181 .用五点法画y=(cox+() 一个周期内的简图用五点法画y=( 3x+ G) 一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.XQ x + 3y=(3 X + 3 )0A0一 A

2、02 .图象变换：函数 y =(3x+()( A>0,>0)的图象可由函数 y= x的图象作如下变 换得到：(1)相位变换：y=(*+6),把丫= x图象上所有的点向(巾>0)或向(巾<0)平行移动个单位.(2)周期变换：y = (x+ 6)>y = (cox+ 6),把y=(x+ 6)图象上各点的横坐标 (0< 3<1)或(3>1)到原来的倍(纵坐标不变).(3)振幅变换：y=(x+ 6 ) >y=(x + 6 ),把y=(x + 6 )图象上各点的纵坐 标(A>1)或(0<A<1)到原来的倍(横坐标不变).3 .当函数

3、 y=( cox+巾)(A>0, 3>0), xC(8,+8)表示一个振动量时，则叫做 振幅，T=叫做周期，f=叫做频率，叫做相位，叫做初相.函数y = ( 3 x + 6 )的最小正周期为.y =(x + 6 )的最小正周期为.1 . (2011 池州月考)要得到函数丫=的图象，可以把函数 y= 2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位2 .已知函数f (x)= (xCR, 3 >0)的最小正周期为 兀.将y = f (X)的图象向左平移| 6| 个单位长度，所得图象关于y轴对称，则6的一个值是()3 .已知函数f(x)=( 3

4、x+)(xCR, 3>0)的最小正周期为 兀，为了得到函数g(x)= cox 的 图 象， 只 要 将 y =f (x)的 图 象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度4. (2011 太原高三调研)函数y =的一条对称轴方程是()A. x=B. x =C. x=D. x=5. (2011 六安月考)若动直线x = a与函数f (x) = x和g(x)= x的图象分别交于 M N两点，则的最大值为()A 1D 2【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学案 -理-新人教A 版探究点一三角

5、函数的图象及变换1 已知函数y=2.(1) 求它的振幅、周期、初相； (2) 用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3) 说明y=2的图象可由y= x的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移 1 设 f(x)=2x+ x+2x (xCR).(1)画出f(x)在上的图象；(2) 求函数的单调增减区间； 如何由y= x的图象变换得到f (x)的图象?探究点二求y= ( 3 x + 6 )的解析式2H)|< , xe R)的图象的一部分如图所示.求函数已知函数 f (x) =( 3X+ 6 ) (A>0, 3>0, f( x) 的解析式5 / 18变式迁移2 (2011 宁波模拟)

6、已知函数f(x)=(cox+ 6) (A>0, 3>0, | 6 <)的图象与 y 轴的交点为(0,1) ，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0,2)和(X0+2 兀,-2).(1)求f (x)的解析式及X0的值；若锐角e满足e =，求f(4 e)的值.探究点三三角函数模型的简单应用【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学案-理-新人教A版3已知海湾内海浪的高度y（米）是时间t（0wtw24,单位：小时）的函数，记作y=f（t）.下表是某日各时刻记录的浪高数据：t124y1.51.00.51.01.

7、51.00.50.991.5经长期观测，y = f （t）的曲线可近似地看成是函数y= 3t+b.（1）根据以上数据，求函数y= 3t + b的最小正周期T,振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于 1米 时才对冲浪爱好者开放，请依据 （1）的结论，判断一天内的上午 8 : 00至晚上20 : 00之间， 有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3交流电的电压 E（单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用E= 220表示, 求：（1）开始时的电压；（2）最大电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次取得最大值时的时间.7 / 18【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=

8、Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学案 -理-新人教A 版11 / 18数形结合思想的应用（12分）设关于e的方程0+ 0+a=0在区间（0,2兀）内有相异的两个实根(1) 求实数 a 的取值范围；(2)求a + §的值.【答题模板】解(1)原方程可化为(0+)= 一 ,作出函数y=(x+ )(xC(0,2兀)的图象.3 分由图知，方程在(0,2兀)内有相异实根a, (3的充要条件是 错误！.即2<a<或<a<2.6 分(2)由图知：当一<a<2,即一C (1,)时，直线y=与三角函数 y=(x+ )的图象交于 C D两点，它们中点的

9、横坐标为兀，. = ,. - a + 3 = .8 分当一2<a<,即一C (, 1)时，直线y=与三角函数 y= (x+)的图象有两交点 A B, 由对称性知，=, - a + B = .11分综上所述，“ + 3=或”+3=兀.12 分【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数( 量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略图象的应用主要有以下几个方面：比较大小；求单调区间；解不等式；确定方程根的个数.如判断方程x=x的实根个数；对称问题等.【易错点剖析】

10、此题若不用数形结合法， 用三角函数有界性求a 的范围， 不仅过程繁琐， 而且很容易漏掉aw 的限制，而从图象中可以清楚地看出当a=时，方程只有一解.1.从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y=(cox+ 6)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y= x的作用.2三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题3三角函数模型应用的解题步骤：(1) 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象(2) 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(3) 利用收集到的数据作出

11、散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型( 满分： 75 分)一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分)1 .将函数y=的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是()A. y= xB. y =C. y =D. y =2 . (2011 银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ()【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学案-理-新人教A版A. y =b. y=C. y =D. y =3 .为得到函数y =的图象，只需将函数y= 2x的图象 （）A.向左平

