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文档简介

1、过关检测(一)(时间:120分钟满分:160分)一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共70分)1.已知哥函数f(x)的图象经过点4;则该募函数的解析式为“刈=12,2 . (2012 山东改编)函数f(x) = /J +.4-x的定义域为 .3 .已知函数 f (x) = alog 2X- blog 3x + 3,若 f :知;=4,则 f(2 013)值为.4 . (2012 泰州期末)设A为奇函数f (x) =x3+x+a(a为常数)图象上一点,在 A处的切线 平行于直线y = 4x,则A点的坐标为 .f x+,x<2,5 . (2012 苏锡常镇调研)已知函数f(x) = i

2、x x2则f (log 32)的值为.6 .设 f (x) = x3+ log 2( x+ yjx" + 1),则不等式 f ( m) +f (m2-2) >0( mE R)成立的充要条件是 .(注:填写m的取值范围)7 .定义在R上的偶函数f(x)在(0, +8)上是增函数.若 f(a) >f (2),则实数a的取值范 围是.8.若y = f(x)在区间1,2上是单调减函数,a+b的最小值为.9 .给出下列说法:若 f' (x0) = 0,则f(x。)是函数f(x)的极值;若f(x。)是函数f(x) 的极值,则f(x)在xo处可导;函数f(x)至多有一个极大值和

3、一个极小值;定义在R上的可导函数f(x),若方程f' (x)=0无实数解,则函数f(x)无极值.其中正确说法的 序号是(填上你认为正确的所有说法的序号 )10 . (2012 盐城模拟)若丫=刈是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,当 x 0,1时,f(x)=2x1,则函数 g(x)=f(x) log3|x| 的零点个数为 .f x , f x >k, Ik, f x 0k.11 . (2012 常州质检)设函数y=f(x)在R内有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)若函数f(x) = log 3| x| ,则当k= g时,函数fk(x)的单调3减区间为.12

4、 . (2011 苏锡常镇调研)已知函数f (x) = |log 2x| ,正实数 m, n满足m< n,且f(m)=f(n), 若f(x)在区间m2, n上的最大值为2,则n+m=.13 . (2012 南通密卷)函数f(x)的定义域为D,若满足f(x)在D内是单调函数,存在a,b?D,使f(x)在a,b上的值域为b,a,那么y= f(x)叫做对称函数,现有f(x)= 声;一k是对称函数,那么 k的取值范围是 .14 .对函数f(x)=xsin x,现有下列命题:函数f(x)是偶函数;函数 f(x)的最小正周期是2兀;点(兀,0)是函数f (x)的图象的一个对称中心;函数f (x)在区

5、间.|0, -2 上单调递增,在区间|-2-, 0 上单调递减.其中是真命题的是 .(写出所有真 命题的序号)二、解答题(本题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本小题满分14分)(1)求函数y=匚-21的单调递增区间和值域; 2(2)若方程lg( -x(1)当a=2时,求f(x)的极值点; (2)若f (x)在f ' (x)的单调区间上也是单调的,求实数 a的取值范围. 20.(本小题满分16分)(2012 扬州中学质检)已知二次函数f(x)的二次项系数为 a,且不 等式f(x) >2x的解集为(-1,3).+ 3x-m) =lg(3 -x

6、)在0,3上有唯一解,求 m的取值范围.16 .(本小题满分14分)已知函数f(x) = exkx, xC R (1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;(2)若k>0,且对于任意xC R, f (| x|) >0恒成立,试确定实数 k的取值范围.17 .(本小题满分14分)(2012 南京、盐城模拟)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入 水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv2(c为正常数);在水底作业需 5个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4 ;返回水面时,平均速度为V(米/单位时间),单位时间用氧

7、量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1)将y表示为v的函数;(2)设0VVW5,试确定下潜速度 v,使总的用氧量最少.18 .(本小题满分16分)(2012 苏北四市调研)若函数f(x)在(0,+8)上恒有xf ' (x)>f(x) 成立(其中f ' (x)为函数f(x)的导函数),则称这类函数为 A型函数.(1)若函数g(x) =x2-1,判断g(x)是否为A型函数,并说明理由;(2)若函数h(x)=ax 3 ln x- -一a是A型函数,求函数 h(x)的单调区间; x(3)若函数 f(x)是 A 型函数,当 Xi>0, x2>0 时,

8、证明 f (Xi) + f (x2) V f (Xi + X2).1 23 2 119 .(本小题满分16分)(2012 泰州期末)已知函数f (x) =qx + a +2am x- 2ax.(1)若函数g(x)=xf(x)在区间i8, a内单调递减,求 a的取值范围;(2)当a=1时,证明方程f (x) =2x31仅有一个实数根;(3)当xC0,l时,试讨论|f (x)+(2a1)x+3a+i| W3成立的充要条件.参考答案:过关检测(一)1 .解析 设备函数f(x)=x",将点'2, 1 #弋入解得“ =-2,故该哥函数的解析式为f(x)4=x 2.答案x 22 .解析

