相似三角形典型模型及例题

1、:相似三角形判定的根本模型四一线三等角型：1:相似三角形模型一A字型、反A字型斜A字型二8字型、反8字型三等角型相似三角形是以 等腰三角形等腰梯形或者等边三角形 为背景，一个与等腰三角 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如下图:五一线三直角型:三直角相似可以看着是“一线三等角中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的根本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化

2、。六双垂型:相似三角形判定的变化模型A. /BEC一线三直角的变形2:相似三角形典型例题1母子型相似三角形例 1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD 交于点 O, BE/ CD 交 CA 延长线于 E.2求证：OC OA OE .例 2:：如图， AABC 中，点 E 在中线 AD上，DEB ABC.求证：1 DB2DE DA; 2 DCE DAC .例 3:：如图，等腰 MBC 中，AB= AC, AD BC于 D, CG/ AB, BG 分别交 AD、AC于 E、F.求证：BE2EF EG .21、如图， AD为 AABC 的角平分线，EF 为 AD的垂直平分线.

3、求证：FD FB FC -2、：AD 是 Rt AABC 中 Z A的平分线，/ 0=90 , EF 是 AD的垂直平分线交 AD 于 M , EF、BC的延长线交于一点 N。求证：(1) AAMENMD; (2)ND2=NC NBA3、：如图，在 AABC 中，/ ACB=90 , CD AB 于 D, E 是 AC 上一点，CF BE 于 F。求证：EB DF=AE DBfi4.在ABC中，AB=AC，高 AD 与 BE 交于 H ,EF BC ,垂足为 F,延长 AD到 G,使 DG=EF , M是 AH 的中点。求证：GBM 905：如图，在 RtMBC 中，/ C=90 , BC=2

4、 , AC=4, P是斜边 AB 上的一个动点， PD AB,交边 AC 于点 D (点 D 与点 A、C都不重合)，E是射线 DC 上一点，且 Z EPD = / A.设 A、P 两点的距离为 x, ABEP 的面积为 y. (1)求证：AE=2PE;(2)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当 ABEP 与 MBC 相似时，求 ABEP 的面积.(2)双垂型在一条直线上，/ DAE=120。，BD=1 , CE=3，求等边三角形的边长 .(2) BC22BE CD .1、如图，在 ZABC 中，/ A=60, 求证：(1) AABD ACE ; (2)BD、CE 分别是

5、 AC、AB 上的高AADEA ABC ; (3)BC=2ED2、如图，锐角 AABC , AD、CE分别是 BC、AB边上的高，AABC 和 ABDE 的面积分别是 27和 3,DE=6 寸2，求：点 B到直线 AC的距离。B(3)共享型相似三角形求证：(1) ZABE sCD;1、AABC 是等边三角形， DBCEDAE=45 ,(4) 一线三等角型相似三角形1假设点P在线段CB上(如图)，且BP 6,求线段CQ的长；2假设BP x,CQy ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD的边长为5(如下列图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重(1)

6、如图 8, P为 AD 上的一点，满足/ BPC = Z A.求证；ZBPA DPC求 AP 的长.(2)如果点 P在 AD边上移动(点 P 与点 A、D不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE交直线 BC于点 E, 同时交直线 DC 于点Q,那么1当点 Q在 DC 的延长线上时，设 AP = x, CQ = y,求 y 关于 x的函数解析式，并写出函数的定义域；例 1 :如图，等边 AABC 中，边长为 6, D是 BC 上舌(1)求证： ABDEA CFD(2)当 BD=1, FC=3 时，求 BE例2: (1)在ABC中,AB AC 5 , BC 8,点B重合)，且保持APQ ABC.

7、,/ EDF=60 E ./FP、Q分别在射线C# ACL P不与、B DC合)，且保持APQ 90.当CQAD / BC, ADV BC，且 AD = 5, AB = DC = 2.例 3 :在梯形 ABCD 中,1时，求出线段BP的长.2当 CE = 1 时，写出 AP 的长.例 4：如图，在梯形ABCD中，AD /BC ,AB CDM为顶点作EMF B，射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F，联结EF .(1)求证： MEF sM BEM；(2)假设BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3)假设EF CD ,求BE的长.2、如图，在 MBC中， AB=AC=6, BC=

8、5, D 是 AB上一点，BD=2, E是 BC 上一动点，联结 DE,并作DEF B，射线 EF 交线段 AC 于 F.(1)求证：ADBEA ECF;(2)当 F是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；(3)联结 DF,如果 ADEF 与DBE 相似，求 FC的长.BC 6 , AD 3.点M为边BC的中点，以1、如图，在 MBC 中，AB AC 8 , BC 10 ,D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且(1)求证：AABDs DCE; 如果BD x ,AEy,求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域;当点D是BC的中点时，试说明 MDE是什么三角形，并说明理由.3、在梯形 A

9、BCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为 BC 上的一点，且 BP=2 .求证：ABEPA CPD ;(2)如果点 P在 BC 边上移动(点 P 与点 B、C不重合)，且满足/EPF = / C, PF交直线 CD 于点 F,同时交直线 AD于点 M,那么1当点 F在线段 CD 的延长线上时，设 BP=X ,DF=y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的 定义域；2当SDMF9SBEP时，求 BP的长4、如图，边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG

10、，直线EG,FG交直线AC于点M，N ,(1)写出图中与BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BEX,MNy,求y与x之间的函数关系式， 并写出自变量X的取值范围;(4)假设AE 1 ,试求GMN的面积.(5) 一线三直角型相似三角形例 1、矩形 ABCD 中，CD=2 , AD=3，点 P 是 AD上的一个动点，且和点 A,D不重合，过点 P 作PE CP ,交边 AB于点 E,设PD x, AE y ,求 y 关于 x的函数关系式，并写出 x的取值范围。例 2、在ABC中，C 90o, AC 4, BC 3,0是 AB上的一点，且AO 2 _ ,点 P是 AC上的一个动

11、点，PQ 0P交线段 BC 于点 Q,(不AB 5与点 B,C 重合)，设AP x, CQ y ,试求y关于 x 的函数关系，并写出定义域。1.在直角ABC中，C 90, AB 5,tan B-，点 D是 BC 的中点，点 E是 AB 边上的动点，DF DE4交射线 AC于点 F(1)、求 AC和 BC 的长(2)、当EF/BC时，求 BE的长。(3)、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求 BE 的长。A,C 不重合)，DF DE, DF与射线 BC 相交于点 F.(1)、当点 D是边 AB 的中点时，求证:DE DF，AD _ DE古、当m，求的值C 90, AB BC,D是 AB边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点,2.在直角三角形 ABC中,y,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域DBDF一、“AD 1一(3)、当AC BC 6,一，设AE x, BFDB 233.如图，在ABC中，C 90 , AC 6 ,tanB - ,D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点,4作DEF 90 , EF交射线BC于点F .设BE x , BED的面积为y .4.如图，在梯形ABC D中，AB|CD,AB 2, A