12、移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度4 . （2009 辽宁）已知函数f （x） =（ cox+巾）（A>0, 3>0）的图象如图所示，f（）=,则f （0）等（）A 一B. 一5 .（2011 烟台月考）若函数y=（cox+（|）+mA>0, 3>0）的最大值为4,最小值为0, 最小正周期为，直线 x=是其图象的一条对称轴，则它的解析式是（）A. y = 4B. y=2 + 2C. y = 2+2D. y=2+2题号12345# / 18【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学

13、案 -理-新人教A 版答案二、填空题(每小题4分，共12分)6.已知函数y=(cox+() ( 3>0, 兀w 6<兀)的图象如图所不，则 6 =.7. (2010 潍坊五校联考)函数f(x) = 2x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则 g(x)=.8. (2010 福建)已知函数f(x) = 3 ( 3>0)和g(x)=2(2x+ 6)+1的图象的对称轴完 全相同.若xC,则f(x)的取值范围是.三、解答题(共38分)9. (12分)已知函数f (x) = ( cox+()( A>0, 3>0, | 6|< , xC R)的图象的一部分如下

14、图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当xC6,时，求函数y=f (x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.10. (12分)已知函数f (x) =( cox+ 6) (A>0, 0<coW2且0W 6 W兀)是R上的偶函数， 其图象过点M(0,2) .又f(x)的图象关于点对称且在区间0,兀上是减函数，求 f(x)的解析式.cx cx ( c >0) 的最小正周纵坐标不变，得到函数y=g(x)11. (14 分)(2010 山东)已知函数 f(x)=(兀一cox)期为兀，(1) 求 c 的值；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的， 的图象

15、，求函数 y=g(x)在区间上的最小值.答案 自主梳理(3) 伸长10 兀 2兀 2.(1)左右 |加 (2)伸长 缩短缩短 A33 x + 66自我检测 B 2 3 4 5课堂活动区解题导引 (1) 作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看 x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用3 X + 6=3来确定平移单位.解 (1)y=2的振幅A= 2,周期丁=兀，初相 6=.(2)令 X= 2x+,则 y=2=2 X.列表：X一X0兀2兀y= X010-10y=2020-20描点连线，得

16、图象如图所示:(3)将y= x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y= 2 x的图象；再将y= 2x的图象向左平移个单位，得到y= 2 =的图象；再将y=的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2的图象.变式迁移 1 解 y = - 2x, 2) + 2x+ 2x, 2)=1+ 2 x- 2 x= 1 + .(1)(五点法)设X= 2x-,则 x = X+ ,令 X= 0,兀，2 % ,于是五点分别为，描点连线即可得图象，如下图.15 / 18(2)由一十 2kTtW2x2kTt, kCZ,得单调增区间为，kez.由+ 2kjtW2 x w + 2

17、kTt , kC Z,得单调减区间为，kez.(3)把y= x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移 1个单位即得y=+ 1的图象.【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin(*。的图象及三角函数模型的简单应用学案-理-新人教A版解题导引确定y=( cox +() + b的解析式的步骤:(1)求A, b.确定函数的最大值 M和最小值rrj则A=, b=.(2)求co .确定函数的周期 T, 则co = .(3)求参数6是本题的关键，由特殊点求 6时，一定要分清特殊点是“五点法” 的第几个点.解由图象可知A=2, T=8.方法一由图象过点(1,

18、2),得 2 = 2,= 1- - I 6 1< , 6 =, .f(x) = 2.方法二.点(1,2)对应“五点”中的第二个点. X 1 + ()= ,()=, .f(x) = 2.变式迁移2 解(1)由题意可得：A= 2, = 2 7t ,即=4兀,co =,f(x) =2, f(0) =2 6=1,由 |()l< , 6 = f (x) = 2( x+).f (Xo) = 2= 2,所以 >fo + =2k7t + , Xo = 4k % + ( k Z), 又 xo是最小的正数，Xo=.(2) f(4 6)=2= 20+ 2 e,- 9 ,9 = , ,- 9 =,2

19、.2 6 = 2 6 - 1 = -,2 6 =2 6 6 =,-.f(4 e)= x-=.17 / 18【步步高】届高三数学大一轮复习-函数y=Asin( 3冷。的图象及三角函数模型的简单应用学案 -理-新人教A 版3解题导引 （1） 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面， 一是已知函数模型， 如本例， 关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则， 二是把实际问题抽象转化成数学问题， 建立三角函数模型， 再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.（2）如何从表格中得到A 3、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点.（3）对于三角函数模型 y =

20、（3x+（） + k （ A>。，>0）中参数的确定有如下结论： A=;k=;由特 殊点确定解（1）由表中数据，知周期 T= 12,= 3 =）由 t =0, y=1.5 ,得 A+ b=1.5 ;由 t =3, y=1.0 ,得 b=1.0 ,A= 0.5 , b=1, - y= t + 1.（2） 由题知，当 y>1 时才可对冲浪者开放， t +1>1, t>0,2k7t - <t<2kTt +, kez,即 12k-3<t<12k+3, kCZ.,0<t<24,故可令中的k分别为0,1,2 ,得 0Wt<3,或 9V <15,或 21<t W24.，在规定时间上午 8 : 00至晚上20 : 00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即 上午9 : 00至下午3 : 00.变式迁移3 解(1)t=0时，E= 220 = 110(伏).(2) T= 0.02(秒).(3)当100兀t+ = , t=秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏.课后练习区1. C 2 3 4 567 . 2x89 .解 (1)由图象知 A= 2,T= =8,3 = . (2分)又图象经过点(一1,0) ,，2(+ 6)=0.| *，