9、根据使函数有意义的条件求解.x+1>0,由Till x+ WO, 得一1vxW2,且 xw0.4-x2>0,答案(一1,0) U (0,23 -解析 f或后r4,飞啕2焉blog3d3+3=4,即一alog 22 013 + blog 32 013 + 3= 4,. alog 22 013 -blog 32 013 =- 1, .f (2 013) =alog 22 013 - blog 32 013 + 3=- 1 + 3= 2.答案 24 .解析 由函数f (x) =x3+x+a( a为常数)为奇函数得a=0,设点A的横坐标为x,则f' (x) =3x2+ 1 = 4,

10、解得 x= - 1 或 1,又 f( 1) = 2, f(1) =2,所以 A 点的坐标为(1,2) 或(一1 , 一 2).答案(1,2)或(一1, - 2)5 .解析 因为 log 32 (0,1),所以 log 32 +2 (2,3),所以 f(log 32) =f(log 32+2) =3- 1 11(log 32+2)=2x9=w.答案1186 .解析 判断函数是奇函数,且在R上是递增函数,.f(m)+f(mi-2)>0即为f(m2 2) >2-f ( m) = f ( - m), m-2>- rq 解得 m>l 或 me 2.答案 m>l或mic -

11、27 .解析 因为f(x)是偶函数,所以f(x) =f(| x|),所以不等式f(a)>f(2)即为 f(| a|) >f(2),又函数f (x)在(0 , +8)上是增函数,所以|a|>2,解得a>2或aw 2.答案(一8, 2 U 2 , +oo)8 .解析 由题意可知f ' (x) =x2+2ax bwo在区间 1,2上恒成 立, 1 2abwo且4+4a-b<0,作出可行域如图,当直线 经过两直线的交点2, 2)寸,取得最小值!3 答案29 .解析 对于说法,对于可导函数f(x) , f(x。)是函数f(x)的极值,除了要有f' (x0)

12、= 0,还要在x = xO的左右两边的导函数符 号相反,所以错误;f(x0)是函数f(x)的极值时,由极值的概念可知,f(x)在x。处不一定可导,所以错误;函数f(x)极值点的个数可能有多个,所以错误;方程f' (x) = 0无实数解,则函数f(x)肯定无极值,但它的逆命题不对, 所以答案选择.答案10.解析 利用数形结合的方法求解,在同一坐标系中作出函数 象如图,由图象可知原函数有 4个零点.y=f (x),y= log 3| x| 的图答案11.解析因为f (l_x) =I Ilog 3| x| , xv3/3或x>3/3.3'3/3wxv0或0vxw 3y3区间为O

13、O答案12.解析OO 因为-33._赤1(开区间也对)0<mK n 且 f (m = f(n),1 ,f'x)的单倜减 32 1m=,4'所以 0Vmk 1 < n,且 m=-. n因为f(x)在区间m2, n上的最大值为2所以最大值为f ( m2) = |log 2m| = 2,所以因为10< mr 1,所以 mi= 2,5 n= 2,所以 mu n=-.13.解析由于f (x)=也x k在(一00, 2上是减函数,所以耳-k=-a?关2- b k= b12答案14.解析的方程、2 x-k=- x在(8, 2上有两个不同实根,通过换元结合图象可得k9.&qu

14、ot;4)定义域关于原点对称,且f(x)=f(x), 函数f(x)是偶函数,正确;f(x+2兀)wf(x) ,,2兀不是函数f(x)的周期,错误;,.f3y j, 点(兀,0)不是函数f(x)的图象的一个对称中心,错误;(x)=sin x + xcos x>0 在区间 |0,-2上上恒成立,函数 f(x)在区间|0单调递减,正确,所以真命调递增,又.函数 f(x)是偶函数,在区间J-y, 题的序号是.答案15.解(1)利用复合函数的单调性可知函数y= 口 )x+21的单调递增区间即为函数y= | x+ 2|2的递减区间,即(8, 2); |x + 2| >0, y=匚产 221 C

15、 (0,1,即值域为(0,1;-x2+ 3xm> 03-x>0(2)原方程等价于?0<x<3l x2+ 3x- m= 3-x16.0<x<32x + 4x-3= m令y1 = -x2+4x-3, y2= m在同一坐标系内,画出它们的图象,如图.其中注意0w x<3,当且仅当两函数的图象在 0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,当m= 1,或3wm<0时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为3,0 U1.解(1)由 k= e得 f (x) =exex,所以 f' ( x) = ex- e.由f' ( x) >0得x>1

16、,故f (x)的单调递增区间是(1 , +°°),由f' (x)<0得x<1,故f(x)的单调递减区间是(一巴 1).(2)由 f (| -x|) =f(| x|)可知 f(| x|)是偶函数.于是f(| x|) >0对任意xe R恒成立等价于f(x) >0对任意x>0恒成立.由f' ( x) = exk= 0 得 x= ln k.当 kC (0,1时,f' (x) =ex-k>1-k>0(x>0).此时 f(x)在0 ,+8)上单调递增.故f(x)>f(0) =1>0,符合题意.当kC (

