【教学设计】《1.1.2.余弦定理》(人教版)

1、【教学设计】?人教版? 本节内容通过利用向量的数量积推导余弦 定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决 “边、角、边和“边、边、边问题，初步体 会用余弦定理解决“边、边、角，体会方程思 想，激发学生探究数学、应用数学的潜能。【知识与能力目标】掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦 定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类根 本的解三角形问题。【过程与方法目标】利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类根 本的解三角形问题。【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形 问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向 量的数量积等知识间的关系，来理解事物

2、之间的 普遍联系与辩证统一。第2页【教学重点】余弦定理的发现和证明过程及其根本应用 教教学难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的 作用。教学过程'一、导入局部如图1. 1-4,在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,a,b和C）求边c 二、研探新知，建构概念联系已经学过的知识和方法，可用什么途径 来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、 B均未知，所以较又t求边co由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、a2 b2 c2 2bc cos A同 理 可 证22,2cab 2abcosC余弦定理：三角形中任何一边

3、的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的帼倍枪2 c2 2b即sA222b a c 2ac cos B222理解定理:起个式如甲窜优个量? I从方程 的角度看其中三个量，可以求出第四个量，能否 由三边求出一角？由学生推出从余弦定理，又可得到以下推论：从而正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：三角形的任意两边及它们的夹角就可以 求出第三边；三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之 间的关系，余弦定理那么指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个 定理之间的关系？由学生总结假设ABC中，C=900 ,那么 cosC 0 ,这时c2

4、 a2 b2第4页由此可知余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理 是余弦定理的特例。三、质疑辩论，开展思维例1 .在ABC中，a 2凡c就屁）B = 45°, 求b及Ac2 2accosB =(2 3)2 ( 62)2 2 2 3 ( 6 . 2) COS 450求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:(力函注一CCUa b2 c2 a2 (2 2)2 ( 62 )2 (2,3)2 1用牛口 . COSA -b许(2 2,解法二：: Sin A sinB 2 3 sin450, b 2 2又丁 遍 72 > 2.4 1.4 3.8,2 1.83.6,a V c , 即 00VA

5、e 900,A 600.评述：解法二应注意确定 A的取值范围。例2.在ABC中a a 134.6 cm , b 87.8cm , c 161.7cm , 解三角形见课本第7页例4,可由学生通过阅读进行理解解:222cos a b ：a 2bc由余弦定理的推论得：87.8： ：6以1134.62 0.5543,2 87.8 161.7cos22. 2cabB 2ca_22_2134.62 161.72 87.820.8398,2 134.6 161.7变式训练:1在AABC中, 和Ca=7,b=10,c=6求A、B解：;,22a b ccos A2bc= 0725, .二 A 44°2

6、. 22八 a b ccosC2ab=0.8071 ,36°. B =180° (A+C)=100° o2A ABC三个顶点坐标为（6, 5）、（一2, 8）、（4, 1）,求 A解法一 ：二 |AB| = #6 ( 2)2 (5 8)2 J73|BC|2 4)2 (8 1)285第7页|AC| = d'(6 4)2 (5 1)2 275222cos AAB|AC| |BC| = 22 AB AC 365解法二：; AB = (-8, 3), aC=(-2, -4) .c0sA = AB?AC =( 8) £J) 3 ( 4)2.一|AB| |AC|JT3 2屈365 , ,2 84 ：四、课堂小结：1余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共