《二次根式》培优专题一

1、二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a）的式子叫做二次根式。2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件：被开方数中 不含开方开得尽的 ；被开方数中 不含；分母中不含。3. 同类二次根式：二次根式化成 后，若相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4. 二次根式的性质：（1）（ ,a）2= （其中 a）（ 2） a2（其中 a）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简

2、二次根式再合并同类二次根式.（3） 二次根式的乘除法： 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。届=（其中 a_ b）；Ja= （其中 a_ b）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去， 就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是 2 ,b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后

3、的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是：设 x 0, y 0, a 0, y 0,且 x y 二 a, xy 二 b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）22、x y =（ x . y）2如：要化简.5 2一6，: 2 3 =5, 2 3=6 / .5 鸟一6 =.（一2 一3） 2 = J3 , 2但要注意最后的结果是正数，所以不能是 2、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B 、3-7 C 、14

4、 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = . x 2 x2 1,贝 U（x y）2001 =。类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）1、 实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+（a二2）2=-.?.'（图 1）2、 把-4、.3的根号外的因式移到根号内得 ;3、化简：xj_£ =;4、化简,3 - .7)2 - 2、( 7 -5)2. (2 - .7)2 =5、化简 7 - 2、； 6 =。6、 代数式3 - 4 - x2的最大值是。类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）把3.3 , 2 3 , ；、27, 1 75按由大到小的

5、顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）1、若a =3 , b = 2 - 3，则a与b的关系是（）A 互为相反数；B.互为倒数；C.互为负倒数；D.以上均不对。2、计算：1：卜1 1 - 1122.33 4. 99 、100【同步练习】一、选择题（每小题 3分，共30分）1 .下列说法正确的是（）C . . a4b8 = a2b4D .5的平方根是,5A.若：a2 二-a，则 a<0 B.若.一 aa,则a 0 m q2. 二次根式3、.2（m 3）的值是（）A. 3,2B. 23C . 2-23. 化简 | xy | - x2 （x ： y ： 0）的

6、结果是（y -2xB . yC . 2x - y、a是二次根式，则a, b应满足的条件是:ba, b均为非负数B . a, b同号a>0, b>0（2005 湖北武汉）已知 a<b，化简二次根式C. a . ab、- a3b的正确结果是（D. a . - abA.C.把m、；根号外的因式移到根号内, m、mB . - ： m下列各式中，一定能成立的是（-2.5）2 =（ .2.5）2、x2 -2x 1 =x-1得（ ）-ma2 = ( a).、x2 -9.x 3若x+y=0 ,则下列各式不成立的是（x2 _y2 =0 b . *x+V7=0当 x 二-3时，二次根 m2x2

7、5x 72、2B .C. X2 _ . y2 =0式的值为-5，则m等于（）510 .已知x22、18 x =10，则x等于（）C.二、填空题（每小题 3分，共30 分）11.若吁x - 5不是二次根式，则 x的取值范围是 12 . (2005 江西)已知 a<2, ,(a-2)2 二13 .当x=.时，二次根式.X 1取最小值，其最小值为 14 .计算： 12" 2718 二; （3 48 -4.27 亠 2 3） =15 .若一个正方体的长为 2 6cm，宽为3cm，高为2cm，则它的体积为 cm316 .若 y = . x 33 x 4，贝U x y =17 .若 3的整

8、数部分是a,小数部分是 b,U 3a - b二18 .若.m（m-3） =z'mm-3，贝U m的取值范围是 19若 x = f 丄=fl 迺 I；3,则 y =J31 y I 2420.已知 a, b, c为三角形的三边，则.(a b-c)2 . (b-c-a)2 . (b c-a)2 =三、化简（前5题每小题6分，后两题每题 7分，共44分）21. 一21 8 4 122.（5 48 一6 27 4 15）3v2 -1 223.(6 护 2X24.18 (2 1)'(-2)，25 .已知：X2，求X - X 1的值。26.已知：y*花+ JR+2,求代数式尸予一”；的值27

9、、阅读下面问题：1 （、'2二1）一 ,2 -1 ；1+-2&2 +1）（七 _1）13.2<3 -<2(“32)( 3 - 2).5 -25 2=( 5 2)(、.5-2厂52（n为正整数）的值。试求： 1 的值； 1 的值;<7+763庞 +J17【培优练习】、二次根式的非负性1 若 2004 a 十 Ja2005 = a，贝U a 20042 =2代数式2x3J4x13的最小值是3 .已知 y = Jx -8 +常8 -x +18 ,求代数式/xy _ 的值.x - J y xj y _ y Jx4. 若 m适合关系式 3x 5y - 2 - m 、2x

10、 3y-m = x-199 y . 199-x-y，求 m 的值.、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方1、由1丄-n12-(n 1)2 2 2彳.n (n 1)彳.2n 2n 11 . 2n(n 1) .1I 22_ 122_ 12222n (n +1)n (n +1)n (n +1) n (n +1)=1 21 1n(n 1)n (n 1)化简得，1 +4 +一1_2 = n(n+1)（拓展）计算120032200422.化简：，y 2 3、2y -5 -，y -2 2y -5 .3 .化简.1 .24 .4 .化简:.23-6、6-4 23 +逅（二）分母有理化1 计算:17 .55、7

11、+149 4747、49的值.2 .分母有理化:2、62、3亠53 .计算:213三、二次根式的应用（一）无理数的分割. 5的小数部分,b为 . 63 ” 3 -、一 6 - 3、3的小数部分，则1(B)-4ji(C)12(D) 2-，3上81.设上5_1的整数部分为x，小数部分为.5 -12 1 2y，试求x xy y的值.219 -8 3 的整数部分为a，小数部分为b，试求a b 1的值b性质的应用m、x、y均为正整数，且m - 28 二 x - y，则2 .设 x 二 222-, y =2 2 2 ，则(A) x y (B) x ： y (C) x 二 y (D)不能确定（三）有二次根式的代数式化简1.已知 JX(JX +2jy) = jy(6jx +5jy)，求的值2x + J