辛算法在电磁计算中的应用

1、辛算法在电磁计算中的应用摘要近几年，随着计算机性能的飞速发展和计算物理中各种新型算法的出现，各种电磁场数值方法层出不穷，但很多算法面临着计算时间长、储存空间不足及计算精度低等方面的困难。Hamilton系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。一切守恒的物理过程，总能表示成适当的Hamilton系统。辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有一般数值方法无可比拟的计算优势。本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，然后介绍了辛算法。接着，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的

2、计算式。最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。关键词：电磁计算；辛算法；Hamilton系统；Maxwell方程一引言电磁场理论的应用遍及地理学、生命科学、医学、材料科学和信息科学等几乎所有技术学科领域。计算电磁学是以电磁场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学。因此，开展计算电磁学的研究不仅可以产生国际水平的基础研究成果，更重要的是可以促进我国民用和军用电磁学相关领域的发展。早在1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍

3、规律，这就是Maxwell方程组，它包括微分形式和积分形式。简单地说，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题。计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今40余年。纵观整个电磁理论发展的过程，电磁学的发展可以分为两个阶段。以20世纪60年代为分界点，之前可以称为经典电磁学阶段，在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的方法进行处理，即在几种可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式，最后得到解析解。之后基于积分方程的矩量法和基于微分方程的差分类方法为代表的数值计算方法的运用标志着计算电磁学阶段的到来，电子计算机的迅速发展，使大型数

4、值运算成为可能。之后计算Maxwell方程进入了高速发展阶段，所采用的方法大都是先将Maxwell方程离散化，再运用程序进行数值结果计算。二电磁学中常见的计算方法从计算电磁学作为一门学科问世以来，频域方法一直占据着主导地位。然而，随着人们在应用电磁学领域研究的深入，传统的点频法和窄频带方法已经不能满足需要。科学实践的需求推动了时域数值技术的发展和成熟。随着计算机硬件技术的发展，人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场计算分析的能力，从而实现了对物理量和物理现象更深刻、更直观的理解。时域数值技术的一个突出优点是可以给出关于问题空间的丰富的时域信息，而且经过简单的时频变换，即可得到宽带

5、范围的频域信息，相对频域方法显著地节约了计算量。最近几十年是电磁场时域技术蓬勃发展的时期，各具优势和特色的新颖时域算法层出不穷。计算中应用的方法有：蒙特卡罗法有限差分法有限元法、矩量法、辛算法等；时域方面的方法有：时域有限差分法、时域多分辨法、时域伪谱法等。三辛算法与Hamilton系统由于电磁场方程可以转化为一无穷维Hamilton系统，而Hamilton系统具有一系列的内在性质，因而在对Hamilton系统的数值求解时，保持其内在性质就显得尤为重要。辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有常见数值方法无可比拟的计算优势。哈密顿系统理论是

6、当代数学物理中的一个重要的工具。一切守恒的物理过程，无论是经典的，量子的或相对论的，无论自由度为有限的或无限的，总能表示为适当的Hamilton系统。从理论上来说，线性的或非线性的电磁场方程，如标量波动方程，Maxwell方程也都可转化为Hamilton系统。基于Hamilton系统的辛算法，应用于电磁散射数值方法的研究的演化永远是辛变换演进，因此其主要特征就是系统的相空间体积保持不变和总能量守恒。而常用的数值方法如有限元法等都不能保持这种性质，会引入人为的耗散机制和虚假的激励以及种种非Hamilton系统原有的干扰和歪曲，特别是在迭代步数很大的情况下，这种现象尤为突出。辛算法是一种基于Ham

7、ilton系统的算法，能量守恒对应的数学表述为系统状态的演化过程是辛变换，因而在计算系统状态时的离散化方程也应该是辛变换，满足这一条件的数值方法统称为辛算法。正因为如此，辛算法能够保证系统随着时间的演化过程永远是辛变换，即始终保持Hamilton系统的基本特征，这也确保了该数值方法的对称和守恒。八十年代初期，国内外专家开始对Hamilton系统的算法进行研究。国内已故著名数学家冯康先生在一九八四年国际微分几何和微分方程会议上系统地提出了一种能够保持Hamilton系统基本特征的算法辛几何算法也称为辛算法或辛格式。随后，辛算法不仅因其本身丰富的内涵而成为目前数值算法研究的热点，而且因其良好的数值