17、1 , +8)时,ln k>0.当x变化时f' (x) , f(x)的变化情况如下表:x(0 , ln k)ln k(ln k,+°°)f' (x)一0+f (x)单调递减极小值1单调递增由此可得,在0 , +°°)上,f (x) > f (ln k)=k kln k.依题意,k- kln k>0,又k>1,. 1vkve.综合,得,实数 k的取值范围是0vk <e.17.“,30 e=,解(1)潜入水底用时,用氧重为水底作业时用氧量为5X 0.4 = 2;-x cv2= 30cv; v,E ,60 E一,返

18、回水面用时7,用氧量为6012X 0.2 =一,12=2+ 12/100.12当且仅当30cv="v,即v = <5,即 c>-5c'1252)25c>5,即 c<法时时,时时,52c时取等号.v=、/5l时,y的最小值2+ 12yH. 2 ,12 30cv - 12y = 30c- -=2v 0,v v所以 y=30cv+ y=30cv+2 + 1v2>2+ 21/30cvX1v2+v(v>0)-12因此函数y=30cv + 2+"在(0,5上为减函数,,一,22所以当v = 5时,y的最小值为150c+亏.2 ; 2 . 一

19、一 .一综上,当c>125时,下潜速度为 、/瓦时,用氧量最小为 2+12于记当0VCV /时,下潜速度为 5时,用氧量最小为 150C+22. 125518.解 (1)因为 g' (x) = 2x,所以 xg' (x) g(x) = 2x2 (x2 1) =x2+ 1>0 在(0 ,十8)上恒成立,即xg' (x)>g(x)在(0 , +°°)上恒成立,所以 g(x) =x21是A型函数.11 a1 a(2) h' (x) = a-x+ x2 (x> 0),由 xh ' (x) >h(x),得 ax-

20、1 + x->ax- 3- In x-因为x>0,所以可化为 2(a 1) v2x + xln x,3令 p(x)=2x+xlnx,p(x)=3+ln x,令 p(x)=0,得x=e,当 xC(0, e-3)时,p' (x)<0, p(x)是减函数;当 xC(e-3, +8)时,p' (x)>0, p(x)是增函数,所以 p(x)min= p(e 3) =- e 3,所以 2(a- 1) < - e 3, av12e 3.,减区间为(1 , +°°);一. -1 - x 一 、一当a=0时,由h (x) = >0,得xv

21、1,所以增区间为(0,1) x1 aar丁)xT当 a<0时,由 h' (x) =-7>0,得 0vxv1,x所以增区间为(0,1),减区间为(1 , 十°°);1 a I1 a工x>,所以增 a1弋一丁 JxT当 0vav2时,由 h' (x) =?>0, 得 x< 1, 或区间为(0,1) , 5aa,+°° i,减区间为十,1 i;1,1, ,一一一、,当a=2时,h' (x)>0,所以,函数增区间为(0, +8);x-1>0,得 x<-a,或 x>1,a1 a alx-

22、r h'(x)=Z所以增区间为(1 , +8), JO, 1a j,减区间为 Jr,1 j 证明:函数f(x)是(0,+8)上的每一点处都有导数,且xf' (x)>f(x)在(0 ,+8) fxxf132V av1 2e 时,由 x f x.上恒成立,设 F(x)=, F' (x)=-2>0在(0, +8)时恒成立,xxf x所以函数F(x)=在(0, +8)上是增函数,x因为 Xi >0, x2 >0,所以 Xi + X2>Xi>0, Xi + X2>X2>0,所以 F(Xi+X2)>F(Xi) , F(Xi+X2

23、)>F(X2),即 f X1+X2f Xi fX1+X2fX2Xi + X2Xi' Xi + X2X2'.X1f所以 f(X1)< Xi+ X2Xi+ X2X2f f(X2)< X1 + X2Xi+ X2两式相加,得 f (Xi) +f(X2) vf (Xi+X2).19.解 (1) f(x) =;x2;1ln x+ x(x>0),(x)=x上 + 1 =21616x216x + 16x 1解得x =当xL'。,卷更】时单调减,当16xx£*单调增,.,>-2 +故 f (x)在 x=-4虫时取极小值,无极大值.x 2ax+4a

24、+2a(2) f ' (x) =(x>0),令 g(x)x= x2 2ax+;a2+2aA = 4a23a2 2a = a22a,设 g(x) = 0 的两根为 xb x2(且 xyxz), 10当A wo时,即0WaW2, f' (x)>0, f(x)单调递增,满足题意 20当A >0时,即a<0或a>2时,若x10vx2,则"|22+;2<0,即一:vavO 时,4233a,2af(x)在(0 , x2)上单调减,(x2, +8)上单调增 f'(x)=xd-2a,x3a2+”4a2a(x) = 1 -2 A0, fxx)在(0, +oo)单调增,不合题意;,|a2+1a>o右x1< x2< 0则彳42a<0r2 .,即aw三时f(x)在(0, +8)上单调增,满足题意. 33 2 1-a +ra>0若 0vx1x2则:42、a>0 f (x)在(0 , x1)单调增,(x1即a>2

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