8、特性广泛应用于许多学科领域中。例如，辛算法已应用于量子力学和强场物理、化学反应动力学、天体力学和大气与海洋科学、分子动力学、地理学等领域的研究中，并已取得了很好的成果。四辛算法在Maxwell方程中的应用1.Maxwell方程组的Hamilton表述时域Maxwell旋度方程在介质中传播时的方程形式为×H=+J×E=-Jm电磁场中的Maxwell方程组可以用如下的Hamilton函数H表示(B,D)=(B×B+D×D)-JB+JmD则Maxwell可以表示为下面的Hamilton典则方程形式=-这样就可以把适用于Hamilton系统的辛算法应用到求解Ma

9、xwell方程的FDTD方法中来。2.辛时域有限差分法的计算式(1)无耗媒质的情况当电流密度为零，即J=0时，建立辛差分格式。为了和传统的FDTD取得一致的形式，用E，H来代替D，B，则上面的Maxwell方程的典则形式如下:=-×E=-=×H可以得到迭代式如果取系数C1=C2 =1/2,d1=1,d2=0,则有在四阶显式辛算法中,取系数C1=C4=1/6(2+),C2=C3=1/6(1-),d1=d3=1/3(2+),d2=-1/3(1+2),d4=0。其中=+这里讨论了时间显式辛格式建立的过程。(2) 散射体存在时的辛FDTD方法若目标散射体存在,那么电流密度J就不为零

10、,我们知道此时:J=e可以看出Hamilton函数此时不再是可分的,原则上不能用前面的方法建立显式辛格式。但是仍然可以把辛PRK方法应用于Maxwell方程,并且其格式是显式的。以下面方程为例:对上式进行离散则有:可以得到磁场的迭代式五辛算法数值算例以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例：E(t)=exp，模拟其传播过程，计算空间步长为1cm，每波长划分10个网格，CFL=0.5。图1给出FDTD方法与时间二阶辛时域有限差分法(2nd，2th)和辛算法(2nd，4th)电场波曲线的比较图。图2给出FDTD与时间四阶辛时域有限差分法(4nd,2th)、辛算法(4nd,4th)计算所得的电场波曲线的比较

11、图。可以看出，在计算前期，不同格式的算法对波形均有很好的计算结果，波形结果基本相互吻合。图3,4分别为迭代2170步和4950步情况下，辛算法(4nd, 2th)、辛算法(4nd,4th)与Yee格式(2nd,2th)计算的电场波剖面曲线的比较图。从图中可以看出，在计算前期，不同格式对波形均有好的计算结果，但随着时间步的增加，波形开始失真，并有能量的耗散，幅值减小，Yee格式尤为明显。同时可以看出辛算法(4nd,2th) 在迭代2170步时波形基本保持，但到4950步也幵始振荡。从图4可以看出，辛算法(4nd,2th)达到稳定所需的迭代步比前面两种方法要少，对脉冲传播的模拟不论计算前期和后期，

12、都有很好的结果，并且电场幅值没有明显的衰减，峰值始终在1附近，能量保持了守恒，说明了辛算法的有效性。由此可以看出，传统的时域有限差分法(Yee格式)，在时间空间导数离散上都采用二阶中心差分格式，格式精度较低，色散耗散误差较大。对电大问题作电磁波传播长期响应分析时，由于误差的积累，往往造成波形的失真，这是传统的FDTD方法的固有缺陷。这里采用的时间、空间均达到四阶精度的辛算法(4nd,4th)，由于它保持了Hamilton系统的内在守恒，理论上不产生耗散误差，相比其他一些典型高精度格式有更低的色散误差和更好的稳定性。图1.FDTD与辛T2S2方法、辛T2S4方法电场值比较图2.FDTD与辛T4S

13、2方法、辛T4S4方法电场值比较图3.迭代2170步时，FDTD法，辛T4S2法，辛T4S4法电场分布比较图4.迭代4950步时，FDTD法，辛T4S2法，辛T4S4法电场分布比较六小结与展望本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，列举了几种常见的电磁计算方法，其中着重介绍了辛算法。在此基础上，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，将适用于Hamilton系统的辛算法应用到求解Maxwell方程的FDTD方法中来。然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的计算式。最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。关于本课题，还有很多方面值得进一步深入研究，分别有以下几点：1.对于辛算法的理论及其应用还需作更深一步的研究及探索，对于辛算法进行构造更多种的应用于电磁计算中。2.在高阶辛算法研究过程中，对于辛算法与FDTD法结果之间的误差及产生的原因，还有待进一步研究，还应构造更高效的适应于